Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.106.4.002

Скачать PDF ( ) Страницы: 11-19 Выпуск: № 4 (106) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Кальницкий В. С. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕТХЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА / В. С. Кальницкий, А. Н. Петров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — № 4 (106) Часть 1. — С. 11—19. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/klassifikaciya-obobshhennyx-uravnenij-betxera-vtorogo-poryadka/ (дата обращения: 13.06.2021. ). doi: 10.23670/IRJ.2021.106.4.002
Кальницкий В. С. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕТХЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА / В. С. Кальницкий, А. Н. Петров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — № 4 (106) Часть 1. — С. 11—19. doi: 10.23670/IRJ.2021.106.4.002

Импортировать


КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕТХЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА

КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕТХЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Научная статья

Кальницкий В.С.1, *, Петров А.Н.2

1 ORCID: 0000-0002-3937-6078;

2 ORCID: 0000-0001-6853-5480;

1 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия;

2 Военная академия материально-технического обеспечения имени генерала армии А. В. Хрулёва,
Санкт-Петербург, Россия

* Корреспондирующий автор (st006987[at]spbu.ru)

Аннотация

В статье подводится итог исследований авторов о решении обобщенных уравнений Бетхера второго порядка от двух аргументов. Целью исследования является описание класса гладких решений таких уравнений, определённых на некоторой конической области с вершиной в начале координат. Решающим оказался метод прямого описания орбит действия общей линейной группы на пространстве тензоров типа (2,1), симметричных по ковариантным индексам. В статье были доказаны структурные теоремы о строении орбит (теоремы 1-4). Было доказано, что любое обобщённое уравнение Бетхера второго порядка приводит к одному из тринадцати типов уравнений, соответствующих тензорам, названных авторами каноническими (теорема 5). В данном исследовании часть обобщённых уравнений Бетхера решена полностью, и остальная часть сведена к четырём однопараметрическим и двум двухпараметрическим семействам функциональных уравнений Шрёдера от одной переменной. Приведены частичные решения указанных уравнений.

Ключевые слова: уравнение Бетхера, уравнение Шрёдера, функциональное уравнение, эндоморфизм Фробениуса.

A CLASSIFICATION OF GENERALIZED SECOND-ORDER BÖTTCHER’S EQUATIONS

Research article

Kalnitsky V.S.1, *, Petrov A.N.2

1 ORCID: 0000-0002-3937-6078;

2 ORCID: 0000-0001-6853-5480;

1 Saint Petersburg State University, Saint Petersburg, Russia;

2 Military Educational Institution of Logistics named after General of the Army A.V. Кhrulyov, Saint Petersburg, Russia

* Corresponding author (st006987[at]spbu.ru)

Abstract

The authors of the article summarize their research on the solution of generalized Böttcher’s equation of the second order from two arguments. The aim of the study is to describe a class of smooth solutions of these equations defined on a certain conic domain with a vertex at the origin. The method of direct description of the orbits of the action of a general linear group on the space of tensors of type (2,1), which are symmetric with respect to covariant indices, proved to be resolving. In the article, structural theorems on the structure of orbits were proved (Theorems 1-4). It was also proved that any generalized second-order Böttcher’s equation belongs to one of the thirteen types of equations corresponding to tensors, which were called canonical by the authors (Theorem 5). In this article, part of the generalized Böttcher’s equation is solved completely and the rest is reduced to four one-parameter and two two-parameter families of the functional Schröder’s equations from one variable. The study also presents partial solutions to these equations.

Keywords: Böttcher’s equation, Schröder’s equation, functional equation, Frobenius endomorphism.

Основные определения и обозначения

Определение 1 ([1]). A – 2-мерная коммутативная 10-05-2021 11-22-44–алгебра. Отображения 10-05-2021 11-23-51   называются эндоморфизмами Фробениуса.

