Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.83.5.001

Скачать PDF ( ) Страницы: 6-10 Выпуск: № 5 (83) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Федоров В. М. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОКСИМИНАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ / В. М. Федоров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 5 (83) Часть 1. — С. 6—10. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/approksimativnye-svojstva-proksiminalnyx-podprostranstv-beskonechnoj-razmernosti/ (дата обращения: 17.08.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2019.83.5.001
Федоров В. М. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОКСИМИНАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ / В. М. Федоров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 5 (83) Часть 1. — С. 6—10. doi: 10.23670/IRJ.2019.83.5.001

Импортировать


АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОКСИМИНАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОКСИМИНАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Научная статья

Федоров В.М. *

ORCID: 0000-0002-4586-6591,

МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (vferdorov[at]rambler.ru)

Аннотация

Для подпространств L бесконечной размерности в банаховом пространстве  получены характеристические свойства существования элементов наилучшего приближения. В качестве приложения доказывается, что в пространстве 10-06-2019 12-52-57 непрерывных функций на связном хаусдорфовом компакте T чебышевское подпространство 10-06-2019 12-53-43  бесконечной размерности, у которого аннулятор 10-06-2019 12-53-56 сепарабельный и  содержит минимальное тотальное подпространство, является гиперплоскостью 10-06-2019 12-54-24 строго положительного функционала 10-06-2019 12-54-37.

Ключевые слова: аннулятор, сепарабельность, размерность, коразмерность,  проксиминальное подпространство, чебывшевское подпространство.

APPROXIMATIVE PROPERTIES OF PROXIMAL SUBSPACES OF INFINITE DIMENSION

Research article

Fedorov V.M. *

ORCID: 0000-0002-4586-6591,

Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

* Corresponding author (vferdorov[at]rambler.ru)

Abstract

For subspaces L of infinite dimension in a Banach space, the authors obtained the characteristic properties of the existence of elements of the best approximation. As an application, they prove that, in the space 10-06-2019 12-52-57 of continuous functions on a connected Hausdorff compactum T, the Chebyshev subspace 10-06-2019 12-53-43 of infinite dimension, the annihilator 10-06-2019 12-53-56 of which is separable and contains the minimal total subspace, is a hyperplane 10-06-2019 12-54-24 of a strictly positive functional 10-06-2019 12-54-37.

Keywords: annihilator, separability, dimension, codimension, proximal subspace, Chebyshev subspace.

Введение

Пусть 10-06-2019 14-02-15 есть замкнутое подпространство банахова пространства E. Обозначим через 10-06-2019 14-03-22 факторпространство смежных классов 10-06-2019 14-03-31 по подпространству и через 10-06-2019 14-04-24 норму в факторпространстве 10-06-2019 14-05-05. Подпространство 10-06-2019 14-02-15 называется проксиминальным,  если для любого 10-06-2019 14-05-16 множество 10-06-2019 14-05-59 не пусто, и называется чебышевским, если для любого 10-06-2019 14-05-16 множество 10-06-2019 14-07-00 состоит из одного элемента.

Используя компактность конечномерного шара, можно показать, что всякое конечномерное подпространство 10-06-2019 14-02-15 является проксиминальным. Проблема характеристики бесконечномерных проксиминальных подпространств  является достаточно трудной задачей и решена только для подпространств конечной коразмерности [1, 2, 3]. Указанные там характеристики является обобщением результатов, полученных ранее для классических нормированных пространств, таких, как пространство 10-06-2019 12-52-57непрерывных функций на хаусдорфовом компакте 10-06-2019 14-18-27 интегрируемых функций по Лебегу на измеримом пространстве 10-06-2019 14-18-39 с -конечной мерой μ [4], [5], [6]. Нашей задачей является нахождение необходимых и достаточных условий проксиминальности для подпространств, имеющих бесконечную размерность, у которых  аннулятор  содержит минимальное, замкнутое и тотальное подпространство. В частности, для подпространств, у которых аннулятор является рефлексивным.

