Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.69.035

Скачать PDF ( ) Страницы: 11-14 Выпуск: № 3 (69) () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Салимов Р. Б. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА НА ЛУЧЕ С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ НОВЫМ МЕТОДОМ / Р. Б. Салимов, Т. Ю. Горская // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 3 (69). — С. 11—14. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/issledovanie-resheniya-kraevoj-zadachi-rimana-na-luche-s-beskonechnym-indeksom-novym-metodom/ (дата обращения: 22.09.2018. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.69.035
Салимов Р. Б. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА НА ЛУЧЕ С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ НОВЫМ МЕТОДОМ / Р. Б. Салимов, Т. Ю. Горская // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 3 (69). — С. 11—14. doi: 10.23670/IRJ.2018.69.035

Импортировать


ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА НА ЛУЧЕ С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ НОВЫМ МЕТОДОМ

Салимов Р.Б.1, Горская Т.Ю.2

1ORCID: 0000-0003-4177-4830, Доктор физико-математических наук, 2ORCID: 0000-0001-7136-8388, Кандидат технических наук,

1,2Казанский государственный архитектурно-строительный университет, г. Казань

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА НА ЛУЧЕ С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ НОВЫМ МЕТОДОМ

Аннотация

В работе рассматривается краевая задача Римана с бесконечным индексом дробного порядка, превышающего половину и меньшего единицы, когда краевое условие для искомой аналитической функции задается на положительной действительной оси комплексной плоскости. Для решения задачи используется подход, основанный на устранении бесконечного разрыва аргумента коэффициента краевого условия с помощью специально подобранной аналитической функции, представляющей собой показательную функцию с названной дробной степенью аргумента.

Ключевые слова: краевая задача Римана, аналитическая функция, бесконечный индекс.

Salimov R.B.1, Gorskaya T.Yu.2

1ORCID: 0000-0003-4177-4830, PhD in Physics and Mathematics, 2ORCID: 0000-0001-7136-8388, PhD in Engineering,

1,2Kazan State University of Architecture and Civil Engineering, Kazan

INVESTIGATION OF SOLUTION OF RIEMANN BOUNDARY VALUE PROBLEM ON RAY WITH INFINITE INDEX WITH NEW METHOD

Abstract

In this paper we consider the Riemann boundary value problem with an infinite fractional index exceeding half and less than one when the boundary condition for the desired analytic function is given on the positive real axis of the complex plane. To solve the problem, the approach based on eliminating an infinite discontinuity of the argument of the coefficient of the boundary condition using a specially selected analytic function representing an exponential function with the fractional power of the argument is used.

Keywords: Riemann boundary value problem, analytic function, infinite index.

Введение. Постановка задачи

Пусть область в плоскости комплексного переменного 22-03-2018 17-08-03  границей которой служит положительная действительная полуось L. Требуется определить функцию Ф(z) аналитическую и ограниченную в области D, если её граничные значения удовлетворяют условию

22-03-2018 17-10-31   (1)

где 22-03-2018 17-11-31 предельные значения функции Ф(z) при z→t соответственно слева и справа, когда соответственно 22-03-2018 17-12-31 -заданная функция, удовлетворяющая условию Гельдера на 22-03-2018 17-15-23 коэффициент G(t) заданная функция, обладающая следующими свойствами

22-03-2018 17-18-43   (2)

22-03-2018 17-19-43 заданные числа, 22-03-2018 17-20-06 заданная функция, 22-03-2018 17-21-25

Задача с краевым условием (1) называется неоднородной, а задача с краевым условием

22-03-2018 17-22-35   (3)

однородной [1 C.106], [2 C.122, 133].

В статье [3] дано решение однородной задачи Римана в случае, когда 22-03-2018 17-23-28  путем устранения бесконечного разрыва 22-03-2018 17-24-12 с помощью специально подобранной аналитической функции. Оно отличается простотой и прозрачностью по сравнению с решением, разработанным Н.В. Говоровым – основателем научного направления, посвященного задачам Римана с бесконечным индексом [4 С. 113-123].

Краткие сведения о развитии этого научного направления приведены в работе [3], в которой, в частности, упоминаются работы Толочко М.Э. [5], Сандрыгайло И.Е. [6], Алехно А.Г. [7].