Определение 2. Отображение 10-05-2021 11-24-04 для которого выполняется соотношение 10-05-2021 11-24-15 называется сплетающим отображением, эндоморфизм Δ2 называется 2-мерным представлением эндоморфизма δ2 в алгебре A. Если отображение φ определено на некоторой открытой в стандартной топологии области 10-05-2021 11-25-46 то будем говорить о локальном представлении.

Зафиксируем базис 10-05-2021 11-26-15 2-мерной алгебры и запишем структурные константы

10-05-2021 11-26-22   (1)

здесь и далее мы будем придерживаться соглашения Эйнштейна о суммировании. Пусть 10-05-2021 11-24-04 является сплетающим отображением 10-05-2021 11-46-27 Разложим произвольный элемент алгебры по выбранному базису 10-05-2021 11-46-38 и определим функцию 10-05-2021 11-46-47 Выполнено следующее соотношение

10-05-2021 11-46-57    (2)

Таким образом, сплетающее отображение является решением уравнения (2), которое называется обобщённым уравнением Бетхера порядка 2 [2, C. 375].

Рассмотрим задачу поиска неизвестной функции F для фиксированных коэффициентов 10-05-2021 11-49-55 Если решение F уравнения (2) найдено, то полагая 10-05-2021 11-50-08 мы получим (локальное) сплетающее отображение для δ2 и Δ2.

Действие группы  на пространстве 10-05-2021 11-57-40

Изменим базис алгебры 10-05-2021 11-58-06 Структурные константы преобразуются по тензорному закону

10-05-2021 11-58-14

Пространство всех двухмерных коммутативных 10-05-2021 11-22-44–алгебр с выбранным базисом отождествляется с пространством 10-05-2021 12-00-08 тензоров типа (2,1), симметричных по ковариантным индексам. Действие группы 10-05-2021 12-00-24 на пространстве 10-05-2021 12-00-08 задается формулами (3). Две алгебры, принадлежащие одной орбите действия группы 10-05-2021 12-00-24  являются изоморфными и наоборот.

Определение 3. Тензор 10-05-2021 12-00-36 назовем каноническими, если 10-05-2021 12-00-44

Теорема 1. В каждой орбите действия группы 10-05-2021 12-01-00 на пространстве 10-05-2021 12-00-08  существует канонический тензор.

Доказательство. Пусть 10-05-2021 12-00-36 – произвольный тензор. Запишем явно формулы преобразований коэффициентов тензора при повороте на угол t, т.е. действие матрицы 10-05-2021 12-01-12

10-05-2021 12-11-42

Обозначим 10-05-2021 12-11-54 Согласно (3)

10-05-2021 12-12-12

Если 10-05-2021 12-14-45 то рассмотрим два возможных случая:

а)  10-05-2021 12-15-00 Чтобы добиться равенства 10-05-2021 12-17-19 достаточно взять 10-05-2021 12-15-33

б)  10-05-2021 12-16-31 В силу того, что свободный коэффициент 10-05-2021 12-16-43 и старший коэффициент 10-05-2021 12-16-52 многочлена третьей степени не равны нулю, он имеет вещественный корень 10-05-2021 12-17-01. Значит, определено 10-05-2021 12-17-11 такое, что действие матрицы приводит к выполнению равенства  10-05-2021 12-15-21.

Следствие. В каждой орбите действия группы 10-05-2021 12-00-24 на пространстве 10-05-2021 12-00-08 существует канонический тензор.

Будем записывать группы структурных констант с верхним индексом 1 и 2 как коэффициенты двух квадратичных форм

18-05-2021 11-53-10

а тензор 18-05-2021 11-53-23 как пару 18-05-2021 11-53-36. В пространстве тензоров выделим совокупность 18-05-2021 11-53-49 тензоров вида

18-05-2021 11-53-59

которые мы будем называть вырожденными.

Теорема 2. Если тензор T не является вырожденным, то в его 18-05-2021 11-54-37-орбите содержится не более трёх канонических тензоров. 18-05-2021 11-54-37 -орбита вырожденного тензора состоит из вырожденных тензоров.