Основные результаты

Аннулятор 10-06-2019 14-32-18 подпространства L изометричен сопряженному пространству 10-06-2019 14-32-42 [7, С. 110] и его шар радиуса 10-06-2019 14-33-12, т.е.  множество 10-06-2019 14-33-27, является слабо* компактным в сопряженном  пространстве 10-06-2019 14-05-05* [8, С. 459]. Далее мы будем предполагать, что аннулятор 10-06-2019 12-53-56 является сепарабельным и обозначим через 10-06-2019 14-33-51 единичный шар в  10-06-2019 14-05-05*.

Подпространство 10-06-2019 14-39-13 называется тотальным, если из условия 10-06-2019 14-38-53. Тотальность 10-06-2019 14-39-13 равносильна его слабой* плотности в 10-06-2019 14-05-05* [8, С. 457; 9, С. 198]. Характеристикой 10-06-2019 14-39-27 подпространства 10-06-2019 14-39-13 называется верхняя грань чисел 10-06-2019 14-39-39, т.ч. слабое* замыкание 10-06-2019 14-40-02 содержит шар 10-06-2019 14-40-15 [9, С. 275]. Подпространство 10-06-2019 14-38-32 называется минимальным, если оно замкнуто и тотально, при этом не имеет собственных замкнутых и тотальных подпространств.

Лемма 1

Если аннулятор содержит минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 10-06-2019 14-52-16, то для любого 10-06-2019 14-52-38 он содержит также такое минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 10-06-2019 14-52-49.

Доказательство. Известно [9, С. 275], что пространство 10-06-2019 14-05-05 тогда и только тогда изоморфно сопряженному пространству 10-06-2019 14-53-40, когда существует минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 10-06-2019 14-53-55 положительной характеристики.  При этом изоморфизм 10-06-2019 14-54-14является каноническим, т.е. задается по формуле 10-06-2019 14-54-28 ограничения функционала Дирака 10-06-2019 14-54-40 на подпространство F. В этом случае, пространство 10-06-2019 14-55-13 изоморфно прямой сумме 10-06-2019 14-55-26.

Пусть 10-06-2019 15-07-22. Рассмотрим ненулевой функционал 10-06-2019 15-07-35, не принадлежащий аннулятору 10-06-2019 15-07-49 и образу 10-06-2019 14-53-40 канонического вложения 10-06-2019 15-08-01. Тогда линейная оболочка 10-06-2019 15-08-12 задает такое подпространство в 10-06-2019 14-05-05*, которое содержит α и его аннулятор в  10-06-2019 14-05-05 равен нулю. Так как 10-06-2019 15-08-38. Поэтому 10-06-2019 15-08-51 минимальным, замкнутым и тотальным  подпространством положительной характеристики [9, С. 275].

Обозначим через 10-06-2019 12-52-57 пространство непрерывных и ограниченных функций на множестве T и определим отображение 10-06-2019 15-23-30. Рассмотрим образ оператора 10-06-2019 15-23-46.  Поскольку множество 10-06-2019 15-24-19 выпукло, симметрично и поглощает M, где S есть единичный шар E, то функционал Минковского 10-06-2019 15-25-23 определяет норму в подпространстве M.  При этом 10-06-2019 15-26-06.

Лемма 2

Отображение 10-06-2019 15-38-18  задает слабо компактный оператор, его факторотображение 10-06-2019 15-38-34 является изометрическим оператором, норма в M эквивалентна индуцированной норме из 10-06-2019 12-52-57 а если характеристика подпространства F равна 10-06-2019 15-39-42 , то эти нормы совпадают.  

