Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.90.12.002

Скачать PDF ( ) Страницы: 6-12 Выпуск: № 12 (90) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Алыбаев К. С. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРАМИ / К. С. Алыбаев, Т. К. Нарымбетов // Международный научно-исследовательский журнал. — 2020. — № 12 (90) Часть 1. — С. 6—12. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/analiticheskie-funkcii-kompleksnogo-peremennogo-s-parametrami/ (дата обращения: 20.02.2020. ). doi: 10.23670/IRJ.2019.90.12.002
Алыбаев К. С. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРАМИ / К. С. Алыбаев, Т. К. Нарымбетов // Международный научно-исследовательский журнал. — 2020. — № 12 (90) Часть 1. — С. 6—12. doi: 10.23670/IRJ.2019.90.12.002

Импортировать


АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРАМИ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРАМИ

Научная статья

Алыбаев К.С.1, *, Нарымбетов Т.К.2

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1, 2 Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Киргизская Республика

* Корреспондирующий автор (alybaevkurmanbek[at]rambler.ru)

Аннотация

В данной работе рассматриваются аналитические  функции комплексного переменного с малыми параметрами порождаемые некоторыми операторами. Исследуется асимптотическое поведение функции, по малому параметру. Задача решена с использованиям линии уровня гармонических функции. Область аналитичности функции разделяется некоторыми линиями на части и в некоторых частях пределы (по малому параметру) существуют, а в других бесконечны или не существуют.

Ключевые слова: Аналитические функции; отображения пространств; линии уровня; параметры; пути интегрирования.

ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS

Research article

Alybaev K.S.1, *, Narymbetov T.K.2

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1, 2 Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyz Republic

* Corresponding author (alybaevkurmanbek[at]rambler.ru)

Abstract

In this paper, we consider the analytic functions of a complex variable with small parameters generated by some operators. We study the asymptotic behavior of a function with respect to a small parameter. The problem is solved using line-level harmonic functions. The analytic domain of the function is divided by some lines into parts, and in some parts the limits (by a small parameter) exist, but in others they are infinite or do not exist.

Keywords: analytical functions; display spaces; level lines; options; integration paths. 

Введение

Теория функций комплексного переменного имеют многочисленные приложения для решения задач гидро-аэродинамики, теории упругости, электростатистики, магнитных и тепловых полей и т.д.  Следовательно развитие теории функций комплексного переменного для разработки новых методов решения различных математических и практических задач является актуальной. 

Обозначения и вспомогательные понятия

  • 07-01-2020 13-32-21 – соответственно множество натуральных, действительных и комплексных чисел;
  • 07-01-2020 13-32-34 – комплексная переменная, где 07-01-2020 13-32-51 – действительные переменные; 07-01-2020 13-33-02;
  • ε – малый положительный вещественный параметр, если функция зависит от ε“по ε” будет обозначать 07-01-2020 13-34-16;
  • 07-01-2020 13-34-28 – комплекснозначная функция комплексной переменной, где 07-01-2020 13-35-13 вещетвеннозначные функции двух вещественных переменных;
  • 07-01-2020 13-35-25 – односвязная область в том смысле, что две любые ее точки можно соединить спрямляемой кривой;
  • 07-01-2020 13-35-33 – пространство аналитических комплекснозначных функций в D;
  • 07-01-2020 13-35-51– пространство аналитических комплекснозначных функций в D с параметром ε;
  • Множество 07-01-2020 14-04-04 называется линией уровня функции 07-01-2020 14-04-14 в области D;
  • 07-01-2020 14-04-39 – означает:  для любого t из D функция a(t) обладает свойством P:

Постановка задачи

Рассмотрим пространство 07-01-2020 14-08-48

Определение 1. Если  для любого 07-01-2020 14-08-57 найдется 07-01-2020 14-09-06 такое, что при 07-01-2020 14-09-14 (или на кривой p)  имеет место неравенство

07-01-2020 14-10-21

то будем говорить, что 07-01-2020 14-09-33 стремится при  07-01-2020 14-09-43 к функции 07-01-2020 14-09-52 равномерно относительно t в области D  (или на кривой c).

