Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.55.180

Скачать PDF ( ) Страницы: 95-103 Выпуск: № 01 (55) Часть 2 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Сариев А. Д. О КОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЫ {u, σ}, В СЛУЧАЕ ПРОСТОЙ ОБЛАСТИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ / А. Д. Сариев, А. Т. Шыганакова, С. Г. Каракенова и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2017. — № 01 (55) Часть 2. — С. 95—103. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-korrektnosti-obratnyx-zadachi-opredeleniya-pary-u-%cf%83-v-sluchae-prostoj-oblastidlya-uravneniya-perenosa-izluchenij/ (дата обращения: 18.11.2017. ). doi: 10.23670/IRJ.2017.55.180
Сариев А. Д. О КОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЫ {u, σ}, В СЛУЧАЕ ПРОСТОЙ ОБЛАСТИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ / А. Д. Сариев, А. Т. Шыганакова, С. Г. Каракенова и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2017. — № 01 (55) Часть 2. — С. 95—103. doi: 10.23670/IRJ.2017.55.180

Импортировать


О КОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЫ {u, σ}, В СЛУЧАЕ ПРОСТОЙ ОБЛАСТИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ

Сариев А.Д.1, Шаждекеева Н.К.2, Шыганакова А.Т.3Каракенова С.Г.4, Сариев С.Д.5

1ORCID: 0000-0002-1825-0023, Кандидат физико-математических наук, Атырауский государственный университет в г. Атырау, 2ORCID: 0000-0002-1825-0023, Кандидат физико-математических наук,Атырауский государственный университет в г. Атырау, 3ORCID: 0000-0002-1825-0097, Магистр математики, Атырауский государственный университет в г. Атырау, 4ORCID: 0000-0002-1825-0097, Магистр математики, Атырауский государственный университет в г. Атырау, 5ORCID: 0000-0002-1825-0097, Магистр математики, Международный казахско-турецский университет, г. Туркестан

О КОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЫ {u, σ}, В  СЛУЧАЕ ПРОСТОЙ ОБЛАСТИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ

Аннотация

В статье изложены основные вопросы исследования локальных свойств интеграла столкновений и классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой области из R3.

В статье изучены и доказаны вопросы корректности «в целом» ряда обратных задач для нестационарного уравнения переноса, рассматриваемого в ограниченной простой области из R3, для одновременного определения пары {u, σ}.

Приводится гладкость рассматриваемой области,  учитывая  простату области, доказаны  лемма 1-4, на основе этих лемм доказано теорема 1.

Ключевые слова: уравнение переноса, локальные свойства, интеграл столкновений, односкоростное нестационарное уравнение, начальное условие, граничное условие, вопросы корректности решения, ограниченная простая область из R3.

SarievA.D.1, Shazhdekeyeva N.K.2, Shyganakova A.T.3Karakenova S.G.4, Sariev S.D.5

1ORCID: 0000-0002-1825-0023, PhD in candidate physics – mathematics science, Atyrau State University, 2ORCID: 0000-0002-1825-0023, PhD in candidate physics – mathematics science,Atyrau State University, 3ORCID: 0000-0002-1825-0097, Master of mathematics,Atyrau State University, 4ORCID: 0000-0002-1825-0097, Master of mathematics,Atyrau State University, 5ORCID: 0000-0002-1825-0097, Master of mathematics,International Kazakh-Turkish University, Turkestan

ON THE CORRECTNESS OF INVERSE PROBLEM OF DETERMINING COUPLE {u, σ} IN THE CASE OF A SIMPLE EQUATION FOR THE TRANSFER OF RADIATION

Abstract

The article outlines the main research questions of the local properties of the collision integral and classical solutions of non-stationary radiative transfer equation, considered in the plain area of R3.

The paper studied and proved the correctness of questions “in the large” number of inverse problems for nonstationary transport equation, considered in a limited plain area of R3, for the simultaneous determination of the pair {u, σ}.

We present the smoothness of the area under consideration, taking into account the area of the prostate, to prove the lemma 1-4, on the basis of the lemma is proved Theorem 1.

Keywords: transfer equation, local properties, the collision integral, one-speed time-dependent equation, initial condition, boundary condition, solution correctness issues, limited simple area from R3.

В настоящей статье изучаются локальные свойства интеграла столкновений односкоростного нестационарного уравнения переноса, а также классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой ограниченной области из R3.

Уравнение переноса рассмотрено при следующих предложениях [1-4]:

  • все частицы имеют одинаковые по модулю скорости,
  • поток частицы из вакуума на внешнюю границу отсутствует,
  • индикатриса рассеяния  27-01-2017 09-54-09 представлена в виде 27-01-2017 09-54-24 где μ0-косинус угла между направлениями 27-01-2017 09-56-05.