Доказательство. Поскольку 10-06-2019 15-40-17, то оператор ограничен.  Пусть 10-06-2019 15-40-28обозначает второй сопряженный оператор. Если 10-06-2019 15-40-40, то существует ограниченная сеть 10-06-2019 15-41-04, которая слабо* сходится к f  [8, С. 460]. Поэтому в силу слабой* непрерывности оператора Ф** [8, стр. 515]

10-06-2019 15-52-27

где 10-06-2019 15-52-54. Здесь 10-06-2019 15-53-08 обозначает функционал Дирака  на сопряженном пространстве E*. Поскольку единичный шар S** слабо* компактный, то его образ 10-06-2019 15-55-34 будет слабо* компактным в пространстве 10-06-2019 15-55-52.  Применяя  формулу 10-06-2019 16-05-27 10-06-2019 16-04-31 [8, С. 516] и слабую* плотность множества 10-06-2019 16-04-52 [8, С. 460], где 10-06-2019 16-05-05каноническое вложение 10-06-2019 16-05-15 во второе сопряженное пространство E**,  получим, что образ 10-06-2019 16-05-46 является относительно слабо компактным. Таким образом, оператор Ф  является слабо компактным.

Если 10-06-2019 16-20-02, то для любого 10-06-2019 16-20-10 существует 10-06-2019 16-20-20. Тогда имеем 10-06-2019 16-20-49 и значит 10-06-2019 16-21-33. С другой стороны, пусть 10-06-2019 16-22-36. Тогда существует 10-06-2019 16-22-56. Тогда в силу тотальности подпространства 10-06-2019 16-23-06 мы получим включение 10-06-2019 16-23-16 и, следовательно, имеем 10-06-2019 16-23-29. Таким образом, имеет место равенство 10-06-2019 16-23-37.

Поскольку норма пространства М совпадает с нормой пространства 10-06-2019 14-05-05 и при 10-06-2019 16-38-31 выполняется включение 10-06-2019 16-38-43, то имеют место неравенства 10-06-2019 16-38-57.

Поэтому норма в М эквивалентна индуцированной норме из 10-06-2019 12-52-57.

Замечание

Выполняя композицию сопряженного отображения 11-06-2019 16-46-49 и естественной изометрии 11-06-2019 16-47-11, получим изометрию 11-06-2019 16-47-23 по формуле 11-06-2019 16-47-43. Это замечание позволяет напрямую доказать изометрию . В самом деле, имеем 11-06-2019 16-48-29.

Пусть 11-06-2019 16-54-47 образует минимальное, замкнутое и тотальное подпространство. Тогда каноническое отображение 11-06-2019 16-55-04, заданное формулой 11-06-2019 16-55-24, является изоморфизмом банаховых пространств 11-06-2019 16-55-34 и 11-06-2019 16-55-47, а также в их слабых* топологиях  11-06-2019 16-57-47 соответственно [10, С. 246].

Поэтому отображение 11-06-2019 17-06-39 является также  изоморфизмом пространств в соответствующих топологиях.  Следовательно, имеем 11-06-2019 17-07-01 и отображение 11-06-2019 17-07-12ограничения функций на множество 11-06-2019 17-07-24 будет изоморфизмом. При этом пространство N* естественно отождествляется с пространством M, в котором  сходимость последовательности функций в слабой* топологии 11-06-2019 17-08-31 равносильна ее ограниченности и поточечной сходимости на множестве T.

Поскольку в силу теоремы Банаха-Штейнгауза [11, С. 283]  пространство N* секвенциально слабо* полно, то пространство M секвенциально полно в слабой* топологии 11-06-2019 17-08-31. Если последовательность 11-06-2019 17-17-15  сходится в слабой* топологии 11-06-2019 17-08-31, то ее поточечный предел 11-06-2019 17-17-31 удовлетворяет неравенству 11-06-2019 17-17-43 и принадлежит 11-06-2019 17-18-03. Поскольку образ единичного шара при каноническом отображении 11-06-2019 17-18-20 является всюду плотным в в слабой* топологии в единичном шаре F*[12, С. 320], то B плотно в слабой* топологии в единичном шаре N*. Если характеристика  11-06-2019 17-22-30, то множество  не может быть слабо* компактным и слабо* полным в топологии 11-06-2019 17-08-31.

