Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

Скачать PDF ( ) Страницы: 8-11 Выпуск: №11 (18) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Кузнецова И. Ю. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ / И. Ю. Кузнецова // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — №11 (18) Часть 1. — С. 8—11. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/chislennoe-reshenie-stoxasticheskogo-differencialnogo-uravneniya-metodom-ejlera-maruyamy/ (дата обращения: 13.06.2021. ).
Кузнецова И. Ю. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ / И. Ю. Кузнецова // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — №11 (18) Часть 1. — С. 8—11.

Импортировать


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ

Кузнецова И.Ю.

Аспирант, Южный федеральный университет

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ

Анностация

В данной статье описан один из наиболее популярных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. В статье даны определение основной концепции, описание простейшего численного метода, а также понятие сходимости решений стохастических дифференциальных уравнений. Решениями являются непрерывные вероятностные процессы, что может быть использовано при прогнозировании процесса потребления энергоресурсов.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, численные методы, сходимость, порядок аппроксимации.

Kuznetsova I.Y.

Postgraduate student, Southern Federal University.

NUMERICAL SOLUTION OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION BY EULER-MARUYAMA METHOD

Abstract

In the article described one of the most popular numerical methods for solving stochastic differential equations. It includes a review of fundamental concepts, a description of elementary numerical methods and the concepts of convergence and order for stochastic differential equation solvers. The solutions will be continuous stochastic processes that can be used for prediction process of energy consumption.

Keywords: stochastic differential equations; numerical methods; convergence; order for solvers.

СДУ стали стандартными моделями финансовых величин, таких как цены активов, процентная ставка, и их деривативов. В отличие от детерминированных моделей, таких как обыкновенные дифференциальные уравнения, которые имеют единственное решение для каждого соответствующего начального условия, СДУ имеют решения, являющиеся стохастическими процессами с непрерывным временем. Методы численного решения СДУ основаны схожей технике решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но обобщены для обеспечения стохастической динамики.

Простейшим эффективным численным методом аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Метод Эйлера-Маруяма является аналогом метода Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику потребления электроэнергии в ВУЗе [2,3]:

12-05-2021 13-30-30           (1)

с начальным условием

12-05-2021 13-30-41            (2)

где 12-05-2021 13-30-49 — потребление энергоресурсов (электроэнергии), 12-05-2021 13-30-56 — данные по потреблению в начальный момент времени 12-05-2021 13-31-21 — функция, учитывающая сезонные изменения, σ — коэффициент, учитывающий изменения, носящие случайных характер, 12-05-2021 13-31-41 — винеровский процесс.

Зафиксируем равномерную сетку

12-05-2021 13-31-51

где T — длина рассматриваемого временного промежутка, n — количество месяцев в рассматриваемом промежутке времени, Δt — шаг по времени.

Также введем следующие обозначения:

12-05-2021 13-32-40

Проинтегрируем исходное уравнение (1) на промежутке 12-05-2021 13-32-47. Получим

12-05-2021 13-32-58            (3)

Переходя к конечным разностям из (3) и определения стохастического интеграла, имеем,

12-05-2021 13-41-46        (4)

где 12-05-2021 13-42-04 — приращение винеровского процесса, которое, исходя из свойств винеровского процесса, можно записать в виде:

12-05-2021 13-42-20            (5)

то есть ξi — случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Найдем порядок сходимости метода Эйлера-Маруямы для (1).

Говорят, что численное решение 12-05-2021 13-42-34 с шагом по времени 12-05-2021 13-42-40 сильно сходится к точному решению 12-05-2021 13-42-47 в момент времени T, если

12-05-2021 13-43-01

В дальнейшем мы будем определять скорость сильной сходимости приближенного решения через понятие порядка. Решение СДУ сходится сильно с порядком m, если математическое ожидание ошибки имеет m-ый порядок от шага, то есть для любого момента времени T,

12-05-2021 13-43-10

для достаточно малого размера шага 12-05-2021 13-42-40. Это определение обобщает стандартные критерии сходимости для обыкновенных дифференциальных уравнений, и сводится к обычному определению, когда стохастическая часть уравнения обращается в нуль.

