НИЗКОЧАСТОТНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН ЧЕРЕЗ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ ТРЕЩИН В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ

Ремизов М.Ю.

ORCID: 0000-0001-5078-9941 Кандидат физико-математических наук, Ростовский государственный строительный университет

НИЗКОЧАСТОТНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН ЧЕРЕЗ  ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ ТРЕЩИН В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ

Аннотация

Данная работа посвящена выводу аналитических выражений для  коэффициентов отражения и прохождения, когда плоская волна падает на двумерную решетку с периодическим массивом прямоугольных щелей в упругой  изотропной среде в трехмерной постановке. В режиме частотного диапазона одной моды задача сводится к гиперсингулярному интегральному уравнению. Показано, что кроме свойства гиперсингулярности интегрального уравнения обнаружены новые сингулярности по каждой из координат двумерной решетки.

Ключевые слова: коэффициенты отражения и прохождения, двумерная решетка, гиперсингулярное интегральное уравнение.

Remizov M.Yu.

ORCID: 0000-0001-5078-9941, PhD in Physics and Mathematics, Rostov-on-Don State  University of Civil Engineering

 3D LOW-FREQUENSY PENETRATION OF ELASTIC WAVES THROUGH A DOUBLY PERIODIC ARRAY OF CRACKS

Abstract

The paper is devoted to the calculation of the reflection and transmission coefficients, when a plane wave is incident on a two-dimensional grating with a periodic array of rectangular cracks in the elastic material in 3-D. In the one-mode frequency range the problem is reduced to a single hipersingular integral equation, which leads to  an explicit representation of  the wave characteristics for various sizes of the cracks. New singularities along each coordinate of two-dimensional grating have been revealed for the obtained hipersingular integral equation of double singularity.

Keywords: the reflection and transmission coefficients, a two-dimensional grating, hipersingular integral equation.

1.Введение. Исследование проникновения упругих волн через периодические решетки является важной проблемой в области ультразвуковой количественной оценки материалов, распространении звука и для электромагнитных волноводов с диафрагмами. Различные численные методы были применены в двумерных задачах с периодическими отверстиями произвольной формы [1-2]. Несмотря на высокую точность компьютерных результатов, существует только несколько аналитических теорий. На практике аналитические результаты могут быть получены в предположении  режима низких частот при слабом взаимодействии волн, где некоторые приближенные результаты можно установить в аналитической форме. Таким образом, аналитические методы, обеспечивающие явные формулы для соответствующих параметров рассеяния, задают только определенный низко-частотный предел.

В работах [3-6]  получены явные аналитические формулы для параметров отражения и преломления в режиме одной моды для акустической волны, проникающие сквозь двояко-(трояко)-периодические массивы отверстий и объемных препятствий произвольной формы, а также для плоских задач  распространения волн через периодический массив экранов в упругих твердых телах. Влияние вязкости на отражение и прохождение акустических волн на периодической решетке экранов для 3-D проблем было рассмотрено в [7].

 В настоящей работе мы продолжаем исследование двояко-периодической структуры, расположенной в бесконечной плоскости в 3-D случае. Так же, как в [1-6], мы предполагаем, что при нормальном падении волны имеет место режим распространения одной моды, т.е.  где  - волновое число продольной падающей волны . Целью настоящей работы является получение новых аналитических выражений для коэффициентов отражения и прохождения  в случае трехмерного распространения и описание новых свойств ядра полученного гиперсингулярного интегрального уравнения.

2. Математическая постановка задачи. Рассмотрим среду, которая состоит из бесконечной плоскости x=0, содержащую двумерный бесконечный периодический массив трещин, с периодами по осям y и z 2a и 2c соответственно. Если мы изучаем падение плоской волны на решетку вдоль положительного направления оси x, то в силу симметрии вопрос сводится к рассмотрению  волновода ширины 2a вдоль оси y и 2c вдоль оси z, (рис.1).  Следовательно, если падающая волна единичной амплитуды, как предполагается, распространяются нормально к плоскости x=0, то потенциалами Ламэ, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца,  являются следующие функции:

Рис.1 Распространение падающей волны через периодический массив просветов.

Заглавные буквы здесь являются неизвестными константами и

гармонической временной множитель берется в виде , являются продольным и поперечным волновыми числами, а R,T - коэффициенты отражения и прохождения, соответственно. Далее возьмем компоненты тензора напряжений  и вектора перемещений в терминах потенциалов, используя стандартные  формулы Грина-Ламэ.

