Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.80.2.024

Скачать PDF ( ) Страницы: 126-130 Выпуск: № 2 (80) () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Ушаков А. В. О ПРОВЕДЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ТОПОЛОГИИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ / А. В. Ушаков // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 2 (80). — С. 126—130. — URL: https://research-journal.org/pedagogy/o-provedenii-prakticheskix-zanyatij-po-topologii-v-pedagogicheskom-vuze/ (дата обращения: 17.09.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2019.80.2.024
Ушаков А. В. О ПРОВЕДЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ТОПОЛОГИИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ / А. В. Ушаков // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 2 (80). — С. 126—130. doi: 10.23670/IRJ.2019.80.2.024

Импортировать


О ПРОВЕДЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ТОПОЛОГИИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

О ПРОВЕДЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ТОПОЛОГИИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

Научная статья

Ушаков А.В. *

ORCID: 0000-0002-7665-2086,

Московский городской педагогический Университет, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (oushakov1974[at]yandex.ru)

Аннотация

Данная статья посвящена роли курса топологии для подготовки будущих учителей математики. Здесь рассматриваются различные аспекты педагогической направленности указанного курса. Особое внимание уделяется профессионализации обучения на практических занятиях по топологии. В статье приведены примеры задач, призванных оказать студентам педагогических вузов помощь в приобретении практических навыков, проиллюстрировать идеи и методы топологического исследования, обеспечить тем самым целостное усвоение всего материала.

Ключевые слова: высшая математика, топология, обучение, преподавание.

ON CONDUCTING PRACTICAL CLASSES IN TOPOLOGY IN PEDAGOGICAL UNIVERSITY

Research article

Ushakov A.V. *

ORCID: 0000-0002-7665-2086,

Moscow City University, Moscow, Russia

* Corresponding author (oushakov1974[at]yandex.ru)

Abstract

This article considers the role of a topology course in training future teachers of mathematics. Various aspects of a pedagogical orientation of the specified course are considered in the paper. Particular attention is paid to the professionalization of education in practical exercises on topology. The article presents examples of tasks intended to assist students of pedagogical universities in the acquisition of practical skills, to illustrate ideas and methods of topological research, thereby ensuring a holistic mastery of all the material.

Keywords: higher mathematics, topology, training, teaching. 

Раздел «элементы топологии» играет весьма значительную роль для подготовки математиков вообще и учителей математики в частности. Вряд ли можно построить курсы математического анализа, дифференциальной геометрии, теории функций, отвечающие современному состоянию этих дисциплин, без привлечения топологических понятий. Кроме того, с ними постоянно приходится иметь дело в курсе элементарной геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело и его поверхность и т.п. Точное определение этим понятиям в школе, как правило, не дается, однако учитель должен иметь возможность обсудить их с учащимися старших классов на доступном уровне. Преподавать элементы топологии школьникам можно в рамках специального элективного курса, целесообразность проведения которого обусловлена следующими факторами: расширение кругозора учащихся; стимулирование интереса к математике в целом; повышение уровня строгости курса; развитие логического и абстрактного мышления; осуществление пропедевтики вузовского курса высшей математики. Необходимо также отметить большое прикладное значение топологических исследований, поэтому в процессе знакомства даже с простейшими топологическими структурами, учащиеся приходят к осознанию единой естественно-научной картины мира. Таким образом, топологию нужно изучать на различных уровнях математического образования:

– в школе на элективном курсе по наглядной топологии;

– в бакалавриате на различных спецкурсах;

– в магистратуре как базовый курс;

– в аспирантуре или на курсах повышения квалификации.

Нам представляется весьма актуальным, чтобы у школьников уже была сформирована база для топологического восприятия мира, а студенты – будущие учителя могли решать эту задачу. Основные направления для такой профессиональной ориентации вузовского курса топологии мы видим в явном выделении его методологической составляющей, в усилении внимания к различным приложениям топологии, а также в осуществлении пропедевтической линии, владение которой важно для учителя.