При этих предложениях уравнение переноса имеет вид

27-01-2017 12-12-18  (1)

Здесь 27-01-2017 09-58-35– функция распределения частиц, 27-01-2017 09-58-44– функция источника, 27-01-2017 09-58-53– индикатриса рассеяния, 27-01-2017 09-59-01– пространственные координаты, 27-01-2017 09-59-08– точки единичной сферы Ω со сферическими координатами27-01-2017 09-59-19

27-01-2017 10-03-38

Будем говорить, что поверхность 27-01-2017 10-05-51 области G принадлежит классу 27-01-2017 10-06-55 если в некоторой окрестности каждой точки 27-01-2017 10-07-05 она представима уравнением, 27-01-2017 10-07-14 причем 27-01-2017 10-07-24 и функция 27-01-2017 10-07-39 непрерывна, вместе со своими производными до порядка ρ включительно в упомянутой окрестности. Поверхность 27-01-2017 10-05-51 называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса [1-4].

Будем считать, что область G,  в которой происходит процесс переноса, состоит из конечного числа подобластей (зон) Gj ограниченных кусочно-гладкой поверхностью, 27-01-2017 10-05-51j т.е.  27-01-2017 10-20-30 – выпуклым. Через 27-01-2017 10-21-05 обозначим внешнюю поверхность области G. Граничная поверхность 27-01-2017 10-05-51 области содержит кроме 27-01-2017 10-21-05 еще поверхности 27-01-2017 10-23-15 раздела зон (части поверхности 27-01-2017 10-05-51jGj.

Кроме того полагается, что множество 27-01-2017 10-24-15 – удовлетворяет условию «обобщенной выпуклости» см. Гермогеновой [1-4] 27-01-2017 10-24-44 являющаяся характеристикой дифференциального выражения 27-01-2017 10-25-23 и проходящая через любую точку 27-01-2017 10-25-53 при любом 27-01-2017 10-25-59 имеет конечное число 27-01-2017 10-26-06 точек 27-01-2017 10-24-44 пресечений с граничной поверхностью 27-01-2017 10-28-13  Здесь 27-01-2017 10-28-54 есть время пересечения характеристикой 27-01-2017 10-29-26 границы множества 27-01-2017 10-29-36.

Для включения в рассмотрение областей, отдельных участки поверхности которых имеют прямолинейных образующие, последние достаточно продолжить вдоль образующих по всей области, увеличив тем самым количество зон Gj [1-4].

Для однозначной разрешимости к уравнению (1) необходимо присоединить начальное распределение частиц

27-01-2017 10-30-55   (2)

и режимы на внешней границе и на границе раздела зон

27-01-2017 10-32-00   (3)

27-01-2017 10-32-12   (4)

27-01-2017 10-33-27 – класс функции 27-01-2017 10-33-35 непрерывных в каждом множестве 27-01-2017 10-33-45 и таких, что

27-01-2017 10-34-46

Заметим, что, если 27-01-2017 10-35-38 то при стремлении 27-01-2017 10-35-48 вдоль различных прямых, пределы 27-01-2017 10-35-58 существуют и вообще говоря различны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Классическим решением задачи (1)- (4) в области 27-01-2017 10-37-34 назовем функцию 27-01-2017 10-37-42 которая для всех 27-01-2017 10-37-52

  • непрерывна по τ на отрезках 27-01-2017 10-39-47 и непрерывно дифференцируема по τ в интервалах 27-01-2017 10-39-57
  • допускает существование интеграла столкновений 27-01-2017 10-41-28 принадлежащего 27-01-2017 10-33-27
  • удовлетворяет уравнению

27-01-2017 10-42-12  (5)

начальному условию (2) и граничным условиям (3)-(4).

Интегрируя уравнение (5) по переменной τ от 27-01-2017 10-43-07 до t с учетом начального и граничных условий (2)-(4), имеем

27-01-2017 10-43-38  (6)

где операторы P и R определены формулами

27-01-2017 10-45-26

Действуя на уравнение (6) оператором S, для интеграла столкновений N получаем

27-01-2017 10-46-27  (7)

27-01-2017 10-46-38   (8)

Операторы  P и R определены формулами

27-01-2017 10-47-56

Умножим функцию 27-01-2017 10-48-37, определенную формулой (8) на 27-01-2017 10-48-51. Полученное при этом уравнение проинтегрируем по переменной μ’ от -1 до 1. Меняя порядок интегрирования в полученных при этом повторных интегралах приходим к уравнению

27-01-2017 10-50-01  (9)

Операторы K и B определены формулами

27-01-2017 10-51-42

Для изучения свойств гладкости интеграла столкновений изучим свойства функций 27-01-2017 11-02-10 и операторов K и B.