Доказательство. В силу теоремы 1 в 18-05-2021 11-54-37орбите тензора T содержится канонический тензор T0. Рассмотрим 18-05-2021 11-54-37орбиту тензора T0.  Формула преобразования коэффициента 18-05-2021 11-55-57 примет вид

18-05-2021 11-56-15

Если 18-05-2021 11-56-35 то кубический многочлен имеет не более трёх корней, из которых один 18-05-2021 11-56-48 Если  то при условии, что хотя бы один из двух коэффициентов квадратного трёхчлена не равен нулю, он имеет не более двух корней, из которых один  и ещё один канонический тензор соответствует 18-05-2021 11-57-06 В случае полного вырождения

18-05-2021 11-57-15

вся орбита состоит из канонических тензоров, являющихся вырожденными.

Рассмотрим LQ-разложение ([3]) произвольной невырожденной матрицы 18-05-2021 11-58-06 – невырожденная нижнетреугольная матрица, 18-05-2021 11-58-17.

Теорема 3. L(2)орбита канонического тензора T0 состоит из канонических тензоров.

Доказательство. Рассмотрим нижнетреугольную матрицу и обратную к ней

 18-05-2021 12-49-27

Согласно (3)

18-05-2021 12-49-38

Теорема 4. Группа 18-05-2021 12-50-44 действует на множестве 18-05-2021 12-50-30,  где O – тождественно нулевой тензор, транзитивно.

Доказательство. Так как мы рассматриваем ненулевой тензор, то либо 18-05-2021 12-50-57 При повороте на 18-05-2021 12-51-08 оба коэффициента, согласно (3), меняются по правилу

18-05-2021 12-51-1618-05-2021 12-51-32

Таким образом, в орбите вырожденного тензора есть тензор с  Рассмотрим этот тензор. Запишем явно все формулы (3) для действия нижнетреугольной матрицы  на тензор

18-05-2021 12-51-45

Полученный тензор имеет структуру вырожденного. Для доказательства транзитивности действия группы  необходимо доказать, что любой ненулевой вырожденный тензор можно перевести в любой ненулевой вырожденный тензор. Рассмотрим два вырожденных тензора

18-05-2021 12-59-27

если необходимо, применим поворот на 18-05-2021 12-51-08 чтобы оба первых коэффициента первых квадратичных форм были ненулевыми. Найдём коэффициенты нижнетреугольной матрицы, такие что выполняются соотношения

18-05-2021 12-59-46

Решением этой системы является, например, матрица

18-05-2021 12-59-54

Следствие. Вырожденный ненулевой тензор всегда может быть приведён к виду 18-05-2021 13-01-47

Определение 4. L(2) -орбиту канонического тензора будем называть канонической поверхностью.

Теорема 4 означает, что множество 18-05-2021 12-50-30 является 2-мерной 18-05-2021 12-50-44-орбитой и канонической поверхностью одновременно. Теорема 3 означает, что в каждой 18-05-2021 12-50-44-орбите невырожденного тензора содержится не более трёх канонических поверхностей, являющихся не более чем 3-мерными L(2)-орбитами канонических тензоров.

Классификационная теорема

Определение 5. Обобщённое уравнение Бетхера второго порядка, отвечающее каноническому тензору, будем называть каноническим уравнением.

Определение 6. Выбор одного канонического уравнения для каждой канонической поверхности будем называть классификацией обобщённых уравнений Бетхера второго порядка.

Теорема 5. Существует 13 типов канонических уравнений Бетхера, к которым может быть сведено любое нетривиальное уравнение Бетхера второго порядка.

Доказательство. Перечисление канонических уравнений начнём с канонической поверхности вырожденных тензоров, нумерацию типов будем вести римскими цифрами. Согласно следствию теоремы 4 в этой орбите всегда можно выбрать тензор, соответствующий уравнению Бетхера следующего вида: тип I.

