Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.18454/IRJ.2016.51.061

Скачать PDF ( ) Страницы: 132-136 Выпуск: № 9 (51) Часть 2 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Филимонова А. П. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ В МЕТРИКЕ С0 (S) УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ / А. П. Филимонова, Т. А. Юрьева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2016. — № 9 (51) Часть 2. — С. 132—136. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/apriornye-ocenki-resheniya-v-metrike-s0-s-uravneniya-tipa-monzha-ampera-na-sfere-kak-dvumernom-mnogoobrazii-v-prostranstve-postoyannoj-krivizny/ (дата обращения: 28.05.2020. ). doi: 10.18454/IRJ.2016.51.061
Филимонова А. П. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ В МЕТРИКЕ С0 (S) УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ / А. П. Филимонова, Т. А. Юрьева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2016. — № 9 (51) Часть 2. — С. 132—136. doi: 10.18454/IRJ.2016.51.061

Импортировать


АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ В МЕТРИКЕ С0 (S) УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Филимонова А.П.1, Юрьева Т.А.2

1Кандидат физико-математических наук, доцент, 2Кандидат педагогических наук, Амурский государственный университет

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ В МЕТРИКЕ С0 (16-09-2016-10-02-54) УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Аннотация

В статье приводится решение задачи о нахождении достаточных условий однозначной разрешимости дифференциального уравнения Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространствах постоянной кривизны, в частности в трехмерном пространстве Лобачевского. Рассматриваемая задача связанна с восстановлением поверхностей, гомеоморфных сфере, с заданной функцией гауссовой кривизны. В ходе доказательства теоремы получены априорные оценки решения уравнения типа Монжа-Ампера в метрике С0 (16-09-2016-10-02-54). Приведены следствия для частных видов уравнений Монжа-Ампера в трехмерном пространстве Лобачевского и в трехмерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: уравнение Монжа-Ампера, двумерное многообразие, априорные оценки, гауссова кривизна.

Filimonova A.P.1, Yuryeva T.A.2

1PhD in Physics and Mathematics, assосiate professor, 2PhD in Pedagogy, The Amur State University

PRIORI ESTIMATES OF SOLUTIONS IN THE METRIC С0 (16-09-2016-10-02-54) EQUATIONS OF MONGE-AMPERE ON THE SPHERE AS A TWO-DIMENSIONAL MANIFOLDS IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE

Abstract

The article provides a solution to the problem of finding sufficient conditions for the unique solvability of a differential equation of the Monge-Ampere equation on the sphere as a two-dimensional manifold in spaces of constant curvature, in particular three-dimensional Lobachevskii space. This problem is connected with the restoration of the surfaces, homeomorphic to a sphere with a predetermined function of the Gaussian curvature. In the course of the proof, a priori estimates of solutions of equations of the Monge-Ampere equation in the metric С0 (16-09-2016-10-02-54). Results investigation for particular types of Monge-Ampere equations in three-dimensional Lobachevskii space, in three-dimensional Euclidean space.

Keywords: Monge-Ampere equation, two-dimensional manifold, a priori estimates, the Gaussian curvature.

Рассмотрим следующую геометрическую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве постоянной отрицательной кривизны (гиперболическом пространстве Лобачевского) Н3 фиксирована некоторая точка О. Пусть, далее, 16-09-2016-10-02-54 – сфера единичного радиуса с центром в этой точке О. Будем рассматривать класс регулярных выпуклых гомеоморфных сфере 16-09-2016-10-02-54 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого класса можно задать аналитически уравнением: F: ρ=ρ(u, v), где ρ, u, v – сферические координаты в пространстве Н3.

Рассмотрим сферу 16-09-2016-10-02-54 как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v каждой карты выполнялось неравенство: 16-09-2016-10-16-44.

