Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.18454/IRJ.2016.49.113

Скачать PDF ( ) Страницы: 101-104 Выпуск: № 7 (49) Часть 4 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Юрьева Т. А. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ / Т. А. Юрьева, А. П. Филимонова // Международный научно-исследовательский журнал. — 2016. — № 7 (49) Часть 4. — С. 101—104. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/geometricheskie-i-statisticheskie-metody-v-modelirovanii-processa-kontaktnogo-vzaimodejstviya-tel/ (дата обращения: 18.04.2021. ). doi: 10.18454/IRJ.2016.49.113
Юрьева Т. А. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ / Т. А. Юрьева, А. П. Филимонова // Международный научно-исследовательский журнал. — 2016. — № 7 (49) Часть 4. — С. 101—104. doi: 10.18454/IRJ.2016.49.113

Импортировать


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ

Юрьева Т.А.1, Филимонова А.П.2

1Кандидат педагогических наук, 2Кандидат физико-математических наук, доцент, Амурский государственный университет

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ

Аннотация 

В статье исследуется возможность применения методов дифференциальной геометрии и вероятностно-статистических методов к моделированию технологического процесса контактного взаимодействия тел. В частности решается задача построения статистической оценки математического ожидания кривизны профиля тела, участвующего в контактном взаимодействии. При этом реальная поверхность моделируется регулярной поверхностью. Решение данной задачи находит применение в изучении процессов механической и физико-технической обработки, в технологии машиностроения.

Ключевые слова: кривизна кривой, кривизна поверхности, плотность вероятности, математическое ожидание.

Yuryeva T.A.1, Filimonova A.P.2

1PhD in Pedagogy, 2PhD in Physics and Mathematics, assосiate professor, The Amur State University

GEOMETRIC AND STATISTICAL METHODS IN MODELING OF CONTACT INTERACTION OF BODIES

 Abstract

The article explores the possibility of using methods of differential geometry and probabilistic and statistical methods to the modeling process of contact interaction of bodies. In particular, to solve the problem of constructing a statistical estimation of the expectation of the profile curvature of the body involved in contact. At the same time the real surface is simulated a regular surface. The solution to this problem finds application in the study of the processes of mechanical and physical-technical processing in mechanical engineering.

Keywords: the curvature of the curve, the curvature of the surface, the probability density, mathematical expectation.

В настоящее время широкое распространение находит совместное применение методов геометрии и математической статистики. Например, язык дифференциальной геометрии используется для описания статистической модели и построения методов обработки данных. В данной работе рассматривается прикладная задача описания реальной поверхности с опорой на геометрию и математическую статистику.

Математическое моделирование реальной поверхности находит широкое применение в технике. В частности, при изучении зависимости различных физических характеристик от геометрии рельефа поверхности.

При построении математической модели исследователи применяют различные подходы к представлению о микрогеометрии поверхности: как о наборе выступов правильной геометрической формы; как о случайном поле; как о фрактальной структуре. В зависимости от выбранного подхода исследователи предлагают свои геометрические параметры, необходимые для моделирования рельефа поверхности.

Так, в исследовании Г.В. Литовки [1], изучавшем контактное взаимодействие тел и опирающемся на теоретико-вероятностный подход, в качестве такого параметра было введено понятие остроты L рельефа, которая определялась двумя независимыми друг от друга параметрами: кривизной профиля и количеством локальных максимумов профильной кривой на единице длины.

В данной работе мы упростили математическую модель, построенную автором, а именно, положили, что острота L определяется только кривизной k профиля кривой, так как гладкая плоская кривая и, как следствие, ее экстремумы полностью определяется своей функцией кривизны [2]. Задачей нашей работы явилось, с одной стороны, определение кривизны k профиля поверхности тела в целом и, с другой стороны, установление корреляции параметра L и кривизны профиля.

Будем считать, что поверхность F тела является замкнутой гомеоморфной сфере S2 и, по крайней мере, класса гладкости С2. Такую поверхность можно задать неявным уравнением F (x, y, z) = 0 в декартовых прямоугольных координатах или уравнением ρ=ρ (u, v) в сферических координатах, где центр системы координат помещён внутри тела. Принадлежность поверхности F классу гладкости С2 означает, что функция, задающая поверхность, является дважды дифференцируемой, то есть имеет непрерывные частные производные второго порядка. В каждой точке M регулярной поверхности F существует единственная касательная плоскость TмF. Обозначим через 04-07-2016 11-00-53 вектор нормали к TмF в точке M. Этот вектор для гладкой поверхности определён однозначно. Линии пересечения поверхности F плоскостями, проходящими через 04-07-2016 11-00-53, является нормальными сечениями поверхности F в точке М. Так как через точку M поверхности F можно провести пучок плоскостей, проходящих через 04-07-2016 11-00-53 и провести аналогичные рассуждения относительно всех точек поверхности F, то получим множество профильных кривых одной поверхности F тела. Семейство профильных кривых одного тела можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности профильных кривых, образованных всеми телами, участвующими в контактном взаимодействии. Далее считаем, что параметр K оценивает генеральную совокупность профильных кривых тел, участвующих в контактном взаимодействии. Таким образом, для параметра K имеем:

04-07-2016 11-04-22        (1)

04-07-2016 11-04-40    (2)

Здесь N – количество тел, участвующих в контактном взаимодействии; Ki – среднее значение кривизны рельефа поверхности i-ого тела; N’ – совокупное множество профильных кривых, принадлежащих i-ому телу; Kij – кривизна рельефа j-ой профильной кривой i-ого тела. Пусть j-ая кривая i-ого тела является реализацией случайной функции ρj = ρj (θ)∈C2 заданной в полярных координатах.