Теорема 1

Для замкнутого подпространства 11-06-2019 17-33-14, у которого размерность 11-06-2019 17-33-23  и коразмерность 11-06-2019 17-33-40, следующие  условия эквивалентны:

  1. подпространство L является проксиминальным в пространстве E;
  2. множество 11-06-2019 17-34-14 является замкнутым в слабой топологии 11-06-2019 17-34-28 для всякого замкнутого и тотального  подпространства  11-06-2019 17-34-38;
  3. множество 11-06-2019 17-34-14 является полным в слабой топологии 11-06-2019 17-34-28 для всякого  минимального, замкнутого и тотального подпространства 11-06-2019 17-34-38;
  4. множество 11-06-2019 17-34-14 является компактным в слабой топологии 11-06-2019 17-34-28 для всякого минимального, замкнутого и тотального подпространства 11-06-2019 17-34-38;                            
  5. если функционал 11-06-2019 17-47-03 и последовательность функций 12-06-2019 13-45-50 ,12-06-2019 13-46-16 и для любого минимального, замкнутого и тотального подпространства 11-06-2019 17-34-38.

Здесь 12-06-2019 10-38-57 обозначает экстремальное множество, т.е. множество элементов, в которых функционал  достигает своей нормы.

Доказательство. Покажем, что из условия a) следует b). Так как множество B является выпуклым, то его замкнутость в слабой топологии пространства 11-06-2019 17-34-28 вытекает из замкнутости в топологии пространства M, а поскольку по лемме 2 индуцированная норма из 11-06-2019 17-34-28 эквивалентна норме M, то достаточно доказать замкнутость множества B в пространстве M.  Допустим, что 12-06-2019 10-46-23 замыкание 12-06-2019 10-46-44 берется в пространстве M. Тогда по лемме 2 получим 12-06-2019 10-47-32 и не существует элемента 12-06-2019 10-47-47. Так как в силу тотальности F равенство 12-06-2019 10-49-25 равносильно включению 12-06-2019 10-49-38, то для всякого 12-06-2019 10-49-53 получим 12-06-2019 10-50-15. Следовательно,  12-06-2019 10-51-01, т.е. множество 12-06-2019 10-51-09пусто, что противоречит условию a).

Покажем, что из условия b) следует a). Из слабой замкнутости множества B в пространстве 11-06-2019 17-34-28 следует его замкнутость в пространстве 11-06-2019 17-34-28, а поскольку по лемме 2 индуцированная норма из 11-06-2019 17-34-28 эквивалентна норме в M, то множество B является замкнутым в пространстве M. Пусть 12-06-2019 11-10-34. Применяя по лемму 2 и замкнутость множества B в пространстве M, мы имеем включение 12-06-2019 11-10-45. Следовательно, существует такой 12-06-2019 11-11-07, что 12-06-2019 11-11-20. Поэтому в силу тотальности подпространства 12-06-2019 11-11-31 имеет место включение 12-06-2019 11-11-41. Отсюда следует, что 12-06-2019 11-11-54. Таким образом, подпространство является проксиминальным.

Покажем, что условие b) равносильно каждому из условий c) и d). Так как пространство 12-06-2019 11-26-30 сепарабельно и норма M эквивалентна индуцированной норме из 11-06-2019 17-34-28, то сопряженное пространство M* будет замкнутой линейной оболочкой последовательности непрерывных функционалов 12-06-2019 11-31-04 из пространства 12-06-2019 11-31-22. Следовательно, для доказательства слабой компактности множества  12-06-2019 11-31-33  достаточно показать, что любая последовательность 12-06-2019 11-31-45 содержит такую подпоследовательность 12-06-2019 11-32-00, для которой последовательность чисел 12-06-2019 11-32-12 сходится при всех 12-06-2019 11-32-26.