Основные результаты

В данной работе подход, примененный в статье [3], распространяется на случай, когда 22-03-2018 17-25-17

Возьмем функцию

22-03-2018 17-25-52

22-03-2018 17-26-51,  однозначную и аналитическую в области D, граничные значения которой 22-03-2018 17-28-01 (обозначенные как и в случае Ф(z)) удовлетворяют равенству

22-03-2018 17-30-44    (4)

причем

22-03-2018 17-31-30   (5)

Для 22-03-2018 17-32-20 имеем

22-03-2018 17-32-52

в частности

22-03-2018 17-33-37    (6)

Рассмотрим вначале решение однородной задачи с краевым условием (3). Не ограничивая общности, для простоты примем

22-03-2018 17-34-29   (7)

Запишем краевое условие (3) в виде

22-03-2018 17-35-14   (8)

В силу соотношений (2), (4), (8) будем иметь 22-03-2018 17-36-20 причем 22-03-2018 17-36-46. Следовательно, задача (7) есть задача с коэффициентом G1(t)  удовлетворяющим условию HL.

Определим аналитическую и ограниченную в области D  функцию [1 С. 119],

22-03-2018 17-38-34

значения которой на 22-03-2018 17-39-25 удовлетворяют условию 22-03-2018 17-40-00 В последней формуле интеграл можно заменить интегралом по всей действительной оси, считая 22-03-2018 17-40-32  когда плотность 22-03-2018 17-41-08 удовлетворяет условию Гельдера на этой оси, поэтому 22-03-2018 17-41-41

Функция 22-03-2018 17-42-28 является аналитической в области D и ее граничные значения удовлетворяют условию 22-03-2018 17-43-09. Выражая отсюда G1(t) краевое условие (7) запишем так

22-03-2018 17-44-00

Это означает, что функция 22-03-2018 17-44-46 является аналитической всюду с плоскости   так как её значения на берегах разреза по линии L  совпадают, т.е. она представляет собой целую функцию F(z)  Итак

23-03-2018 09-59-25   (9)

Так как 23-03-2018 10-00-10  функции, ограниченные в области 23-03-2018 10-00-22 то

23-03-2018 10-01-26   (10)

для всех точек области D включая точки L

Поэтому в силу (9) с учетом (5) будем иметь

23-03-2018 10-02-19     (11)

причем 23-03-2018 10-12-45,  поскольку 23-03-2018 10-13-27 и с учетом (6) получаем

23-03-2018 10-14-10

Принимая во внимание (10), легко убедиться в том, что порядок pF целой функции F(z)  формулы (9) подчиняется условию

23-03-2018 10-15-36

где 23-03-2018 10-19-14

При 23-03-2018 10-27-47 в силу (11) имеем

23-03-2018 10-28-55

что невозможно, если F(z) целая функция конечного порядка pF и конечного типа [8 С.259].

В дальнейшем будем рассматривать решения задачи (3) в классе функций, содержащих согласно (9) целые функции F(z) конечного порядка и конечного типа, считая 23-03-2018 10-32-50

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Если краевая задача (3) при 23-03-2018 10-33-33  имеет ограниченное решение в указанном классе функций, то это решение определяется формулой

 23-03-2018 10-34-39   (13)

где F(z) –произвольная целая функция порядка  конечного типа, удовлетворяющая неравенствам (11), (12).

Можно показать, что, в частности, в качестве F(z) можно взять целую функцию с положительными нулями, выбрав соответствующим образом положение последних.

Нетрудно убедиться в том, что справедлива и обратная

Теорема 2. Если 23-03-2018 10-33-33  то ограниченное решение задачи (3) определяется формулой (13), где F(z) произвольная целая функция порядка  конечного типа, удовлетворяющая неравенствам (11), (12).

Для доказательства вначале отметим, что функция (13) по построению удовлетворяет краевому условию (3). Остается установить ограниченность функции (13).

Функция 23-03-2018 10-37-39 является ограниченной в области D (вместе с функцией Г(z) ), следовательно,

23-03-2018 10-38-46

для всех точек области D включая точки L.

Поэтому для функции (13) на основании (6), (12) будем иметь

23-03-2018 10-40-49

и в силу (5), (11) получим

23-03-2018 10-45-45

Следовательно, функция Ф(z) ограничена на всей действительной оси.