Далее, вновь рассмотрим нижнетреугольную матрицу и обратную к ней 18-05-2021 13-01-56

18-05-2021 13-05-38

Согласно (3) образом канонического тензора T станет канонический тензор T’

 18-05-2021 13-06-55

Из соотношений следует, что если у канонического тензора 18-05-2021 13-07-55, то эти равенства сохраняются во всей L(2)-орбите. Таким образом, для классификации орбит следует рассмотреть три различных случая: 18-05-2021 13-08-51

В случае II возникают три альтернативы:

18-05-2021 13-10-51

В случае III возникают четыре альтернативы:

18-05-2021 13-11-05

В случае IV возникают пять альтернатив:

18-05-2021 13-11-28

Мы получили 13 канонических уравнений Бетхера второго порядка. Любое уравнение может быть сведено к одному из перечисленных.

Решение канонических уравнений

Определение 7. Два дифференцируемых решения 18-05-2021 13-15-03 уравнения (2) такие, что на общей (не пустой) конической области определения с вершиной в начале системы координат, принимающие все положительные значения и при этом являющиеся функционально независимыми, называются базовыми решениями.

Теорема 6 ([1]). Если существуют два базовых решения, то общее решение обобщенного уравнения Бетхера имеет вид

 18-05-2021 13-15-13

 I.18-05-2021 13-15-21

Решение. Сразу запишем 18-05-2021 13-15-38 то есть на оси Ob функция F должна быть константой 1 или 0. Рассмотрим функцию18-05-2021 13-15-47

18-05-2021 13-15-54

Единственным гладким решением этого уравнения, определенном на луче, является функция 18-05-2021 13-16-11 – произвольная функция числового аргумента ξ (см. напр. [8]). Так иных значений на конической области функция принимать не может, то общее решение имеет вид

18-05-2021 13-22-51

18-05-2021 13-22-59

Решение (II. a, II. b). Коническая область должна содержать ось Oa по условию. На этой оси функция F постоянна и равна 0 или 1, так как 18-05-2021 14-03-15. Общее непрерывное решение – константа 0 или 1.

II. c18-05-2021 14-03-42

Решение. Верно тождество 18-05-2021 14-04-35 Следовательно, на луче Oa, а>0, функция имеет вид 18-05-2021 14-09-12 Из уравнения следует, что значения функции 18-05-2021 14-09-37 на линиях уровня  представляющие собой либо эллипсы, либо гиперболы, либо вертикальные прямые (при 18-05-2021 14-09-56), равны  т.е. 18-05-2021 14-10-27 является базовым решением. Общее решение уравнения имеет вид

18-05-2021 14-10-50

и определено на конической области положительности

18-05-2021 14-11-01

III. a18-05-2021 14-29-51

Решение. На луче 19-05-2021 19-48-17. Следовательно  19-05-2021 19-48-25Для любого а выполнено 19-05-2021 19-48-33 т.е. общее решение 19-05-2021 19-48-43

III. b18-05-2021 14-33-55

Решение. Функция 18-05-2021 14-34-13 является решением.

  1. Если 18-05-2021 14-35-00 то рассмотрим функцию 18-05-2021 14-35-16 Для нее выполнено 18-05-2021 14-35-40. Тогда 18-05-2021 14-36-00 ([4], стр. 114), и общее решение имеет вид
  2. 18-05-2021 14-36-28
  3. Если 18-05-2021 14-54-13 то определим функцию 18-05-2021 14-54-27. Все решения имеют вид 18-05-2021 14-54-39 – произвольная функция числового аргумента ξ для знака плюс, и четная – для знака минус. Общее решение имеет вид 18-05-2021 14-54-54.

III. c18-05-2021 14-56-14

Решение. Первым базовым решением, очевидно, является функция 18-05-2021 14-57-09. Для нахождения второй базовой функции рассмотрим функцию вида 18-05-2021 14-57-22.