Принимая за кривизну профиля в точке, кривизну соприкасающейся окружности в этой точке получаем E(K) = E04-07-2016 11-08-31, где r – радиус соприкасающейся окружности к профильной кривой ρj = ρj (θ).

Величины математического ожидания кривизны профиля E04-07-2016 11-08-31  определяется по формуле:

04-07-2016 11-10-25    (3)

где f(r) – функция плотности вероятности радиусов кривизны в точках максимумов профильной кривой ρj = ρj (θ).

В свою очередь функция плотности вероятности радиусов кривизны задается выражением:

04-07-2016 11-11-33    (4)

где D – дисперсия второй производной функции ρj = ρj (θ). После подстановки соотношение (4) в формулу (3), определим параметр E04-07-2016 11-08-31 в общем виде:

04-07-2016 11-12-54   (5)

Используя замену y = 04-07-2016 11-13-46  и dr = 04-07-2016 11-14-27 , перепишем интеграл (5) в виде:

04-07-2016 11-15-39    (6)

Воспользуемся табличным интегралом: 04-07-2016 11-16-30, где p>0. Для нашего случая n=1, p=04-07-2016 11-17-05 . Посредством выполнения несложных преобразований, выражение (6) примет вид:

04-07-2016 11-18-01   (7)

В общем случае полученная функциональная зависимость (7) оценивает величину математического ожидания кривизны тел, участвующих в контактном взаимодействии.

Проанализируем формулу (7) для случая контактного взаимодействия моделируемого тела с плоским контртелом.

Рассмотрим случайную функцию ρj = ρj (θ). Примем кривую реализации этой функции, заключённую в интервале Δζ , за выборочную функцию ζ(ρ,θ) . Тогда значения выборочной функции ζ(ρ,θ) в интервале Δζ можно найти из следующего уравнения 04-07-2016 11-22-14. Здесь E(R) – математическое ожидание радиуса кривизны средней линии профиля. Радиус кривизны средней линии профиля будет описываться функцией окружности кривизны R(r), где r – радиус соприкасающейся окружности к профильной кривой ρj. Последовательность случайных величин εj можно определить из годографа вектора , который описывает профильную кривую ρj = ρj (θ) тела, участвующего в контактном взаимодействии.

Известно, что дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий. Тогда, дисперсия второй производной функции ρ = ρ (θ) может быть записана следующим образом:

04-07-2016 11-24-33    (8)

В случае контактного взаимодействия моделируемого тела с плоским контртелом, форма контактного участка моделируемого тела является практически шаровым сегментом. То есть функцию окружности кривизны R(r) можно рассматривать как постоянную величину: 04-07-2016 11-25-40.

В силу проведенных рассуждений величина математического ожидания кривизны тел, участвующих в контактном взаимодействии запишется в следующем виде:

04-07-2016 11-26-17    (9)

В работе [1] последовательность значений εj описывается нормальной функцией с нулевым средним 04-07-2016 11-27-45. Запись 04-07-2016 11-28-24 приведена в декартовой системе координат. Случайной функции 04-07-2016 11-28-24 соответствует корреляционная функция 04-07-2016 11-29-21, где 04-07-2016 11-29-38 – среднее квадратическое отклонение ординат профиля описываемого годографом вектора 04-07-2016 11-30-37, т.е. среднее квадратическое отклонение последовательности значений εj случайных ординат функции εj(x),04-07-2016 11-31-34  – параметр, характеризующий чувствительность корреляционной связи между значениями случайных ординат εj  функции 04-07-2016 11-30-37, τ – аргумент, отвечающий шагу корреляции.

Воспользуемся аналогичными рассуждениями, для возможности сопоставления результатов. Известно, что 04-07-2016 11-33-23 – четвёртая производная функции 04-07-2016 11-34-48. Подставляя данное выражение в (9), получим:

04-07-2016 11-36-32   (10)

Выражение (10) является расчётной формулой для математического ожидания кривизны профиля тела, участвующего в контактном взаимодействии.

Сравнивая, полученный результат, с введенным Литовкой Г.В., параметром – остротой L и его выражением через 04-07-2016 11-37-53 , заключаем, что параметр L и математическое ожидание кривизны профиля тела, участвующего в контактном взаимодействии E04-07-2016 11-08-31  пропорциональны.

Таким образом,  находит подтверждение наше предположение, о том, что острота L определяется только кривизной k профиля кривой.

Литература

  1. Литовка Г.В., Маничева Т.А., Филимонова А.П. О косвенной оценке режущих свойств абразивных гранул при виброабразивной обработке // Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки. – 2002. – № 17. – С. 29-30.
  2. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Линеаризация как метод доказательства единственности решения для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений на сфере // Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки. – 2016. – № 73. – С. 25-28.

References

  1. Litovka G.V., Manicheva T.A., Filimonova A.P. O kosvennoj ocenke rezhushhih svojstv abrazivnyh granul pri vibroabrazivnoj obrabotke // Vestnik Amurskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Estestvennye i jekonomicheskie nauki. – 2002. – № 17. – S. 29-30.
  2. Filimonova A.P., Yuryeva T.A. Linearizacija kak metod dokazatel’stva edinstvennosti reshenija dlja nekotorogo klassa nelinejnyh differencial’nyh uravnenij na sfere // Vestnik Amurskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Estestvennye i jekonomicheskie nauki. – 2016. – № 73. – S. 25-28.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.