Далее согласно принятого определения исследуем задачу 07-01-2020 14-17-34  В частности к таким задачам сводятся исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных  уравнений или систем в комплексных областях.

Решение поставленной задачи для произвольной функции комплексной переменной практически является неразришимой. Ограничимся рассмотрением некоторых аналитических функций комплексного переменного.

Пусть заданы пространства 07-01-2020 14-17-46  и оператор 07-01-2020 14-17-56  переводящий элемент пространства 07-01-2020 14-18-08 в элемент пространства 07-01-2020 14-18-19.

Если  07-01-2020 14-18-29

Представление аналитических функций на линиях

Справедливо утверждение: Гармонические функции принимают  каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и совпадают с постоянными на линиях будучи торжественно не равными постоянной.

07-01-2020 14-18-44

Функция z(t) в целом на линии (p) представляется в виде

07-01-2020 14-23-00, причем в каждой точке 07-01-2020 14-23-59 функция 07-01-2020 14-23-17 принимает значение p согласно утверждения. Выражение 07-01-2020 14-23-45 означает значение функции  07-01-2020 14-23-51  в некоторой точке 07-01-2020 14-23-09.

В нащих дальнейщих исследованиях при рассматрение аналитических функций на линиях будем учитывать такие представления.

Решения задачи для некоторых операторов

Пусть  08-01-2020 10-41-48 скалярная функция.

I. Определим оператор 08-01-2020 10-43-15. Пусть 08-01-2020 10-43-33 и её внутренняя точка, и выполняется следующее условие: 08-01-2020 10-43-43

Из условия 08-01-2020 10-44-05 вытекает, функция 08-01-2020 10-44-15 в области D не имеет кратных точек и t0 является простым нулем функции 08-01-2020 10-44-15 [1,2,3].

Область D полностью покрывается взаимно ортогональными линиями уровней функций 08-01-2020 10-45-58

Для внесения ясности в топологию области D в терминах линии уровня введем в рассмотрение линию 08-01-2020 10-46-47. В силу условия 08-01-2020 10-44-05  такая линия существует. Линия 08-01-2020 10-47-01 проходит через точку t0 и область D делит на части 08-01-2020 10-47-31 где выполняются соотношения 08-01-2020 11-04-19 причем выполнения 08-01-2020 11-04-56 одновременно в двух областях исключается. Для определенности возьмём 08-01-2020 11-05-12, причем равенства имеет место только на линии

Рассмотрим следующие случаи:

  1. Пусть t произвольная точка принадлежащая 08-01-2020 11-05-23. Рассмотрим функцию

08-01-2020 11-10-45

Функция 08-01-2020 11-11-44 принимает значение 0.

Отсюда вытекает для функции 08-01-2020 11-12-05 в рассматриваемой точке 08-01-2020 11-12-16 не существует, но она ограничена по модулю. Точка t произвольная из 08-01-2020 11-12-51 не существует, но она ограничена по модулю.

  1. 08-01-2020 11-13-01 Введем на рассмотрение линию

08-01-2020 11-13-15

и область, ограниченную линиями 08-01-2020 11-13-26 обозначим 08-01-2020 11-13-38, а оставшуюся часть D1 обозначим D11. Линию 08-01-2020 11-13-48 отнесем к области D11.

08-01-2020 11-22-03

  1. 08-01-2020 11-22-27. Рассмотрим линии

08-01-2020 11-22-35

Область ограниченную линиями 08-01-2020 11-23-18 обозначим 08-01-2020 11-23-34 оставшуюся часть D2 обозначим D21. Линию 08-01-2020 11-25-10 отнесем к области D21. Далее, если 08-01-2020 11-25-33 не существует, но по мере приближения t к линии  08-01-2020 11-26-28

Примечание. Если условие U заменить на следующее.