18-05-2021 14-57-31

  1. 18-05-2021 14-35-00 В этом случае можно сделать замену

18-05-2021 15-13-12

Возникшее функциональное уравнение имеет семейство решений

18-05-2021 15-13-19

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

18-05-2021 15-13-26

  1. 18-05-2021 15-13-39 Задав произвольную функцию 18-05-2021 15-13-49 на промежутке [0, 1) и используя тождество 18-05-2021 15-13-58 продолжим её на промежуток  и т.д. При выполнении граничных условий, можно добиться непрерывности и гладкости построенной функции. Общее решение исходного уравнения будет иметь вид

18-05-2021 15-14-09

  1. Снова18-05-2021 15-14-18 рассмотрим функцию вида 18-05-2021 15-14-25.

18-05-2021 15-14-34

Сделаем замену

19-05-2021 17-57-30

Следовательно, непрерывные решения только 19-05-2021 17-57-40. Общее решение 19-05-2021 17-57-49

III. d19-05-2021 17-58-07

Решение. Функция 19-05-2021 17-58-16 является решением. Для нахождения второй базовой функции рассмотрим функцию вида 19-05-2021 17-58-27.

19-05-2021 17-58-39

i) При 19-05-2021 18-11-08 очевидное общее решение 19-05-2021 18-11-22

ii) При 19-05-2021 18-11-41 зададим на промежутке 19-05-2021 18-12-05 произвольную функцию 19-05-2021 18-12-23 и пользуясь соотношением будем доопределять ее последовательно на промежутках 19-05-2021 18-12-40 В силу условия 19-05-2021 18-11-41 эти промежутки покроют всю полуось. Общее решение на конической области 19-05-2021 18-12-55 имеет вид 19-05-2021 18-13-26

iii) При 19-05-2021 18-14-00 сделаем замену 19-05-2021 18-14-11 – любой корень уравнения 19-05-2021 18-14-20 Тогда 19-05-2021 18-14-42. Положив  19-05-2021 18-14-51 мы получим уравнение Шрёдера 19-05-2021 18-15-04

Теорема 7 ([5], п. 6.5.24, стр. 122). Пусть 19-05-2021 18-15-16 строго возрастает, 19-05-2021 18-15-26 тогда единственным непрерывным решением уравнения

19-05-2021 18-26-40

на отрезке 19-05-2021 18-27-11

Доказательство этой теоремы можно найти в [6, 7]. Для гладкой строго возрастающей функции 19-05-2021 18-27-27 называющейся ядром, условия теоремы будут выполнены на некотором промежутке при 19-05-2021 18-27-39 Применительно к нашему уравнению это условие запишется как  19-05-2021 18-27-55  что выполнено только для левого корня при 19-05-2021 18-28-08

IV. a19-05-2021 18-28-34 

Решение. Функция F равна 1 или 0 тождественно на оси Ob, следовательно в любой точке 19-05-2021 18-28-49 значение 19-05-2021 18-28-59 есть 0 или 1.

IV. b19-05-2021 18-29-17

Решение. Рассмотрим функцию 19-05-2021 18-29-26

19-05-2021 18-35-38

Общее решение имеет вид 19-05-2021 18-36-02 где в случае знака минус аргумент 19-05-2021 18-36-14. Определим свойства функции 19-05-2021 18-36-39 подставив в исходное равенство

19-05-2021 18-36-51

  1. i) (+). Задав любую 19-05-2021 18-37-07 функцию на промежутке 19-05-2021 18-37-15 и по указанному равенству продолжив на 19-05-2021 18-37-25 мы получим искомую функцию.
  2. ii) (-). Задав любую 19-05-2021 18-37-07 функцию на промежутке 19-05-2021 18-37-35 и по указанному равенству продолжив на 19-05-2021 18-37-58 мы получим искомую функцию.

