Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

Скачать PDF ( ) Страницы: 33-35 Выпуск: №11 (18) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Полищук С. В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ БРОУНОВСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ / С. В. Полищук, К. А. Петров, Я. А. Смехун // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — №11 (18) Часть 1. — С. 33—35. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/modelirovanie-fraktalnyx-brounovskix-izobrazhenij/ (дата обращения: 19.09.2021. ).
Полищук С. В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ БРОУНОВСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ / С. В. Полищук, К. А. Петров, Я. А. Смехун // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — №11 (18) Часть 1. — С. 33—35.

Импортировать


МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ БРОУНОВСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Полищук С.В.1, Петров К.А.2, Смехун Я.А.3

1Магистрант, 2магистрант, 3магистрант, Дальневосточный федеральный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ БРОУНОВСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Аннотация

Предложен и исследован алгоритм моделирования фрактальных броуновских изображений. Установлено, что интегральная характеристика спектра броуновского изображения с параметром Херста a хорошо аппроксимируется степенной функцией с показателем 12-05-2021 11-57-44 при 12-05-2021 11-57-53 и показателем степени равным 3 для 12-05-2021 11-58-06.

Ключевые слова: фрактальный броуновский процесс, пространственно-частотная фильтрация, структурная функция.

Polischuk S.V.1, Petrov K.A.2, Smekhun Y.A.3

1Undergraduate; 2undergraduate; 3undergraduate, Far Eastern Federal University

THE SIMULATION OF FRACTIONAL BROWNIAN IMAGES

Abstract

The modeling algorithm of fractal Brownian images has been proposed and studied. It is established that an integral characteristic of the spectrum of Brownian image with Hurst’s parameter  is well approximated by a function power with an exponent 12-05-2021 11-57-44 in 12-05-2021 11-57-53 and the exponent which is equal to 3, for 12-05-2021 11-58-06.

Keywords: the fractal Brownian process, spatial frequency filtering, a structure function.

Введение. Фрактальный анализ изображений проводится в тех случаях, когда необходимо установить, в какой степени, отображенные на изображениях объекты и структуры, проявляют фрактальные свойства.

Одним из наиболее распространенных критериев наличия фрактальных признаков у структур основан на использовании структурной функции первого порядка (математическое ожидание модуля приращения) и структурной функции второго порядка (математическое ожидание квадрата модуля приращения).

Моделирование фрактальных броуновских изображений. Случайный процесс 12-05-2021 12-00-28 с математическим ожиданием 12-05-2021 12-00-36, удовлетворяющий условию:

12-05-2021 12-00-44          (1)

где a – показатель Херста, 12-05-2021 12-01-05 – приращение дисперсии за единицу времени, будем считать фрактальным броуновским. Других ограничений на процесс не накладывается. Можно показать, что для такого процесса спектральная плотность существует и совпадает с известной степенной зависимостью только для значений показателя 12-05-2021 11-57-53. В интервале 12-05-2021 11-58-06 спектральная плотность не существует, а периодограммная оценка показателя имеет постоянное значение, равное 12-05-2021 12-01-27 [1]. Этот факт наряду с нестационарностью фрактального броуновского процесса существенно ограничивает применение методов для моделирования фрактальных броуновских полей.

Для примера рассмотрим частный случай процесса (1) при условии, что 12-05-2021 12-01-35 – процесс начинается в нуле, и его приращения – величины независимые. Тогда в соответствии с центральной предельной теоремой случайный процесс – нормальный с нулевым математическим ожиданием, дисперсией 12-05-2021 12-01-48 и параметром 12-05-2021 12-01-57. Если 12-05-2021 12-02-03 – вероятность события 12-05-2021 12-02-13, то несложно получить 12-05-2021 12-02-22. Это означает, что примерно 1/3 всех траекторий процесса выходит за интервал 12-05-2021 12-02-33, что не может обеспечить стационарная модель.

Используем тот факт, что в одномерном случае приращение 12-05-2021 12-10-43 процесса 12-05-2021 12-10-50 по интервалу фиксированной длительности Δ является стационарным в широком смысле случайным процессом с коэффициентом корреляции [13]

12-05-2021 12-11-03       (2)

где 12-05-2021 12-11-13. Спектральная плотность 12-05-2021 12-11-21 (ω-частота) процесса приращений 12-05-2021 12-12-01, где F – оператор преобразования Фурье. Процесс 12-05-2021 12-13-56 можно смоделировать, пропуская реализации «белого шума» через фильтр с передаточной функцией 12-05-2021 12-14-06. Затем траектории процесса 12-05-2021 12-10-50 находятся интегрированием стационарных приращений 12-05-2021 12-13-56.

Двумерный процесс 12-05-2021 12-19-11 зададим в виде суперпозиции [2]

12-05-2021 12-19-24        (3)

независимых фрактальных броуновских процессов 12-05-2021 12-21-44 12-05-2021 12-22-28  с параметром Херста a, математическим ожиданием 12-05-2021 12-22-00 и структурной функцией вида (1), 12-05-2021 12-22-12. В соотношении (3) каждое слагаемое  представляет собой функцию двух аргументов (x,y). Эта функция – величина постоянная на прямой 12-05-2021 12-22-45 для любого фиксированного t и совпадает с фрактальным броуновским процессом в направлении, перпендикулярном этой прямой. Структурная функция поля η

12-05-2021 12-26-47

12-05-2021 12-27-00

Таким образом, при большом K структурная функция 12-05-2021 12-28-39 и, следовательно, 12-05-2021 12-28-46 – фрактальное броуновское поле с параметром Херста a.

Для моделирования фрактальных броуновских изображений использовался следующий алгоритм. Генерировались из «белого шума» одномерные броуновские процессы 12-05-2021 12-29-07, с показателем Херста 12-05-2021 12-29-24. Далее формировались K изображений, в которых строки заполнялась соответствующими значениями процесса 12-05-2021 12-29-07.  Каждое изображение поворачивалось вокруг точки (0,0) на заданный угол 12-05-2021 12-29-50, и все K изображений суммировались. Затем из суммарного изображения вырезалась область размером 12-05-2021 12-45-04 отсчетов с центром в точке (0,0). Статистический анализ смоделированных таким образом фрактальных броуновских изображений 12-05-2021 12-30-17 показал, что если 12-05-2021 12-30-25, то для функции 12-05-2021 12-32-54 область скейлинга 12-05-2021 12-31-59 то при малых значениях l отклонения  функции 12-05-2021 12-30-42 от степенной зависимости становятся значительными. Для устранения этих отклонений можно применить пространственно-частотную фильтрацию к уже смоделированным изображениям. Важно отметить, что интегральная характеристика оценки спектральной плотности 12-05-2021 12-33-03 смоделированных фрактальных броуновских изображений для частот 12-05-2021 12-33-12 в интервале 12-05-2021 12-33-24 хорошо аппроксимируется степенной функцией 12-05-2021 12-33-43.

Заключение. В данной работе предложен и исследован алгоритм моделирования фрактальных броуновских изображений на основе генерирования одномерных реализаций фрактального броуновского процесса. Установлено, что существует достаточно широкий диапазон пространственных частот, в котором интегральная характеристика  спектра броуновского изображения хорошо аппроксимируется степенной функцией 12-05-2021 12-51-17

Литература

  1. Кулешов Е.Л., Грудин Б. Н.Спектральная плотность фрактального броуновского процесса // Автометрия. 2013. Том 49, № 3. С.18 -24.
  2. Yin Z.-M. New method for simulation of fractional Brownian motion // Journal of computational physics, 1996, № 127, P. 66-72.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.