08-01-2020 11-26-54

то линия 09-01-2020 10-19-54 в точке 09-01-2020 10-20-28 разветвляется и области D разделяет на 09-01-2020 10-21-02 частей, причем ровно в 09-01-2020 10-21-02 областях (содержащие ветви 09-01-2020 10-19-54) предел 09-01-2020 10-21-17  по ε не существует, а в n областях 09-01-2020 10-21-37. Такие области чередуются. К примеру 09-01-2020 10-22-14

II. Пусть

09-01-2020 10-36-41   (1)

Пусть выполняются условия:

09-01-2020 11-03-46

Как и в предыдущем случае определим линию 09-01-2020 11-04-03 и области 09-01-2020 11-04-10.

Для исследования функции 09-01-2020 11-04-32 по ε определим пути интегрирования. Согласно U2 функция 09-01-2020 11-04-46. Следовательно пути интегрирования можно выбрать произвольными, но полностью принадлежащими D.  Если 09-01-2020 11-08-56, то путь состоит из части 09-01-2020 11-04-03 соединяющую точки 09-01-2020 11-10-12.

Если 09-01-2020 11-10-30, то путь состоит из части 09-01-2020 11-04-03 соединяющую точки 09-01-2020 11-10-41 и части линии 09-01-2020 11-11-25соединяющую точки 09-01-2020 11-11-56. Линии 09-01-2020 11-13-09 порождаемые гармоническими функциями, 09-01-2020 11-12-42 являются аналитическими кривыми и их уравнения можно представит параметрически . В качестве параметра возьмём длины кривых 09-01-2020 11-12-10. Пусть 09-01-2020 11-13-22 длина кривой 09-01-2020 11-04-03 отчитываемого  точки tдо точки09-01-2020 11-13-47. Уравнение кривой 09-01-2020 11-04-03 представим в виде

09-01-2020 11-45-35

где 09-01-2020 11-49-22  текущие координаты точек принадлежащие кривым 09-01-2020 11-50-01.

С учетом выбранных путей интегрирования и их параметрическое представление,  (1) представим в виде

 09-01-2020 11-54-36

В (4) интеграл в правой части имеет порядок ε. Следовательно 09-01-2020 11-56-43  не имеет предела по ε, но ограничена по модулю.

Пусть 09-01-2020 11-57-05.  Из (2), интегралы в правой части проинтегрировав по частям, получим

09-01-2020 11-59-44   (5)

В 09-01-2020 12-01-26, а интеграл имеет порядок ε. Для значений 09-01-2020 12-01-35 имеем  Тогда 09-01-2020 12-01-47

09-01-2020 12-04-38

Пусть 09-01-2020 12-08-27 .  Рассмотрим линию 09-01-2020 12-08-48. Линией 09-01-2020 12-09-49 область D2 разделяется на части 09-01-2020 12-10-29. Если линия 09-01-2020 12-10-47

09-01-2020 12-11-36

III. Рассмотрим векторные аналитические функции комплексного переменного.

Определение. Пусть  09-01-2020 12-21-21 то будем говорить, что 09-01-2020 12-21-28 векторная аналитическая функция комплексного переменного с компонентами  09-01-2020 12-21-44.

Пространство таких функций обозначим 09-01-2020 12-21-55. Пространство функций 09-01-2020 12-22-02 обозначим 09-01-2020 12-22-15.

Норму определим так

09-01-2020 12-22-38

Из U2 вытекает, что функции 09-01-2020 12-32-46 не имеют кратных точек и через каждую точку области D проходит единственная линия уровня функций 09-01-2020 12-33-20. В отличие от примера I в данном случае область D покрывается линиями уровней двух пар 09-01-2020 12-33-51 и это затрудняет описание топологии области D в терминах линии уровня. Но согласно U2 линии

09-01-2020 12-34-46

пересекаются в точке 09-01-2020 12-34-55

В общем случае линии 09-01-2020 12-35-06 могут иметь несколько точек пересечения отличных от t0 и определить такие точки практически невозможно.