Итак, общее решение

19-05-2021 18-38-08

IV. c19-05-2021 18-46-31

Решение. i) При 19-05-2021 18-11-08  уравнение имеет очевидное общее решение

19-05-2021 18-59-42

  1. При 19-05-2021 18-59-58 рассмотрим 19-05-2021 19-00-10.

19-05-2021 19-00-27

Обозначим 19-05-2021 19-00-40 корни квадратного уравнения 19-05-2021 19-01-36 Сделав замены 19-05-2021 19-02-09 мы получим два уравнения Шрёдера  ([9]) 19-05-2021 19-02-43 Применим стандартную схему рассуждений ([8]), сделав подстановку 19-05-2021 19-02-53 например, в первое уравнение

19-05-2021 19-02-59

Повторяя подстановку, рекурсивно получим для любых 19-05-2021 19-03-07

 19-05-2021 19-03-21

Аналогичное равенство верно и для второго уравнения. При 19-05-2021 19-04-10 корни равны 19-05-2021 19-04-24 и тогда для любого t

19-05-2021 19-04-55

При 19-05-2021 19-12-44 одно из отношений 19-05-2021 19-12-52 строго меньше единицы и соответствующее уравнение Шрёдера имеет лишь тривиальное решение. Для второго отношения (будем считать, что 19-05-2021 19-13-05 – правый корень) применим теорему 7 к уравнению19-05-2021 19-13-26 обладает свойствами: 19-05-2021 19-13-56 По теореме 7, решение тривиально на указанном отрезке.

IV. d19-05-2021 19-14-25

Решение. i) При 19-05-2021 18-11-08 уравнение имеет очевидное решение 19-05-2021 19-14-42. Для поиска остальных решений запишем 19-05-2021 19-14-59

19-05-2021 19-15-07

Возникают две альтернативы: 19-05-2021 19-15-30

а) решение уже известно 19-05-2021 19-15-49 Общее решение имеет вид

19-05-2021 19-16-01

б) При  19-05-2021 19-22-47  Следовательно 19-05-2021 19-23-00 и общее решение 19-05-2021 19-23-44

ii) При 19-05-2021 19-24-18 в обозначениях предыдущего пункта,

19-05-2021 19-24-28

Сделаем замену 19-05-2021 19-24-39 Тогда

19-05-2021 19-24-49

При 19-05-2021 19-25-00 мы находимся в условиях теоремы 7, нетривиальных решений нет.

IV. e19-05-2021 19-25-20

Решение. В принятых обозначениях

19-05-2021 19-33-47

i) При 19-05-2021 18-11-08 это уравнение было решено полностью в п. III. c). Общее решение имеет вид

19-05-2021 19-34-33

ii) При 19-05-2021 19-34-46

19-05-2021 19-34-53

корень уравнения  19-05-2021 19-35-03. Тогда

19-05-2021 19-35-16

Условия теоремы 7 выделяют области параметров 19-05-2021 19-35-29 для которых решения уравнения тривиальны.

Заключение

Завершение описания гладких общих решений уравнений Бетхера второго порядка состоит в решении пяти оставшихся не решёнными канонических уравнений. Перечислим уравнения от одной переменной, к которым они сводятся:

19-05-2021 19-40-28

19-05-2021 19-40-51

19-05-2021 19-41-04

Перечисленные уравнения могут быть интерпретированы как вопрос о вещественной сопряженности многочлена t2 и рациональной функции (ядра). Полное решение этого вопроса в комплексном случае можно найти в [10]. 