В силу (13) порядок функции Ф(z) в верхней полуплоскости меньше числа 23-03-2018 10-47-16. Поэтому на основании теоремы Фрагмена-Линделефа приходим к выводу 23-03-2018 10-49-13, что 23-03-2018 10-48-01 всюду в верхней полуплоскости. Ясно, что сказанное относится и к точкам нижней полуплоскости. Следовательно, функция Ф(z) ограничена в области D, что и требовалось.

Для решения неоднородной задачи краевое условие (1) умножим на 23-03-2018 10-50-11 коэффициент23-03-2018 10-50-24 как и выше, представим в виде  и краевое условие (1) запишем так

23-03-2018 10-51-28     (14)

принимая для простоты 23-03-2018 10-52-21

Мы пришли к задаче о скачке для функции 23-03-2018 10-53-06 аналитической в области D [1 С.106,109],  [2, C. 112, 113].

Ограниченное в области D (частное) решение 23-03-2018 10-53-06  задачи (14) определяется формулой

23-03-2018 10-54-16

Поэтому

23-03-2018 10-55-17

Из формулы (15) видно, что если

23-03-2018 10-55-55     (17)

то 23-03-2018 10-56-43 будет ограниченной функцией, т.к. при 23-03-2018 10-33-33 согласно (5) 23-03-2018 10-57-23. При этом функция Ф(z) формулы (16) будет ограниченной в области D поскольку в силу (6) 23-03-2018 10-58-31 и порядок Ф(z) в полуплоскости 23-03-2018 11-01-15 меньше единицы. Таким образом, мы пришли к

Теореме 3. Если выполняется условие (17), то неоднородная задача (1) имеет ограниченное частное решение, определяемое формулой (16).

При 23-03-2018 11-02-26 согласно (5) имеем 23-03-2018 11-03-23 отпадает необходимость выполнения условия (17), и искомое частное решение задачи (1) определяется формулой (16). Случай 23-03-2018 11-04-17 рассмотрен в работе [10].

Уместно остановиться на другом способе получения при 23-03-2018 11-04-17 частного решения неоднородной задачи (1), когда не используется условие (17). Для этого возьмем решение задачи о скачке (14), определяемое формулой

23-03-2018 11-07-44   (18)

где 23-03-2018 11-08-28 -произвольная целая функция порядка 23-03-2018 11-09-06, которая при 23-03-2018 11-10-20 удовлетворяет условию, аналогичному (12)

23-03-2018 11-11-21   (19)

Здесь имеем

23-03-2018 11-12-16   (20)

где

23-03-2018 11-13-25

причем 23-03-2018 11-14-35 при  [1 С.49], [2 С. 66,68].

Пусть функция 23-03-2018 11-15-34  выбрана так, что

23-03-2018 11-16-05    (21)

Тогда на основании (20) приходим к заключению, что 23-03-2018 11-18-02 является функцией, ограниченной на L. Согласно (18) имеем

23-03-2018 11-18-50    (22)

Интеграл этой формулы есть ограниченная в области D функция, стремящаяся к нулю при 23-03-2018 11-20-22. С учетом (6) и (19) при 23-03-2018 11-10-20 приходим к выводу, что функция 23-03-2018 11-21-22 является ограниченной на отрицательной части действительной оси.

Порядок функции Ф(z) формулы (22) в полуплоскости 23-03-2018 11-01-15 не превышает 23-03-2018 11-23-16 Следовательно, из ограниченности этой функции на всей действительной оси втекает её ограниченность в каждой из указанных полуплоскостей и ограниченность в области D

Итак, справедлива

Теорема 4. Если 23-03-2018 11-15-34  целая функция порядка 23-03-2018 11-09-06 , выбранная так, чтобы выполнялось условие (21) и неравенство (19) при 23-03-2018 11-10-20  то частное решение неоднородной задачи (1) определяется формулой (22).

Общее решение неоднородной задачи (1) как известно, представляется как сумма частного решения этой задачи и общего решения соответствующей однородной задачи (3).

Вопрос о построении удовлетворяющей условиям теоремы 4 целой функции 23-03-2018 11-15-34 требует специального рассмотрения.

Заключение

В данной работе получено новое прозрачное решение рассматриваемой задачи. Это решение отличается в деталях от соответствующих результатов работы [4], что объясняется, в частности, тем, что постановки задач в указанных работах имеют некоторые различия и кроме того используются разные методы решения задачи, приводящие к разным формулам.