Пусть в Н3\{0} определена некоторая функция Kint(u, v, ρ)= Kint. Тогда задача о восстановлении поверхности F: ρ=ρ(u, v) в гиперболическом трехмерном пространстве Н3, гауссова (внутренняя) кривизна которой в каждой точке равна значению функции Kint в той же точке, сводится к нахождению достаточных условий однозначной разрешимости дифференциального уравнения типа Монжа-Ампера, которое на сфере 16-09-2016-10-02-54 как двумерном многообразии имеет следующий вид [2]:

16-09-2016-10-18-10 (1)

Здесь ρij (i, j{1, 2}) – вторые ковариантные производные функции ρ=ρ(u, v)  относительно метрики единичной сферы 16-09-2016-10-02-54.

В работе [2] показано, что уравнение (1) является отрицательно эллиптичным уравнением Монжа-Ампера при условии, что функция Kint(u, v, ρ)>-1 (Kext(u, v, ρ)>0). Это означает, что если ρ=ρ(u, v) есть решение уравнения 16-09-2016-10-19-48, то квадратичная форма 16-09-2016-10-20-20отрицательно определена.

В [2] также доказана теорема о расположении поверхности F: ρ=ρ(u, v) (ρ=ρ(u, v) – решение уравнения (1)) при некоторых ограничениях на функцию Kint(u, v, ρ).

Теорема 1. Пусть в трехмерном гиперболическом пространстве Н3 фиксированы две концентрические сферы  16-09-2016-10-22-41  с центром в точке О и радиусами ρ1 и ρ2 (ρ1<ρ2) соответственно.

Пусть функция Kint(u, v, ρ), определенная в 16-09-2016-10-23-02 (R+– множество положительных действительных чисел), удовлетворяет следующим условиям:

1) Kint(u, v, ρ)>-1;

2) 16-09-2016-10-26-06 внутри сферы 16-09-2016-10-27-13 вне сферы 16-09-2016-10-27-33.

Тогда любое решение ρ=ρ(u, v) дифференциального уравнения (1) задает поверхность F: ρ=ρ(u, v), лежащую между сферами  16-09-2016-10-22-41.

Аналитически результат теоремы означает, что при наложении условий теоремы 1 на функцию Kint=Kint(u, v, ρ) имеем априорные оценки решения дифференциального уравнения (1) в метрике С0(16-09-2016-10-02-54): .

Рассмотрим теперь обобщенное дифференциальное уравнение типа Монжа-Ампера на сфере  как двумерном многообразии [3]:

16-09-2016-10-29-11 (2)

В уравнении (2) ρij (i, j{1, 2}) – вторые ковариантные производные функции ρ(u, v) относительно метрики единичной сферы 16-09-2016-10-02-54, 16-09-2016-10-30-21, а  16-09-2016-10-31-53 (локальные географические координаты).

В работе [3] показано, что при наложении ограничений на входящие в (2) функции: φ(ρ)>0, φ1(u, v)>0, φ2(u, v)>0, f(ρ)>0, 16-09-2016-10-33-15, (А, В, С коэффициенты при –ρ11, 2ρ12, –ρ22), 16-09-2016-10-34-01 уравнение (2) отрицательно эллиптично.

Квадратичная форма 16-09-2016-10-35-30 для уравнения (2) имеет следующий вид:

16-09-2016-10-35-51

Докажем аналог теоремы 1 для обобщенного дифференциального уравнения (2), тем самым получим априорные оценки решения уравнения (2) в метрике С0(16-09-2016-10-02-54).

Теорема 2. Пусть функция 16-09-2016-10-37-09 удовлетворяет следующим условиям:

16-09-2016-10-37-48

Тогда имеют место априорные оценки решения ρ=ρ(u,v) обобщенного дифференциального уравнения (2) в метрике 0(16-09-2016-10-02-54): 16-09-2016-10-39-19.

