ФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФЕНОМЕНА КРАСОТЫ ФРАКТАЛОВ

ФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФЕНОМЕНА КРАСОТЫ ФРАКТАЛОВ

Научная статья

Короленко П.В.^1, *, Мишин А.Ю.²

^{1, 2} Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия;

¹ Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, Москва, Россия

*Корреспондирующий автор (pvkorolenko[at]rambler.ru)

Аннотация

Рассмотрены особенности восприятия зрительной системой человека изображений фрактальных объектов, формирующих чувство красоты. На основе оптико-физических представлений с использованием численного моделирования дана интерпретация феномена красоты фракталов и многочисленных изложенных в литературе фактов положительного влияния фрактальных изображений на психологическое состояние человека. Было установлено, что независимо от модели фрактального объекта и вариации в широком диапазоне его параметров имеет место самоподобие пространственных спектров изображения фрактала в различных спектральных диапазонах. Есть все основания полагать, что наличие самоподобия, упрощая обработку оптической информации в коре головного мозга, формирует ощущение комфорта и возбуждает чувство прекрасного.

Ключевые слова: красота фракталов, пространственные частоты, фрактальная размерность, нейронная сеть головного мозга, обработка оптических сигналов.

PHYSICAL ASPECTS OF FRACTAL BEAUTY PHENOMENON

Research article

Korolenko P. V.^1, *, Mishin A. Yu.²

^{1, 2} Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia;

¹ Lebedev Physical Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

*Corresponding author (pvkorolenko[at]rambler.ru)

Abstract

The features of fractal object perception by the human visual system forming a sense of beauty are considered in the paper. The interpretation of a fractal beauty phenomenon and the numerous facts of the positive influence of fractal images on the psychological state of a person described in the literature are presented based on optical and physical concepts using numerical modeling. It is found that regardless of the model of a fractal object and variations in a wide range of its parameters, there is a self-similarity of the spatial spectra of a fractal image in different spectral ranges. We have a reason to believe that the presence of self-similarity, simplifying the processing of optical information in the cerebral cortex, creates a feeling of comfort and excites a sense of beauty.

Keywords: the beauty of fractals, spatial frequencies, fractal dimension, the neural network of the brain, optical signal processing.

Введение

Среди публикаций, в которых описывается работа головного мозга, видное место занимают работы, посвященные изучению когнитивных процессов [1], [2]. Среди последних следует отметить процессы обработки изображений фрактальных объектов [3], [4], [5], приводящие, в частности, к формированию чувства прекрасного [6], [7]. Изучение эффекта красоты фракталов [8], [9] показало, что он во многом обусловлен особенностями пространственных спектров изображений фрактальных структур [10], [11].

B нейронной сети затылочной части головного мозга осуществляется спектральная фильтрация сигналов от зрительных органов. Отдельные элементы сети ответственны за восприятие и обработку различных диапазонов пространственных спектров [12]. Сигналы от этих фрагментов передаются на участки мозга, обеспечивающие интегрирование информации. Частотное представление оптических сигналов упрощает узнавание знакомых объектов с увеличенными или уменьшенными размерами. При этом в системе памяти фиксируется только гармонический состав. Это делает опознание образа более экономным, не зависящим от реального размера объекта. В тех случаях, когда обработка пространственных спектров в силу их самоподобия не требует больших затрат времени и энергии, у человека формируется ощущение комфорта и обостряется чувство прекрасного, улучшающее, в частности, креативные способности индивидуума [6], [7]. Данное научное направление находится лишь на начальном этапе развития, и многие вопросы еще ждут своего решения. В частности, необходимо расширение доказательной базы сформулированной выше концепции.

Целью данной работы является установление связи между особенностями структуры анализируемого объекта и скейлинговыми свойствами его пространственных спектров. Для придания большей общности рассмотрению анализ выполнен для произвольной фрактальной структуры, при этом особое внимание уделено устойчивости ее спектральных характеристик к геометрическим возмущениям.

Структура пространственных спектров фрактальных объектов

Изучение характеристик фрактальных структур тесным образом связано с исследованием фурье-образов изучаемых объектов. Фурье-представление зрительных сигналов позволяет по новому осветить некоторые проблемы в гуманитарной области, в частности, найти подход к объяснению феномена красоты фракталов.

Для реализации указанных представлений был изучен вопрос о масштабной инвариантности фурье-спектров фрактальных изображений и их устойчивости к случайным и детерминированным изменениям структуры. С этой целью было осуществлено численное моделирование скейлинговых свойств специально построенной двумерной фрактальной структуры с произвольными фрактальными характеристиками. Распределение амплитуды световых колебаний W_k,m в структуре, играющей роль тестового объекта, задавалось следующими формулами:

   (1) где      (2)      (3)

Здесь W1_k,m и W2_k,m — распределение амплитуды изображений по поперечным индексам k и m, σ — стандартное отклонение распределения поля, D — фрактальная размерность, N — количество гармоник, b — параметр пространственно-частотного масштабирования, s — масштабирующий коэффициент, ψ_n, ψ1_n — случайные фазы гармоник.