Нам нужны следующие леммы:

Лемма  1.  I)  Для любых 27-01-2017 11-03-52 верно неравенство

27-01-2017 11-04-32  (10)

a, первые производные от xS терпят разрыв 1-ого рода лишь на линиях

27-01-2017 11-05-37

II) Для любых 27-01-2017 11-06-40  верно неравенство

27-01-2017 11-06-54   (11)

где 27-01-2017 11-08-13, причем первые производные функций 27-01-2017 11-08-22 терпят разрыв 1-го рода лишь на линиях 27-01-2017 11-08-33.

Доказательство. Утверждение первого предложения, а также непрерывная дифференцируемость функций 27-01-2017 11-10-28, кроме линии 27-01-2017 11-08-33 непосредственно следует из определения этих функций. Докажем неравенство (11) при S=0. Положим 27-01-2017 11-11-38 и оценим разность 27-01-2017 11-11-46. Она отлична от нуля, лишь когда 27-01-2017 11-11-53. Но тогда справедливо неравенство

27-01-2017 11-14-35

а потому, в силу неравенства треугольников и очевидного неравенства

27-01-2017 11-15-17   (12)

следует справедливость оценки (11) при S=0. Неравенства (11) при s=h, s=H доказываются в результате аналогичных выкладок. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия 27-01-2017 11-17-39  тогда оператор  действует из  27-01-2017 11-18-00.

Доказательство. Пусть 27-01-2017 11-19-11. При t=0 очевидно неравенство

27-01-2017 11-19-41

Поэтому пусть 27-01-2017 11-20-12. Легко видеть, что

27-01-2017 11-21-49

При 27-01-2017 11-22-25 справедливы соответственно неравенства 27-01-2017 11-22-39. Следовательно, в силу условий леммы

27-01-2017 11-23-58  (18)

Используя технику, применяемую В.И.Агошковым в [5], и неравенство

27-01-2017 11-25-06  (19)

справедливое  при 27-01-2017 11-28-34, можем  оценить

27-01-2017 11-29-05   (20)

Из (13) в силу неравенств (14)-(18), (20) получим

27-01-2017 11-30-10

Из  соотношений (21), (22) и неравенства (12) видим, что функция  принадлежит пространству 27-01-2017 11-31-23 и пространству 27-01-2017 11-32-09

Лемма   доказана.

Если, кроме условий леммы 2, выполнены условия согласования А, то неравенства (15) – (17) могут быть усилены. Действительно, в этом случае

27-01-2017 11-33-06

И так как при 27-01-2017 11-33-39 верны неравенства 27-01-2017 11-33-48,  то

27-01-2017 11-33-57   (23)

Аналогично оцениваются величины J3;   J4:

27-01-2017 11-35-40

Поэтому из (13) в силу неравенств (14), (23), (24), (18), (20) имеем

27-01-2017 11-35-49  (25)

Аналогично можно доказать оценку

27-01-2017 11-37-10   (26)

Из соотношений (25), (26) и неравенства треугольников следует справедливость следующей леммы.

Лемма 3. Если, кроме условий 27-01-2017 11-17-39  выполнены условия согласования A, то оператор Bдействует из 27-01-2017 11-40-42

Лемма 4. Пусть выполнены условия 27-01-2017 11-17-39 тогда оператор K переводит 27-01-2017 11-42-09 и классы функций ,  в  причём справедливо неравенство

27-01-2017 11-43-18  (27)

Доказательство.  Пусть 27-01-2017 11-43-27

Докажем справедливость оценки

27-01-2017 11-43-35  (28)

Так как при 27-01-2017 11-50-15 верны неравенства 27-01-2017 11-50-27 и 27-01-2017 11-50-44, то очевидно

27-01-2017 11-51-48  (29)

где

27-01-2017 11-52-26

Для интеграла 27-01-2017 11-53-05 справедливо неравенство

27-01-2017 11-53-40  (30)

Нетрудно также оценить

27-01-2017 11-53-52  (31)

где 27-01-2017 11-55-03

27-01-2017 11-55-39

ограничены.

Действительно, в силу неравенства

27-01-2017 11-56-15

и формулы 1.2.52.8 из [6] имеем

27-01-2017 11-57-13

27-01-2017 11-57-56  (32)

Следовательно, при 27-01-2017 11-58-09  или имеем

27-01-2017 11-58-16   (33)

Нетрудно видеть, что оценка (33) верна и при

27-01-2017 11-58-35

Таким образом доказали справедливость неравенства(28).