В итоге, цель курса топологии педагогического вуза состоит в освоении фундаментальных понятий и фактов соответствующего раздела геометрии, а также демонстрации их приложений к школьному курсу элементарной математики. Достижение этой цели предполагает решение следующих задач: сформировать систему базовых знаний по общей топологии; выработать навыки их практического применения в учебной или профессиональной деятельности; ознакомить с основными концепциями и направлениями развития современной геометрии; развить представления о топологической структуре окружающего мира.

Большим потенциалом для усиления для усиления профессионально-педагогической направленности обучения обладают практические занятия по топологии. Профессионализация обучения здесь может осуществляться через применение различных методов обучения; разбор примеров из школьных учебников по теме, связанной с текущим практическим занятием; моделирования ситуаций будущей профессиональной деятельности учителя.

На практические занятия по разделу «элементы топологии» традиционно выносятся следующие темы:

  1. Метрические пространства.
  2. Топологические пространства.
  3. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
  4. Отделимость, компактность и связность.
  5. Топологические многообразия.

Остановимся на каждом из этих вопросов подробнее:

  1. Студенты должны знать определение и примеры метрических пространств (числовое пространство Rn с естественной метрикой). Уметь доказывать, что пространство является метрическим, т.е. проверять выполнение аксиом метрического пространства в каждом конкретном случае.

Знать определение открытых подмножеств метрического пространства, уметь доказывать их свойства.

Знать определение и признак непрерывного отображения метрических пространств.

  1. Знать определение и примеры топологических пространств (топология порожденная метрикой; дискретная и антидискретная топологии; примеры топологий на множестве из двух элементов).

Знать определения открытого и замкнутого множества; окрестности точки и множества; внутренней, внешней и граничной точек; внутренности, замыкания и границы множества. Уметь оперировать этими понятиями, строить соответствующие примеры, а также доказывать простейшие свойства типа:

дополнение замыкания множества совпадает с внутренностью дополнения этого множества;

замыкание множества есть объединение его внутренности с границей;

множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью;

множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу и т.п.

Знать определение подпространства топологического пространства. Уметь строить топологию, индуцированную на подмножестве из пространства.

  1. Знать определение и признаки непрерывных отображений топологических пространств. Уметь проверять является ли данное отображение непрерывным или нет; доказывать непрерывность композиции непрерывных отображений и ограничения непрерывного отображения на подпространство.

Знать определение гомеоморфизма топологических пространств. Иметь представление о предмете топологии, как науки, изучающей свойства пространств, сохраняющиеся при гомеоморфизмах (или топологические инварианты).

  1. Знать определение таких топологических инвариантов, как отделимость, компактность и связность. Уметь проверять их наличие или отсутствие для конкретных пространств.
  2. Знать определение двумерного топологического многообразия и связанных с ним понятий: клеточного разложения, ориентируемости и эйлеровой характеристики.

Знать примеры многообразий (диск, сфера) и способ получения новых многообразий при помощи операции склеивания (лист Мебиуса, ручка, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость). Уметь определять ориентируемо или нет каждое из построенных многообразий и подсчитывать их эйлерову характеристику. Иметь представление о классификации многообразий.

Практические занятия по топологии строятся, в основном, на решении задач, тщательный подбор которых играет важнейшую роль, особенно на уровне первоначального знакомства с этой дисциплиной. Дело в том, что строгие определения многих топологических понятий весьма громоздки, а содержательные теоремы появляются только после большой предварительной работы. Поэтому при разработке курса «элементы топологии» постоянно приходится решать вопросы, касающиеся отбора материала, зачастую ограничиваясь минимально необходимыми сведениями. В частности, на практических занятиях можно использовать лишь несколько сравнительно простых примеров топологических пространств и с их помощью проиллюстрировать все изученные теоретические факты. В результате одни и те же пространства становятся объектами серий задач, примеры которых приведены ниже.