Пространственная структура, сформированная с помощью вышеприведённых формул, соответствовала следующим значениям параметров: b=2, σ=3.3, D = 1.35, N=5 (рис.1). Наличие фрактальных свойств в построенном изображении доказывает наличие самоподобных элементов и скейлинга в сечении изображения, выполненном по поперечным координатам (рис.2).

Фурье-образ получившегося сечения двумерной структуры можно построить, используя преобразование

           (4)  

Рис. 1 – Изображение тестового объекта (b=2, σ=3.3, D=1.35, N=5)

Рис. 2 – Поперечное сечение тестового объекта вдоль линии m=100

 

Рассчитанное по формуле (4) фурье-распределение (рис.3) обладает системой убывающих по амплитуде максимумов. Поскольку величина относительного смещения максимумов убывает в два раза, можно утверждать, что коэффициент скейлинга также равен двум.

Рис. 3 – Результат фурье-преобразования графика сечения тестового объекта

 

Двумерный фурье-образ тестовой структуры рассчитывался по формуле

        (5)

Здесь q и t — пространственные частоты.

Ниже приведены графические представления изображений структуры и ее фурье-образа.

 

Рис. 4 – Тестовый объект (а) и его фурье-спектр (б),

а также проекции фурье-спектра на оси q (в) и t (г), (D=1.35)

 

Хорошо видно, что фурье-образ тестовой структуры обладает высоким уровнем самоподобия. Помеченные цифрами 1, 2, 3, 4 рефлексы на графическом представлении фурье-образа удовлетворяют условию скейлинга с коэффициентом ξ=2. Помеченные разными цветами на рисунках 4в, г максимумы фурье-образа соответствуют разным коэффициентам растяжения проекции. Их наложение свидетельствует о фрактальном характере спектра пространственных частот. Pасчёты показали, что на структуру фурье-образа очень слабо влияет изменение величины фрактальной размерности в пределах 1 – 1.75. Следует также отметить, что фурье-преобразование тестового объекта практически не зависит и от величин случайных фаз гармоник, входящих в формулы (2, 3).

Таким образом, регистрируемая устойчивость формы фурье-спектров и их скейлинговых свойств в различных спектральных диапазонах во многом объясняет причины эстетической ценности фрактальных изображений. Если учесть, что многочисленные природные объекты обладают фрактальными признаками [3], то полученные результаты позволяют дать интерпретацию одному из основных положений современной эстетики. Согласно этому положению наиболее сильное эмоциональное воздействие на человека оказывают структуры, близкие по своей форме к природным объектам [6].

Заключение

Проведенный в данной работе анализ, выполненный для ранее не использованной модели, существенно дополняет данные ранее выполненных исследований [11]. Он подтверждает возможность апелляции к структуре спектров пространственных частот для объяснения феномена прекрасного.

Описанные в литературе иные методы [13] и вытекающие из них результаты не могут рассматриваться как взаимоисключающие, а скорее как взаимодополняющие друг друга. Существующие некоторые несоответствия в выводах, которые делают отдельные авторы, отражают особенности современного этапа исследований когнитивных процессов. Есть веские основания считать, что сейчас преимущественно происходит накопление данных и сведений об изучаемых явлениях. Этот период неизбежен, поскольку в его рамках рассматриваются сложные междисциплинарные проблемы, ещё требующие всестороннего изучения.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

 

Список литературы / References

1. Velichkovsky B.M. Cognitive Science: Foundations Of Epistemic Psychology / B.M. Velichkovsky // – Moscow, Academia (in Russia) – 2006. – 896 p.
2. БушовЮ.В. Фазовые взаимодействия между ритмами ЭЭГ: связь с когнитивными процессами и механизмами сознания. / Ю.В.   Бушов, М.В. Светлик // Международный научно-исследовательский журнал. – 2013. – № 8 (15). – С. 79–82.
3. МандельбротБ. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт // – М.: «Институт компьютерных исследований». – – 656 c.
4. КороленкоП.В. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования / П.В. Короленко // – М.: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. – 2004. – 82 с.
5. ИвановВ.В. Kомпактные детерминистические гибридные структуры на основе двух взаимопроникающих фрактальных подрешеток на квадратной сетке / В.В. Иванов // Международный научно-исследовательский журнал. – 2013. – № 7 (14). – С. 30–31.
6. ЧастоколенкоЯ.Б. Фрактальность спонтанного творчества / Я.Б. Частоколенко // Сибирский психологический журнал. – 2008. – №30. – С. 70-74.
7. Yannick J. Some reflections on the relevance of fractals for art therapy / J. Yannick // The Arts in Psychotherapy. Elsevier Inc. – – № 33. – Р. 143–147.
8. ПайтгенХ.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов / Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер // – М.: Мир. –1989. – 176 c.
9. Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики. под ред. И.Ренчлера, Б. Херцбергер, Д. Эпстайна. – М.: Мир. – 1995. – 335 c.
10. Averchenko A.V. IEEE Progress in Electromagnetic Research Symposium Proceedings. / A.V. Averchenko, P. V. Korolenko, A.Yu. Mishin– 2017.
11. КороленкоП.В. // Здоровье и образование в ХХI веке / П.В. Короленко, А.А. Каштанов, А.Ю. Мишин // – 2017. –19(2). – С.
12. НиколаеваЕ.И. Психофизиология. Психологическая физиология с основами физиологической психологии / Е.И. Николаева // «Когито-Центр» – 2008. – 293 с.
13. АнохинК.В. Когнитом – гиперсетевая модель мозга / К.В. Анохин // Отдел нейронаук НИЦ «Курчатовский институт» 2015. http://neuroinfo.ru/