Аналогичные выкладки показывают, что справедлива оценка

27-01-2017 11-58-45

а потому верно неравенство

27-01-2017 12-02-08      (34)

Неравенство (4.34) имеет место и при , так как в этом случае можно воспользоваться очевидным неравенством

27-01-2017 12-02-55

Аналогично доказывается, что при 27-01-2017 12-03-15  неравенство

27-01-2017 12-03-27      (35)

Из соотношений (34) – (35) следует, что при условиях леммы оператор K переводит 27-01-2017 12-06-18, а классы функций 27-01-2017 12-07-16.

Остаётся доказать неравенство (27). Без ограничения общности можем полагать, что 27-01-2017 12-07-46, поэтому, если 27-01-2017 12-07-59 то

27-01-2017 12-08-17

Лемма доказана.

В силу лемм 2 – 4 и используя технику доказательства теоремы 1, нетрудно видеть, что верна.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 27-01-2017 12-10-12, тогда существует единственное классическое решение задачи (1) –(4).

Список литературы / References

  1. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса./ Аниконов Д.С. //Всесоюзный журнал, Дифференциальные уравнения, г.Минск, Т.10, №1, 1974, С.7-17.
  2. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса./ Гермогенова Т. А. –Москва, Наука, 1986. –272 с.
  3. Сариев А.Д. Глобальная теорема об устойчивости решения обратных задач нестационарного уравнения переноса./ Сариев А.Д. // Республиканский журнал: Доклады АН РК, серия Физ-мат наук, №1, 2001г, С.16-21.
  4. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. / Султангазин У.М. В книге: Алма-Ата, Наука, 1979. –269 с.
  5. Агошков В.И. О гладкости решений уравнения переноса и приближенных методах их построения, / Агошков В.И. В книге: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения – Новосибирск, 1977.-Выпуск- I. – С.44-58
  6. Сариев А. Д. Об областях неопределённых производных высокого порядка от интеграла столкновений нестационарного уравнения переноса./ Сариев А. Д. В книге: По проблеме вычислительной математике и методы научных исследований: 2- Республиканская конференция. Алма-Ата, 1988., С. 19-22.

 Список литературы на английском языке / References in English 

  1. Anikonov D.S. Ob obratnyh zadachah dlja uravnenija perenosa [On inverse problem for the transport equation]/ Anikonov D.S. //Vsesojuznyj zhurnal, Differencial’nye uravnenija, [Union journal Differential Equations].Minsk, V.10, №1, 1974, P.7-17. [in Russian]
  2. Germogenova T. A. Lokal’nye svojstva reshenija uravnenija perenosa. [Local properties solving the transport equation] / Germogenova T. A. –Moskva, Nauka, 1986. –272 p. [in Russian]
  3. Sariev A.D. Global’naja teorema ob ustojchivosti reshenija obratnyh zadach nestacionarnogo uravnenija perenosa.[ Global stability theorem for solving inverse problems of non-stationary transfer equation] / Sariev A.D. // Respublikanskij zhurnal: Doklady AN RK, [National Journal: Reports of the Republic of Kazakhstan] serija Fiz-mat nauk, №1, 2001g, P.16-21. [in Russian]
  4. Sultangazin U.M. Metody sfericheskih garmonik i diskretnyh ordinat v zadachah kineticheskoj teorii perenosa. [Methods of spherical harmonics and discrete ordinates in problems of the kinetic theory of transport] / Sultangazin U.M. V knige: Alma-Ata, Nauka, 1979. –269 p. [in Russian]
  5. Agoshkov V.I. O gladkosti reshenij uravnenija perenosa i priblizhennyh metodah ih postroenija, [The smoothness of the transfer equation and approximate methods of constructing them]/ Agoshkov V.I. V knige: Differencial’nye i integro-differencial’nye uravnenija [In: Differential and integral-differential equations] – Novosibirsk, 1977.-Vypusk- I. – P.44-58 [in Russian]
  6. Sariev A. D. Ob oblastjah neopredeljonnyh proizvodnyh vysokogo porjadka ot integrala stolknovenij nestacionarnogo uravnenija perenosa. [Domains indefinite-order derivatives of the collision integral non-stationary transfer equation]/ Sariev A. D. V knige: Po probleme vychislitel’noj matematike i metody nauchnyh issledovanij: 2- Respublikanskaja konferencija. [In the book: On the issue of computational mathematics and methods of research: 2 Republican Conference], Alma-Ata, 1988, P. 19-22. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.