Доказательство. Пусть 16-09-2016-10-40-07 является решением дифференциального уравнения (2). Функция p=p(u,v) достигает на единичной сфере 16-09-2016-10-02-54 минимального значения в некоторой точке (u0,v0) в силу того, что сфера 16-09-2016-10-02-54 является компактным многообразием. В точке минимума (u0,v0) выполняются условия: 16-09-2016-10-43-11. В экстремальных точках вторые ковариантные производные относительно метрики сферы 16-09-2016-10-02-54 равны соответственно 16-09-2016-10-44-10. Тогда d2p в точке (u0,v0) имеет вид: 16-09-2016-10-45-50. Квадратичная форма  в точке минимума принимает вид:  16-09-2016-12-34-51 в силу отрицательной эллиптичности дифференциального уравнения (2).

Рассмотрим выражение

16-09-2016-10-46-36

В точке (u0,v0) минимума функции ρ=ρ(u,v) данное выражение преобразуется: 16-09-2016-10-48-28. Это выражение не является положительным в силу того, что 16-09-2016-10-49-14,  вследствие , а 16-09-2016-10-50-12

Таким образом, 16-09-2016-12-40-0516-09-2016-12-40-20

Из полученного неравенства имеем:

16-09-2016-10-52-12

В силу определенности формы d2p в точке 16-09-2016-10-53-25, отсюда следует, что 16-09-2016-10-54-05

Дифференциальное уравнение (2) в точке минимума функции ρ=ρ(u,v) переходит в равенство:

16-09-2016-10-55-44

Из этого равенства и полученного выше неравенства в точке (u,v) минимума функции ρ=ρ(u,v) следует справедливость следующего неравенства:

16-09-2016-10-57-46 следовательно, 16-09-2016-11-07-54 (3)

Предположим, что 16-09-2016-11-10-57. Тогда по условию теоремы 2 16-09-2016-11-11-53, а это противоречит полученному выше неравенству (3). Следовательно, 16-09-2016-11-12-41. Оценка в метрике С0(16-09-2016-10-02-54) снизу для решения дифференциального уравнения (2) получена 16-09-2016-11-13-41.

Получим априорную оценку в метрике С0 (16-09-2016-10-02-54) решения ρ(u,v) дифференциального уравнения (2) сверху.

Рассмотрим следующую квадратичную форму:

16-09-2016-11-37-37. Ее дискриминант равен

16-09-2016-11-38-27

так как на функции 16-09-2016-11-39-34 были наложены условия: 16-09-2016-11-41-22Далее, коэффициент при 16-09-2016-11-42-32 в силу тех же условий. Тогда 16-09-2016-11-44-08

Пусть, далее, (u1,v1) является точкой сферы, в которой функция ρ(u,v) достигает максимального значения. Это возможно в силу компактности сферы 16-09-2016-10-02-54 как двумерного многообразия. Тогда в этой точке 16-09-2016-11-47-40

Рассмотрим выражение:

16-09-2016-11-49-35. В точке (u1,v1) максимума функции ρ(u,v) приведенное выше выражение примет вид: 16-09-2016-11-51-24. Так как φ(ρ)>0, φ1(u, v)>0, φ2(u, v)>0, а в точке максимума 16-09-2016-11-52-59, то имеем следующее неравенство: 16-09-2016-11-54-17.

Дифференциальное уравнение (2) в точке (u1,v1) максимума функции p=ρ(u,v)  преобразуется в неравенство:

16-09-2016-11-56-57

В точке  16-09-2016-11-58-13, следовательно, 16-09-2016-11-58-41 силу определенности формы d2p. Тогда 16-09-2016-12-00-16.

Из последнего неравенства и полученного из уравнения (2) равенства имеем: 16-09-2016-12-01-15. Это означает, что 16-09-2016-12-06-27. Таким образом, функция 16-09-2016-12-08-34 в точке (u1,v1) максимума функции ρ=ρ(u,v) удовлетворяет неравенству: 16-09-2016-12-09-07 (4).