Для доказательства этого утверждения применяем диагональный метод Кантера. Сначала из последовательности чисел 12-06-2019 11-41-26 выбираем сходящуюся подпоследовательность 12-06-2019 11-41-38. Затем из последовательности чисел 12-06-2019 11-41-54  выбираем сходящуюся подпоследовательность  12-06-2019 11-42-10, и так далее продолжаем по индукции. В результате этого образуется бесконечная таблица функций 12-06-2019 11-42-23, из которой мы выбираем диагональные элементы 12-06-2019 11-42-35. Тогда последовательность 12-06-2019 11-42-47 сходится при всех 12-06-2019 11-32-26.

Применяя критерий слабой сходимости в пространстве M, мы получим, что существует предел 12-06-2019 11-57-28. В частности, существует предел 12-06-2019 11-57-46. Так как по теореме Банаха-Штейнгауза [11, С. 283]  пространство N* секвенциально слабо* полно, то пространство M секвенциально полно в слабой* топологии 12-06-2019 11-58-29, а – поэтому функция 12-06-2019 11-58-39.  В силу условия слабой замкнутости множества B в пространстве 11-06-2019 17-34-28  получим 12-06-2019 11-59-59. Таким образом, из условия b) вытекает каждое из условий c) и d).

Обратно, если выполняется c) или d), то из слабой полноты множества B в пространстве 11-06-2019 17-34-28 или из слабой компактности B в пространстве 11-06-2019 17-34-28 вытекает слабая замкнутость множества в пространстве 11-06-2019 17-34-28, т.е. имеет место b).

Покажем, что из условия b) следует e). Предположим, что существует такая  последовательность 12-06-2019 12-07-29, что 12-06-2019 12-07-45, но функционал 12-06-2019 12-07-56, удовлетворяет неравенству 12-06-2019 12-08-21. Применяя свойство d), мы можем выбрать такую подпоследовательность 12-06-2019 12-10-00 при всех 12-06-2019 12-10-13 и 12-06-2019 12-10-40. Докажем, что 12-06-2019 12-10-48.

Пусть 12-06-2019 12-18-02. Тогда, если 12-06-2019 12-18-13, то выполняется строгое неравенство 12-06-2019 12-18-25, поскольку

12-06-2019 12-18-43.

Пусть 12-06-2019 12-24-09. Тогда, если 12-06-2019 12-24-20, то также выполняется строгое неравенство 12-06-2019 12-24-35, поскольку 12-06-2019 12-24-49.

Следовательно, мы имеем 12-06-2019 12-10-48. Таким образом, получили противоречие.

Покажем, что из e) следует b). Пусть 12-06-2019 12-29-59 12-06-2019 12-29-49, тогда  и существует  последовательность12-06-2019 12-30-15, т.ч. 12-06-2019 12-30-34. По теореме Хана-Банаха [11, С. 232] существует 12-06-2019 12-30-54. Тогда по лемме 1 можно считать, что  12-06-2019 12-31-09, и значит 12-06-2019 12-31-31.

Так как 12-06-2019 12-40-05  и  являются выпуклыми, непересекающимися и слабо* компактными подмножествами множества B, то выпуклая оболочка 12-06-2019 12-40-33 является слабо* компактным подмножеством B [9, С. 104]. Поэтому для доказательства условия b) достаточно показать, что 12-06-2019 12-40-59. Предположим, что это включение не выполняется, т.е. 12-06-2019 12-41-10.

По теореме отделимости существует такой  12-06-2019 12-45-19 . Применяя конструкцию доказательстве леммы 1, можно считать, что  12-06-2019 12-45-28. Тогда имеем 12-06-2019 12-45-55, что невозможно по условию, и мы получили противоречие.