Потенциалы  должны удовлетворять дополнительному условию

В рассматриваемой задаче плоская продольная волна с потенциалами

приходит из , и порождает отраженное поле.  Предполагая непрерывность поля перемещений  вне трещин, введем следующий вектор неизвестных функций 

Используя (2.1),(2.3),  получим все необходимых постоянные, входящие в потенциалы  (2.1) в терминах . Интегрируя уравнения (2.4) по области , имеем

 Свойство ортогональности тригонометрических функций приводит  уравнения  (2.4),(2.5) к соотношениям

Условия непрерывности напряжений на на границе, имеют место в виде

После применения для (2.7) аналогичной  процедуры интегрирования по области   и, принимая во внимание свойство ортогональности тригонометрический функций, получим с учетом (2.6) систему

где введены переменные ,

и обозначено  . Линейная алгебраическая система шестого порядка относительно   (2.9)  учитывает условие  (2.3b)  в виде

Решение  этой системы определяет постоянные , три из которых для , используемых ниже, принимают вид

Теперь мы можем получить все неизвестные константы, взятые из (2.8)-(2.12) и использовать эти значения в условиях равенства нулю  компонент напряжений (2.7) на трещине. Здесь мы должны принять во внимание, что в задаче остается только одна нетривиальная функция раскрытия  ,  входящая в соотношение

Опуская некоторые рутинные математические преобразования окончательно получаем следующее интегральное уравнение для этой функции :

где числитель выражения ядра принимает форму функции Рэлея

3. Аналитические выражения волновых характеристик. Так же как и в [3], рассмотрим вспомогательное уравнение

В терминах четной функции   из (2.5)  и (2.14) получаем:

где было обозначено

После интегрирования уравнения (3.2) по области  получаем линейное алгебраическое уравнение, решив которое имеем

 Как только  определены находим все необходимые параметры и волновые характеристики. Коэффициенты отражения и преломления будут выражаться так

4. Свойства интегрального уравнения. Начнем с рассмотрения символа ядра полученного интегрального уравнения 

Заметим, что   Тогда, сумма составляющая ядро преобразуется к виду

Сейчас первая сумма ядра есть некоторая регулярная функция. Вторая имеет как регулярную, так и  и сингулярную части. В результате выделения регулярной и сингулярной части  при   и, опустив далее знак тильды, приходим к представлению

где  преобразуется к виду, используя формулу суммирования Пуассона

Здесь  функция Макдональда (первого рода). В  итоге  получаем  сингулярную и регулярную части соответственно

В заключение необходимо отметить, что полученная двойная сингулярность имеет место наряду с  сингулярностью по каждой из  переменной в отдельности. Для анализируемой задачи  такая особенность была обнаружена впервые. Стабильность при двумерной сингулярности гиперсингулярных интегральных уравнений доказана, тогда как стабильность всей   с учетом сингулярности по каждой из координат пока доказанной не является. Сейчас мы проводим расчетные  эксперименты для выявления сути новой комбинированной сингулярности.

  Литература

1. Ахенбах Дж. Ди., Ли З.Л. Отражени е и передача скалярных волн периодической системой экранов, Движение волны.-1986.-№8.,-225-234.
2. Майл Дж..  Релеевское рассеяние решеткой. Движение Волны.-1982-№4.- 285-292.
3. Скарпетта  Э.,  Сумбатян  М. А. Явные аналитические результаты для одно-модового режима проникновения в периодической систему экранов, Журнал ИМА прикладной математики.-1996. -№56. -109-120.
4. Скарпетта  Э.,  Сумбатян  М. А. Низкочастотные проникновения акустических волн через периодические решетки произвольные формы: трехмерная задача, Движение волны.-1995.-№22.- 133-144.
5. Скарпетта Э., Сумбатян  М. А.  О распространении волн в упругих средах через массив щелей двойной периодический, Движение волны.-1997.- №25, 61-72.
6. Скарпетта Э., Тибуло В.  Трехмерное распространение волн через каскадные экраны  с периодической системой произвольных отверстий, Инт. Дж.  Англ. ТСМ.-2008. -№46, 105-111.
7. Хоментковши Д., Майлз Р.Н. Влияние вязкости дифракции звука на периодической системе экранов. Общие 3-д проблемы,  Дж. журнал. Соц. Я.- 2005.- № 117(5), 2761-2771.

References

1. Achenbach J.D. , Li Z.L.  Reflexion and transmission of scalar waves by a periodic array of screens, Wave  Motion.-1986.-№ 8.-, 225-234.
2. Miles J.W. On  Rayleigh scattering by a grating.   Wave Motion.-1982-№4.- 285-292.
3. Scarpetta  E., Sumbatyan M.A. Explicit analytical results for one-mode oblique penetration into a periodic array of screens, IMA Journal of Applied Mathematics.-1996.-№56.- 109-120.
4. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Low-frequency penetration of acoustic waves through a periodic arbitrary-shaped grating: the three-dimensional problem, Wave Motion.-1995.-№22.- 133-144.
5. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks, Wave Motion.-1997.- №25, 61-72.
6. Scarpetta E., Tibullo V. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings, Int. J. Eng. Sci.-2008.-№46, 105-111.
7. Homentcovschi D., Miles R.N.   Influence of viscosity on the diffraction of sound by a periodic array of screens. The general 3-D problem,  J. Acoust. Soc. Am.- 2005.- № 117(5), 2761-2771.