Задача 1. Множество X состоит из трех элементов:
17-04-2019 10-12-20 . Под открытыми множествами будем понимать пустое множество, множество X и его подмножества 17-04-2019 10-13-02

  1. Доказать, что тем самым на множестве X задана топология τ.
  2. Найти все замкнутые множества топологического пространства (X, τ)
  3. Указать множества, которые являются одновременно открытыми и замкнутыми в X
  4. Найти границу, внутреннюю и внешнюю части множества 17-04-2019 10-20-58 17-04-2019 10-21-18, а также замыкания множеств .
  5. Является ли непрерывным отображение 17-04-2019 10-21-48
  6. Является ли пространство X отделимым или связным.

Решение. Оформим результаты выполнения операций объединения и пересечения элементов совокупности t в виде таблицы:

Таблица 1 – Операции над множествами в топологическом пространстве

17-04-2019 10-27-29

Таким образом, совокупность t замкнута относительно указанных операций, а значит, является топологией на множестве X.

Замкнутыми множествами являются пустое множество, само множество X, а также множества 17-04-2019 10-30-20  При этом множества O2 и O4 одновременно открыты и замкнуты.

Множество  открыто, а всякая окрестность точки c имеет с ним непустое пересечение, поэтому: 17-04-2019 10-30-4817-04-2019 10-20-58

Замыкание множества есть наименьшее содержащее его замкнутое множество. В ходе решения задания 2) мы нашли все замкнутые множества пространства X. Теперь можно сразу записать, что: 17-04-2019 10-37-35

Отображение а) является непрерывным, поскольку прообразы 17-04-2019 10-37-59 открытых множеств, открыты в X. Аналогично доказывается, что отображение б) не является непрерывным.

Пространство X можно представить в виде объединения 17-04-2019 10-40-48 двух непустых непересекающихся открытых множеств, поэтому оно является несвязным. Далее, любая окрестность точки c содержит точку a, поэтому у этих точек не существует непересекающихся окрестностей и пространство X не является отделимым.

Задача 2. Дана евклидова плоскость E2, на которой выбрана прямоугольная декартова система координат. Подмножество плоскости назовем открытым, если оно является пустым или вместе с каждой своей точкой содержит открытый круг 17-04-2019 10-51-55, которому принадлежит точка.

  1. Доказать, что тем самым на плоскости задана топология (она называется концентрической)
  2. Доказать, что концентрическая топология обладает счетной базой.
  3. Выяснить, какие из множеств являются открытыми, какие замкнутыми, а какие ни открытыми, ни замкнутыми: 17-04-2019 10-55-52
  4. Найти 17-04-2019 10-57-31, если множество: 17-04-2019 11-00-36
  5. Пусть на плоскости E2 даны три точки 17-04-2019 11-02-59 Найти все открытые множества пространства 17-04-2019 11-03-15, топология которого индуцирована концентрической.
  6. Выяснить, является ли непрерывным отображением: а) поворот вокруг начала координат; б) гомотетия с центром в начале координат; в) осевая симметрия, ось которой проходит через начало координат; г) параллельный перенос на ненулевой вектор.
  7. Пусть на плоскости E2 даны два луча 17-04-2019 11-07-15 . Будет ли подпространство 17-04-2019 11-07-24 связным?

Решение. Из условия следует, что пустое множество и вся плоскость E2 являются открытыми множествами. Рассмотрим произвольную совокупность 17-04-2019 11-36-59 открытых множеств и точку 17-04-2019 11-43-01. Тогда M0 принадлежит некоторому множеству 17-04-2019 11-29-14 из рассматриваемой совокупности. По определению открытого множества, найдется открытый круг 17-04-2019 11-12-34 со свойством: 17-04-2019 11-12-48. Но 17-04-2019 11-12-58, поэтому 17-04-2019 11-13-08 - копия. Таким образом, множество O вместе со своей точкой M0 содержит открытый круг 17-04-2019 11-12-34, т.е. является открытым. Возьмем любые два открытых множества O1 и O2. Рассмотрим точку 17-04-2019 11-13-31. Так как множества O1 и O2 открыты, то каждое из них вместе с точкой M0 содержит открытый круг 17-04-2019 11-13-58 соответственно. Пусть 17-04-2019 11-14-13. Тогда 17-04-2019 11-15-14. Таким образом, множество 17-04-2019 11-15-26 открыто.