Список литературы на английском языке / References in English

1. Velichkovsky B.M. Cognitive Science: Foundations Of Epistemic Psychology / B.M. Velichkovsky // – Moscow, Academia (in Russia) – 2006. – 896 p.
2. Bushov Yu.V. Fazovyye vzaimodeystviya mezhdu ritmami EEG: svyaz' s kognitivnymi protsessami i mekhanizmami soznaniya [Phase interactions between EEG rhythms: connection with cognitive processes and mechanisms of consciousness]. / Yu.V. Bushov, M.V. Svetlik // Mezhdunarodnyy nauchno-issledovatel'skiy zhurnal [International Research Journal]. – 2013. – No 8 (15). – P. 79–82. [in Russian]
3. Mandelbrot B. Fractal geometry of nature / B. Mandelbrot // –B. Fenn and Company Ltd. – 1982. – 458 p
4. Korolenko P.V. Fraktal'nyye i mul'tifraktal'nyye metody, veyvlet-preobrazovaniya [Fractal and multifractal methods, wavelet transform]. / P.V. Korolenko // – M.: Moskovskiy gosudarstvennyy universitet im. M. V. Lomonosova [Lomonosov Moscow State University]. – – 82 p. [in Russian]
5. Ivanov V.V. Kompaktnyye deterministicheskiye gibridnyye struktury na osnove dvukh vzaimopronikayushchikh fraktal'nykh podreshetok na kvadratnoy setke [Compact deterministic hybrid structures based on two interpenetrating fractal sublattices on a square grid] / V.V. Ivanov // Mezhdunarodnyy nauchno-issledovatel'skiy zhurnal [International Scientific Research Journal]. – 2013. – No 7 (14). – P. 30–31. [in Russian]
6. Chastokolenko Ya.B. Fraktal'nost' spontannogo tvorchestva [Fractality of spontaneous creativity] / Ya.B. Chastokolenko // Sibirskiy psikhologicheskiy zhurnal [Siberian Psychological Journal]. –– №30. – P. 70-74. [in Russian]
7. Yannick J. Some reflections on the relevance of fractals for art therapy / J. Yannick // The Arts in Psychotherapy. Elsevier Inc. – – 33. – Р. 143–147.
8. Peitgen H.-O., Richter P.H. The beauty of fractals / H.-O. Peitgen, P.H. Richter // Springer-Verlag. – – 197 p.
9. Krasota i mozg. Biologicheskiye aspekty estetiki. pod red. [Beauty and the brain. Biological aspects of aesthetics. by ed.] Renchlera, B. Khertsberger, D. Epstayna // –M.: Mir. – 1995. – 335 p. [in Russian]
10. Averchenko A.V. IEEE Progress in Electromagnetic Research Symposium Proceedings. / A.V. Averchenko, P.V. Korolenko, Yu. Mishin – 2017.
11. Korolenko P.V. // Zdorov'ye i obrazovaniye v 21 veke [Health and education in the twenty-first century] / A. Kashtanov, P.V. Korolenko, A.Yu. Mishin // – 2017. – 19(2). P. 90. //. 2017. 19. № 2. S. 90. [in Russian]
12. Nikolayeva Ye.I. Psikhofiziologiya. Psikhologicheskaya fiziologiya s osnovami fiziologicheskoy psikhologii [ Psychological physiology with the basics of physiological psychology] / Ye.I. Nikolayeva // «Kogito-Tsentr» [“Kogito-Center” ] – 2008. 293 p. [in Russian]
13. Anokhin K.V. Kognitom – gipersetevaya model' mozga / K.V. Anokhin // [Cognitum is a hypernet model of the brain] Otdel neyronauk NITS «Kurchatovskiy institut» [Department of Neuroscience, NRC “Kurchatov Institute”] – 2015. http://neuroinfo.ru [in Russian]