Список литературы / References

  1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 641 с.
  2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968. – 511 с.
  3. Салимов Р.Б. Новый подход к решению однородной краевой задачи Римана на луче с бесконечным индексом / Р.Б. Салимов, А.З. Сулейманов // Известия вузов. Математика. №5, 2017, С. 71 – 76.
  4. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров. – М.: Наука, 1986. – 239 с.
  5. Толочко М.Э. О разрешимости однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости/ М.Э. Толочко // Известия АН БССР, сер. Физ.-матем. Наук, №5, 1972. С. 34 – 41.
  6. Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости/ И.Е. Сандрыгайло // Доклады АН БССР 19(10), 1975, С. 872 – 875.
  7. Алехно А.Г. Достаточные условия разрешимости однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом / А.Г. Алехно // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.14. Казань, 2002. С. 71 – 77.
  8. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций / А.И. Маркушевич. Т. 2. – М.: Наука, 1968. – 624 с.
  9. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин. –М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.
  10. Салимов Р.Б. Решение неоднородной краевой задачи Римана на луче с бесконечным индексом новым методом / Р.Б. Салимов, А.З. Сулейманов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.54. Казань, 2017. С. 317 – 320.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Gahov F.D. Kraevye zadachi [Boundary value problems] M.: Nauka, 1977. – 641 p. [in Russian]
  2. Mushelishvili N.I. Singuljarnye integral’nye uravnenija. [Singular integral equations] M.: Nauka, 1968. – 511 p. [in Russian]
  3. Salimov R.B. Novyj podhod k resheniju odnorodnoj kraevoj zadachi Rimana na luche s beskonechnym indeksom [A new approach to the solution of a homogeneous boundary value problem of Riemann on the beam with infinite index] // Izvestija vuzov. Matematika. [Izvestiya vuzov. Math] – №5, 2017, P. 71 – 76. [in Russian]
  4. Govorov N.V. Kraevaja zadacha Rimana s beskonechnym indeksom [The Riemann boundary value problem with infinite index] M.: Nauka, 1986. – 239 p. [in Russian]
  5. Tolochko M.Je. O razreshimosti odnorodnoj kraevoj zadachi Rimana s beskonechnym indeksom dlja poluploskosti [On solvability of the homogeneous boundary value Riemann problem with an infinite index for half-plane ] / M.Je. Tolochko // Izvestija AN BSSR, ser. Fiz.-matem. Nauk [Izvestia an BSSR, ser. Phys.-mod. Sciences], №5, 1972. P. 34 – 41. [in Russian]
  6. Sandrygajlo I.E. O kraevoj zadache Rimana s beskonechnym indeksom dlja poluploskosti [On the boundary Riemann problem with an infinite index for half-plane] / I.E. Sandrygajlo // Doklady AN BSSR [Doklady an BSSR] 19(10), 1975, P. 872 – 875. [in Russian]
  7. Alehno A.G. Dostatochnye uslovija razreshimosti odnorodnoj kraevoj zadachi Rimana s beskonechnym indeksom [Sufficient conditions of solvability of the homogeneous boundary value Riemann problem with an infinite index] / A.G. Alehno // Trudy Matematicheskogo centra imeni N.I. Lobachevskogo. [Works of Mathematical center named after N. And. Lobachevsky ] T.14. Kazan’, 2002. P. 71 – 77. [in Russian]
  8. Markushevich A.I. Teorija analiticheskih funkcij [The theory of analytic functions] T. 2. M.: Nauka, 1968. – 624 p. [in Russian]
  9. Levin B.Ja. Raspredelenie kornej celyh funkcij [The distribution of roots of entire functions] M.: Gostehizdat, 1956. – 632 p. [in Russian]
  10. Salimov R.B. Reshenie neodnorodnoj kraevoj zadachi Rimana na luche s beskonechnym indeksom novym metodom [Solution of the inhomogeneous boundary value problem of Riemann on the beam with infinite index a new method] // Trudy Matematicheskogo centra imeni N.I. Lobachevskogo. [Works of Mathematical center named after N. And. Lobachevsky] T.54. Kazan’, 2017. P. 317 – 320. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.