Допустим, что 16-09-2016-12-10-07. Тогда по условию теоремы 2 имеет место неравенство: 16-09-2016-12-10-40, что противоречит полученному неравенству (4). Следовательно, 16-09-2016-12-11-13. Это означает, что 16-09-2016-12-11-46. Оценка сверху в метрике С0(16-09-2016-10-02-54) решения  дифференциального уравнения (2) получена.

Таким образом, в целом имеем 16-09-2016-12-13-21. Теорема доказана.

Следствие 1. Результат теоремы 2 совпадает с результатом теоремы 1 в случае рассмотрения уравнения (1) на 16-09-2016-10-02-54  в трехмерном пространстве Лобачевского Н3.

Уравнение (1) есть частный случай уравнения (2). В самом деле, здесь

16-09-2016-12-14-53

Тогда 16-09-2016-12-15-50

Второе условие теоремы 1: 16-09-2016-12-16-49, где 16-09-2016-12-17-24 внутри сферы 16-09-2016-12-17-33, равносильно условию 16-09-2016-12-19-12. Аналогично, условие: 16-09-2016-12-21-06 равносильно условию  16-09-2016-12-22-30, что совпадает с условиями теоремы 2.

Следствие.2 Геометрическая задача восстановления замкнутой выпуклой гомеоморфной сфере поверхности F в трехмерном евклидовом пространстве Е3. Рассматривается класс регулярных выпуклых гомеоморфных 16-09-2016-10-02-54 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого класса задается уравнением: F: ρ=ρ(u, v), ρ, u, v – сферические координаты в Е3. Рассмотрим 16-09-2016-10-02-54 как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v каждой карты выполнялось неравенство: 16-09-2016-12-24-32. Пусть в Е3\{0} определена функция K(u, v, ρ) 16-09-2016-12-25-41. Тогда функция ρ=ρ(u, v), задающая поверхность F данного класса, в каждой точке которой гауссова кривизна равна значению функции K(u, v, ρ) в этой же точке, удовлетворяет следующему отрицательно эллиптичному уравнению типа Монжа-Ампера на 16-09-2016-10-02-54 [1]:

16-09-2016-12-26-25  (5)

Уравнение (5) есть частный случай уравнения (2). Здесь 16-09-2016-12-27-22,

16-09-2016-12-28-21

Тогда 16-09-2016-12-29-12, то есть поверхность F при данных условиях расположена между сферами 16-09-2016-12-30-19 и  в Е3 с радиусами ρ1 и ρ2 соответственно. Результат следствия 2 совпадает с результатом работы [1].

Литература

  1. Верещагин Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. – ЛГПИ им. Л. И. Герцена. – Л., 1979. – С. 7-12.
  2. Филимонова А.П. Оценки в метрике С2 и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с заданной гауссовой кривизной в Н3 // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. – ЛГПИ им. Л. И. Герцена. – Л., 1979. – С. 64-68.
  3. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Единственность решения уравнения Монжа-Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии // Международный научно-исследовательский журнал. – 2016. – т № 6-5 (48). – С. 107-110.

References

  1. Vereshhagin B.M. Vosstanovlenie zamknutoj vypukloj poverhnosti po dannoj funkcii gaussovoj krivizny // Voprosy global’noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. – LGPI im. L. I. Gercena. – L., 1979. – P. 7-12.
  2. Filimonova A.P. Ocenki v metrike С2 i edinstvennost’ vypukloj gomeomorfnoj sfere poverhnosti s zadannoj gaussovoj kriviznoj v Н3 // Voprosy global’noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. – LGPI im. L. I. Gercena. – L., 1979. – P. 64-68.
  3. Filimonova A.P., Jur’eva T.A. Edinstvennost’ reshenija uravnenija Monzha-Ampera nekotorogo klassa na sfere kak dvumernom mnogoobrazii // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel’skij zhurnal. – 2016. – t № 6-5 (48). – P. 107-110.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.