Воспользуемся разложением Тейлора-Ито на 12-05-2021 13-43-22, которое для поставленной задачи запишется в виде:

12-05-2021 13-49-14             (6)

Вычислив повторные интегралы, разложение (6) можно записать в виде:

 

12-05-2021 13-49-34

Откуда получим, что

12-05-2021 13-50-46              (9)

где 12-05-2021 13-50-55 — точное решение СДУ (1), а  12-05-2021 13-51-01 — численное решение СДУ (1) по методу Эйлера-Маруямы (4) в точке 12-05-2021 13-52-29.

Хотя метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, метод Эйлера-Маруямы для стохастических дифференциальных уравнений имеет порядок 0,5. Этот факт доказан Гикхманом и Скороходовым в 1972 году.

На основании данных по потреблению электроэнергии за 2010-2011гг. общежитиями студенческого городка ЮФУ в г. Таганроге и предложенной модели (1) были получены следующие прогнозные значения потребления электроэнергии на 2012 год, которые были сравнены с данными по потреблению электроэнергии за тот же период.

При применении метода Эйлера-Маруямы (4) к модельному уравнению (1) были получены следующие результаты:

12-05-2021 13-53-52

Рис. 1 – График потребления электроэнергии на 2012 г.

——— — прогнозные данные на 2012 г. по потреблению электроэнергии,

полученные с помощью метода Эйлера-Маруямы (2.27);

– – – – – – — реальные данные по потреблению электроэнергии за 2012 г.

 

Определение качества модели проводилось по следующим параметрам:

  1. Модельная погрешность:

12-05-2021 13-54-50            (10)

где  12-05-2021 13-55-03 — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, 12-05-2021 13-55-09 — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (1), в i-ый момент времени.

  1. Среднеквадратичное отклонение:

12-05-2021 13-55-37

где 12-05-2021 13-55-47 — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), n — длительность периода прогнозирования в месяцах.

  1. Средний процент ошибки:

12-05-2021 13-56-07

где 12-05-2021 13-55-47  — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), 12-05-2021 13-55-03 — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени,  n— длительность периода прогнозирования в месяцах.

  1. Средняя относительная ошибка прогноза:

12-05-2021 13-59-09

где 12-05-2021 13-55-47  — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), 12-05-2021 13-55-03 — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени,  n— длительность периода прогнозирования в месяцах.

  1. Коэффициент детерминации:

12-05-2021 14-00-01

где 12-05-2021 13-55-03 — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, 12-05-2021 13-55-09 — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (2.24), в i-ый момент времени,

12-05-2021 14-06-58

где n  — длительность периода прогнозирования в месяцах.

  1. Индекс Тейла:

12-05-2021 14-07-07

где 12-05-2021 13-55-03 — фактическое значение потребления электроэнергии в ш-ый момент времени, 12-05-2021 13-55-09 — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (1), в i-ый момент времени,

Полученные результаты представленным в таблице 1.

Таблица 1

  Метод Эйлера-Маруямы
Среднеквадратичное отклонение

(нормированное)

0,167
Средний процент ошибки 10,2%
Средняя относительная ошибка прогноза 18,3%
Коэффициент детерминации 0,61
Индекс Тейла 0,123

 

На основании полученных результатов можно сделать вывод о применимости рассматриваемой модели (1) к прогнозированию потребления электроэнергии.

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений играют важную роль при анализе случайных процессов. Несмотря на то, что скорость сходимости к сильному решению для метода Эйлера-Маруямы составляет всего 0,5, его популярность в сфере финансов обусловлена тем, что он «прост» в построении разностной схемы и не требует большого объема вычислительных ресурсов. Это позволяет применять его для определения качества построенных моделей. Применение численных методов более высоких порядков ведет к резкому возрастанию необходимых вычислительных ресурсов, при этом точность прогноза может изменяться незначительно.

Литература

  1. Андерсон Т. – Статистический анализ временных рядов, М.: «Мир», 1980.
  2. Кузнецова И.Ю. Математическая модель прогнозирования энергопотребления // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — №4 — С. 121-125.
  3. Кузнецова И.Ю. Математическая модель энергопотребления применительно к ВУЗу // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — Т.121 №8 — С. 183-186.
  4. Кузнецова И.Ю.Численное решение стохастических дифференциальных уравнений в финансах // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — №4 — С. 175-184.
  5. Turner Wayne C., Doty S., Energy management handbook // Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. — 6th ed., 2007. — 924 p.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.