Для наглядности предположим:

U3. Линии 09-01-2020 12-35-06 в области D не имеют других точек пересечения, кроме точки t0.

Тогда в силу 09-01-2020 12-36-13 область D линиями 09-01-2020 12-35-06 разделяется на четыре части и только в одной части, эту часть обозначим D1, выполняются соотношения.

 09-01-2020 12-36-53 причем равенства имеет место только на границе D1, состоящее из частей линии 09-01-2020 12-35-06 (рис. 1).

09-01-2020 12-52-08

Рис. 1 – Деление области D линиями 09-01-2020 12-35-06

Заметим, если в условии 09-01-2020 12-54-04    то линии  совпадают и область D разделяется на две части, при этом не существует область, где одновременно выполняются неравенства 09-01-2020 12-54-21

Линиями уровня 09-01-2020 12-55-04 разделим на части 09-01-2020 12-55-39 (рис. 2).

09-01-2020 13-00-33

Рис. 2 – Деление областей  09-01-2020 13-01-13

 

Далее исследуем предел

09-01-2020 13-01-25

Если учесть результаты I, то

09-01-2020 13-01-41

Для областей 09-01-2020 13-02-23 не существуют.

IV. Пусть 09-01-2020 13-02-33

09-01-2020 13-02-45

и выполняются условия U2, U3.

Для этого случая, учитывая вычисления проведенные в случаях II, III получим  09-01-2020 13-08-00

а для областей 09-01-2020 13-08-14 не существуют.

V. Пусть 09-01-2020 13-08-28 скалярные функции;

09-01-2020 13-08-37   (7)

09-01-2020 13-08-52 – константа не зависящая от ε.

Далее будем рассматривать 09-01-2020 13-09-11 пространство  с множеством

09-01-2020 13-09-20 некоторая положительная не зависящая от ε}

Пусть выполняется условия U1.

Решим задачу при каких условиях

 09-01-2020 13-09-37 с множеством H.

Для решения этой задачи как и в I определим линию09-01-2020 13-09-52 и области09-01-2020 13-09-59

В (7) пути интегрирования определим как и в случае  II и используем их параметрическое представление.

Пусть 09-01-2020 13-10-06 Тогда из (7) имеем

09-01-2020 13-20-41   (8)

где  09-01-2020 14-40-55

Поведение интеграла в (8) при 09-01-2020 14-41-05, имеющимися сведениями о функции 09-01-2020 14-41-13 невозможно определить, но этот интеграл ограничен. Наличие первого слагаемого показывает, в рассматриваемом случае, предел 09-01-2020 14-41-25  не существует.

Из (8) переходя к модулю получим

09-01-2020 14-41-36

где 09-01-2020 14-41-47

Отсюда  при

09-01-2020 14-42-00   (9)

09-01-2020 14-42-07

Теперь рассмотрим случай 09-01-2020 14-50-23 .

Для этого случая из (7) имеем

09-01-2020 14-51-05    (10)

где 09-01-2020 14-51-15

В (10) проведем следующее преобразование

09-01-2020 14-55-22 09-01-2020 14-56-41     (11)

В (11) выражение содержащееся в […] даёт функцию 09-01-2020 14-55-31. Учитывая это (11) перепишем в виде

09-01-2020 14-55-44  (12)

Если 09-01-2020 14-55-52 (определена в I), то из (12) вытекает

 

09-01-2020 14-56-08  (13)

где 09-01-2020 14-56-19

К интегралу (13), применяя метод интегрирование по частям (функция 09-01-2020 14-56-32) строго монотонна вдоль линии , что и обеспечивает такую возможность) получим

09-01-2020 15-01-42

где 09-01-2020 15-07-45  некоторая постоянная не зависящая от ε.