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Кальницкий В.С. Локальные гладкие сопряжения эндоморфизмов Фробениуса / В.С. Кальницкий, А.Н. Петров // Записки науч. сем. ПОМИ. – 2018. – T. 476. – С. 111-124.
  2. Кальницкий В.С. Связь уравнения Бетхера с параметризованным интегралом Пуассона / В.С. Кальницкий, А.Н. Петров // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. – 2018. – 5(63). – С. 614-622.
  3. Horn R. A. Matrix Analysis / R. A. Horn, C. R. Johnson // Cambridge University Press. – 1985. – 561 P.
  4. Пелюх Г.П. Метод инвариантов в теории функциональных уравнений / Г.П. Пелюх, А.Н. Шарковский // Працi Iнституту математики НАНУ. Т. 95 – Киев: Инст. мат. НАН, Украина, 2013. – 255 с.
  5. Нечепуренко М.И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения / М.И. Нечепуренко. – Новосибирск, 1997. – 228 с.
  6. Dyjak C. BV-solution of a linear functional equation / C. Dyjak // Publ. Math. – 1986. – 33, N 1-2. – P. 83-85.
  7. Matkowski J.A. Solutions of bounded variation of a linear functional equation / J.A. Matkowski, M.A. Zdun // Aequat. Math. – 1974. – 10, N 2,3. – P. 223-235.
  8. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. – Москва: Факториал, 1998. – 432 с.
  9. Schroeder E. Über iterirte Funktionen / E. Schroeder // Math. Ann. – 1871. – 3. – P. 296-322.
  10. Еременко А.Э. О некоторых функциональных уравнениях, связанных с итерацией рациональных функций / А.Э. Еременко // Алгебра и анализ. – 1989. – Т. 1, Вып. 4. – С. 102–116.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Kalnitsky V.S. Lokal’nye gladkie soprjazhenija jendomorfizmov Frobeniusa [Local smooth conjugations of Frobenius endomorphisms] / V.S. Kal’nickij, A.N. Petrov // Zapiski nauch. sem. POMI [Journal of mathematical sciences]. – 2020. – v. 251, No. 4. – p. 503-511. [in Russian]
  2. Kalnitsky V.S. Svjaz’ uravnenija Bethera s parametrizovannym integralom Puassona [Relation of the Böttcher Equation with the parametrized Poisson Integral] / V.S. Kal’nickij, A.N. Petrov // Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Matematika. Mehanika. Astronomija [Vestnik St. Petersburg University: Mathematics]. – 2018. – 51 (4). – p. 373-379. [in Russian]
  3. Horn R. A. Matrix Analysis / R. A. Horn, C. R. Johnson // Cambridge University Press. – 1985. – 561 P.
  4. Peluh G.P. Metod invariantov v teorii funkcional’nyh uravnenij [Method of invariants in the functional equations theory] / G.P. Peljuh, A.N. Sharkovskij // Praci institutu matematiki NAS Ukrainy. V. 95 – Kyiv: Inst. of Math. NASU, 2013. – 255 p. [in Russian]
  5. Nechepurenko M.I. Iteracii veshhestvennyh funkcij i funkcional’nye uravnenija [Real functions iterations and functional equations] / M.I. Nechepurenko. – Novosibirsk, 1997. – 228 p. [in Russian]
  6. Dyjak C. BV-solution of a linear functional equation / C. Dyjak // Publ. Math. – 1986. – 33, N 1-2. – P. 83-85.
  7. Matkowski J.A. Solutions of bounded variation of a linear functional equation / J.A. Matkowski, M.A. Zdun // Aequat. Math. – 1974. – 10, N 2,3. – P. 223-235.
  8. Polyanin, A. D. Spravochnik po integral’nym uravnenijam: Tochnye reshenija [Handbook of Integral Equations: Exact Solutions (Supplement. Some Functional Equations)] / A.D. Poljanin, A.V. Manzhirov. – Moscow: Faktorial, 1998. – 432 P. [in Russian]
  9. Schroeder E. Über iterirte Funktionen [About iterated functions] // Math. Ann. – 1871. – 3. – P. 296-322. [in German]
  10. Eremenko A.E. O nekotoryh funkcional’nyh uravnenijah, svjazannyh s iteraciej racional’nyh funkcij [On some functional equations related to the iteration of rational functions] / A.Je. Eremenko // Algebra i analiz [Algebra and Analysis]. – 1989. – V. 1, Issue. 4. – P. 102–116. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.