Теорема 2

Пусть аннулятор 12-06-2019 12-51-10  чебышевского подпространства 12-06-2019 12-51-18 бесконечной размерности в пространстве непрерывных функций на связном хаусдорфовом компактном множестве T  содержит минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 12-06-2019 12-51-51. Тогда 12-06-2019 12-52-03, размерность 12-06-2019 12-52-17 и подпространство L образует гиперплоскость 12-06-2019 12-52-43, для которой 12-06-2019 12-52-54 является строго положительным функционалом.

Доказательство. Так как 12-06-2019 12-51-18 является чебышевским подпространством, то существует такая функция 12-06-2019 13-04-36, что  при всех . В силу теоремы Хана-Банаха [11, С. 232] найдется функционал 12-06-2019 13-04-49. При помощи леммы 1 мы можем считать, что 12-06-2019 13-04-57.

Поскольку факторпространство 12-06-2019 13-07-57  изоморфно сопряженному пространству 12-06-2019 13-08-10 и аннулятор  изометрически изоморфен 12-06-2019 13-08-33 сопряженному пространству, то экстремальное множество 12-06-2019 13-09-09 функционала α будет выпуклым и слабо* компактным множеством в пространстве 12-06-2019 13-09-56. По теореме Крейна-Мильмана [8, С. 477] существует крайняя точка 12-06-2019 13-10-06 в множестве 12-06-2019 13-09-09. Тогда 12-06-2019 13-10-18 является крайним подмножеством границы единичного шара 12-06-2019 13-10-30 [2, С. 903], а поскольку подпространство 12-06-2019 13-10-46 является чебышевским, то это множество состоит из одной точки, которая будет крайней точкой границы шара S. В силу связности компакта  существуют только две крайние точки 12-06-2019 13-11-47 на границе шара S и по построению 12-06-2019 13-11-58. Поэтому можно считать функцию 12-06-2019 13-12-10 крайней точкой границы шара S.

По теореме Рисса-Маркова существует -аддитивная борелевская мера μ на компакте T, т.ч. 12-06-2019 13-19-45 при всех 12-06-2019 13-19-56 [8, С. 288]. Так как 12-06-2019 13-20-08, то мера μ неотрицательна. Докажем, что 12-06-2019 13-23-53. Предположим, что некоторый  элемент 12-06-2019 13-23-35 не принадлежит L. Поскольку подпространство L является проксиминальным, то, вычитая из φ элемент наилучшего приближения подпространством L, можно считать, что 12-06-2019 13-23-01. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, как и выше, мы получим, что 12-06-2019 13-23-20. Это противоречит условию 12-06-2019 13-21-40. Таким образом, 12-06-2019 13-21-31.

Если 12-06-2019 13-35-13, где функция 12-06-2019 13-35-26 и не равна нулю, то 12-06-2019 13-35-40, что противоречит единственности наилучшего приближения [12, С. 649]. Таким образом, функционал 12-06-2019 13-35-51 является строго положительным.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Cписок литературы / References