Таким образом 09-01-2020 15-08-03

По определению 09-01-2020 15-08-19

Отсюда при условии  09-01-2020 15-08-48

09-01-2020 15-09-05

Пусть 09-01-2020 15-16-48  (11) представим в виде

09-01-2020 15-09-33

Если  09-01-2020 15-17-20 органичена.

Если  09-01-2020 15-17-37 а выражение содержащееся в […] ограничена по модулю. Следовательно 09-01-2020 15-17-46 не ограничена.

Выводы

Таким образом доказано, что аналитические функции (скалярные или векторные) с малыми параметрами обладают рядом специфических свойств. В частности существуют линии делящие области на части и на таких линиях и областях примыкающих к данным линиям пределы функции 09-01-2020 15-22-16  по малому параметру не существуют, а в других областях бесконечны или существуют и в последнем случае предельная функция принадлежит к пространству  или 09-01-2020 15-22-27

При рассмотрении операторов 09-01-2020 15-22-43 отображающих элементы из пространства 09-01-2020 15-23-00  только при определенных условиях принадлежит пространству  09-01-2020 15-23-11.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А. Евграфов. – Москва: Наука, 1991. – 448 с.
  2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – Москва: Наука, 1973. – 739 с.
  3. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В.Федорюк. – Москва: Наука, 1977. – 368 с.
  4. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / Алыбаев К.С. // Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190-200.
  5. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями /К.С. Алыбаев, К.Б. Тампагаров //Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. № 10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. – С.59-66.
  6. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных /М.А.Шишкова//Доклады АН СССР. – 1973. – Т. 209, № 3. – С. 576-579.
  7. Алыбаев К.С. Построение областей притяжения при вырождении сингулярно возмущенных уравнений /К.С. Алыбаев, А.Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. № 9 (75). Екатеринбург, 2018. – С. 7-11.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Evgrafov M. A. Analiticheskie funkcii [Analytical functions]/ M. A. Evgrafov. – Moscow: Nauka, 1991. – 448 PP. [in Russian]
  2. Lavrentiev M. A. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] / M. A. Lavrentiev, B. V. Shabat. – Moscow: Nauka, 1973. – 739 p [in Russian]
  3. Fedoryuk M. V. Metod perevala [The method of the pass] / M. V. Fedoryuk. Moscow: Nauka, 1977. – 368 p. [in Russian]
  4. Alybaev K. S. Metod linij urovnya issledovaniya singulyarno vozmushchennyh uravnenij pri narushenii usloviya ustojchivosti [Method of level lines of the study of singularly perturbed equations in violation of the conditions of stability] / Alybaev K. S. // Vestnik KNU. – Series 3, Issue 6. – Bishkek, 2001. – Pp. 190-200. [in Russian]
  5. Alybaev K. S. Metod pogranslojnyh linij postroeniya regulyarno i singulyarnyh oblastej dlya linejnyh singulyarno vozmushchennyh uravnenij s analiticheskimi funkciyami [Method of boundary-layer lines of regular and singular domains construction for linear singularly perturbed equations with analytical functions] /K. S. Alybaev, K. B. Tampagarov //Natural and mathematical Sciences in the modern world: collection of articles based on XLVII international scientific-practical conference. 10 (45). Russia, Novosibirsk: Sibak, 2016. – Pp. 59-66. [in Russian]
  6. Shishkova M. A. Rassmotrenie odnoj sistemy differencial’nyh uravnenij s malym parametrom pri vysshih proizvodnyh [Consideration of one system of differential equations with a small parameter at higher derivatives] /M. A. Shishkova/ / Reports of the USSR Academy of Sciences. – 1973. – Vol. 209, No. 3. – Pp. 576-579. [in Russian]
  7. Alybaev K. S. Postroenie oblastej prityazheniya pri vyrozhdenii singulyarno vozmushchennyh uravnenij [Construction of regions of attraction at degeneration of singularly perturbed equations] / K. S. Alybaev, A. B. Murzabaeva / / international scientific research journal. 9 (75). Ekaterinburg, 2018. – Pp. 7-11. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.