  1. Singer I. On best approximation in normed linear spaces by elements of subspaces of finite codimension / I. Singer // Rev. Roum. Math. Pures Appl.    17.  №8.  P. 1245-1256.
  2. Godini G. Characterizations of proximinal subspaces in normed linear spaces / G. Godini // Rev. Roum. Math. Pures Appl.  18.  №6.  P. 901-906.
  3. Indumathi V. Proximinal subspaces of finite codimension in general normed linear spaces / V. Indumathi // London Math. Soc. 1982.  45.  №3.  P. 435-455.
  4. Гаркави А. Л. О наилучшем приближении элементами бесконечномерных подпространств одного класса / А. Л. Гаркави // Мат. сборник.     62.  №1 (104).  С. 104-120.
  5. Гаркави А. Л. Аппроксимативные свойства подпространств конечного дефекта в пространстве непрерывных функций / А. Л. Гаркави // Доклады АН СССР.    155.  С. 513-516.
  6. Гаркави А. Л. Задача Хелли и наилучшее приближение в пространстве непрерывных функций. / А. Л. Гаркави // Известия АН СССР, сер. мат. 31. №3.  С. 641-656.
  7. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин // Москва: МИР, 1975. 445с.
  8. Данфорд Н. Линейные операторы. Часть 1: Общая теория. / Н. Данфорд, Дж. Шварц // Москва: ИЛ, 1962.
  9. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки // Москва: ИЛ,   411 с.
  10. Goldberg S. On Dixmiers Theorems Concerning Conjugate Spaces / S. Goldberg // Math. Annelan    147.  P. 244-247.
  11. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов // Москва: Наука, 1984.  752 с.
  12. Singer I. On a theorem of J. D. Weston / I. Singer // Jour. London Math. Soc.  34.  P. 320-324.
  13. Phelps R. Cebysev subspace of finite codimension in / R. Phelps // Jour. Math.  1963.  13.  №2.  P. 647-655.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Singer I. On best approximation in normed linear spaces by elements of subspaces of finite codimension / I. Singer // Rev. Roum. Math. Pures Appl.    17.  №8.  P. 1245-1256 [in English].
  2. Godini G. Characterizations of proximinal subspaces in normed linear spaces / G. Godini // Rev. Roum. Math. Pures Appl.   18.  №6.  P. 901-906 [in English].
  3. Indumathi V. Proximinal subspaces of finite codimension in general normed linear spaces / V. Indumathi // London Math. Soc. 1982.  45.  №3.  P. 435-455 [in English].
  4. Garkavi A. L. O nailuchshem priblizhenii elementami beskonechnomernykh podprostranstv odnogo klassa [On the best approximation by elements of infinite dimensional subspaces of one class] / A. L. Garkavi // sbornik. [Mat. Compilation]. 1963.   62.  №1 (104).  P. 104-120 [in Russian].
  5. Garkavi A. L. Approksimativnyye svoystva podprostranstv konechnogo defekta v prostranstve nepreryvnykh funktsiy [Approximation properties of subspaces of a finite defect in the space of continuous functions] / A. L. Garkavi // Doklady AN SSSR [Reports of the USSR Acad. of Scienc.]. – 1964. P. 513-516 [in Russian].
  6. Garkavi A. L. Zadacha Khelli i nailuchsheye priblizheniye v prostranstve nepreryvnykh funktsiy [Helly’s problem and the best approximation in space continuous functions] / A. L. Garkavi // Izvestiya AN SSSR, ser. mat. [Proceedings of the Acad. of Scienc.  USSR, ser. math.] – 1967.    №3.  P. 641-656 [in Russian].
  7. Rudin U. Funktsional’nyy analiz [Rudin W. Functional analysis] / U. Rudin // Moskva: MIR [Moscow: MIR], 1975. – 445 p. [in Russian].
  8. Danford N. Lineynyye operatory. Chast’ 1: Obshchaya teoriya [Dunford N., Schwartz J. Linear Operators. Part 1: General theory] / N. Danford, Dzh. Shvarts // Moskva: IL [Moscow: IL]. – 896 p. [in Russian].
  9. Burbaki N. Topologicheskiye vektornyye prostranstva [Bourbaki N. Topological vector spaces] / N. Burbaki // Moskva: IL [Moscow: IL], 1959. – 411 p. [in Russian].
  10. Goldberg S. On Dixmiers Theorems Concerning Conjugate Spaces / S. Goldberg // Math. Annelan    147.  P. 244-247. [in English].
  11. Kantorovich L. V. Funktsional’nyy analiz [Functional Analysis] / L. V. Kantorovich, G. P. Akilov // Moskva: Nauka [Moscow: Science], 1984. – 752 p. [in Russian].
  12. Singer I. On a theorem of J. D. Weston / I. Singer // Jour. London Math. Soc. 34.  P. 320-324 [in English].
  13. Phelps R. Cebysev subspace of finite codimension in / R. Phelps // Jour. Math.  1963.  13.  №2.  P. 647-655 [in English].

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.