Ясно, что концентрическая топология обладает счетной базой, которая состоит из всех открытых кругов 17-04-2019 11-48-15 рационального радиуса r.

Задание 3) решим в случаях б) и г). Обозначим 17-04-2019 11-50-33 17-04-2019 11-49-59. Рассмотрим произвольно точку  и содержащий ее открытый круг 17-04-2019 11-59-03 с центром в начале координат. Тогда 17-04-2019 11-51-05, следовательно, 17-04-2019 11-51-17. Для любого такого r0 множество 17-04-2019 11-59-03 не содержится во множествах 17-04-2019 11-51-41. Таким образом, множество 17-04-2019 11-51-53 и его дополнение 17-04-2019 11-52-03 не открыто и не замкнуто. Ответы для остальных пунктов задания 3): множество а) открыто; множество д) замкнуто, а множество в) не открыто и не замкнуто.

Пусть 17-04-2019 12-01-52. Ясно, что все точки открытого круга 17-04-2019 12-02-05являются внешними точками множества A, так как в качестве их окрестности, содержащейся в 17-04-2019 12-02-20, можно взять 17-04-2019 12-02-29. Таким образом, 17-04-2019 12-02-43. Рассмотрим произвольно точку 17-04-2019 12-02-57 и ее окрестность O. Найдется открытый круг 17-04-2019 11-48-15 со свойством 17-04-2019 12-03-17. В этом случае 17-04-2019 12-13-12, следовательно, 17-04-2019 12-13-25, а значит 17-04-2019 12-13-39. Окончательно имеем: 17-04-2019 12-14-04. Ответы для остальных пунктов задания

17-04-2019 12-14-39

Точки B и C находятся на одинаковом расстоянии, равном единице, от начала координат A. Поэтому любое открытое множество, содержащее точку B, содержит также точки A и C. Далее, открытый круг с центром в начале координат и радиусом, меньшем единицы, содержит точку A, но не содержит точек B и C. Таким образом, открытыми множествами пространства X являются 17-04-2019 12-19-46 17-04-2019 12-20-59 .

При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k прообразом открытого круга радиуса r является открытый круг радиуса 17-04-2019 12-20-04. Поэтому прообраз каждого открытого множества открыт и указанная гомотетия является непрерывным отображением. Ответы для остальных пунктов задания 6): отображения а), в) являются непрерывными; отображение г) не является непрерывным.

Ясно, что точки 17-04-2019 12-20-45 принадлежат всякому непустому открытому в L множеству, поскольку оно содержит пересечение множества L и открытого круга 17-04-2019 12-20-59  с центром в начале координат радиуса 17-04-2019 12-21-05. Таким образом, любые два непустые открытые в L множества имеют непустое пересечение, поэтому пространство L связно.

Задача 3. Пусть X есть бесконечное множество. Его подмножество назовем открытым, если оно либо пустое, либо совпадает с X, либо его дополнение до X является конечным множеством.

  1. Доказать, что тем самым на множестве X задана топология (она называется топологией Зарисского).
  2. Доказать, что в случае несчетного множества X, топология Зариского не имеет счетной базы.
  3. Для открытого в X множества A найти 17-04-2019 12-25-57.
  4. Доказать, что всякое непрерывное отображение пространства X на прямую E1 является постоянным.
  5. Доказать, что пространство X является компактным, но не отделимым.

Решение. Возьмем любые два открытых множества O1 и O2. Если одно из этих множеств пустое, то их пересечение этих пусто. Пусть теперь данные множества непустые. Тогда множество 17-04-2019 12-27-35 либо конечно, либо пусто, если 17-04-2019 12-27-54. В любом случае заключаем, что множество 17-04-2019 12-28-23 открыто в X. Рассмотрим произвольную совокупность 17-04-2019 12-28-36 открытых множеств. Без ограничения общности рассуждений, будем считать хоть одно из этих множеств непустым. Тогда множество 17-04-2019 12-28-50 конечно или пусто, а значит множество 17-04-2019 12-29-02 открыто.

Пусть множество X несчетно. Доказательство утверждения из задания 2) проведем методом от противного: предположим, что β есть счетная база в X. Выберем произвольно точку 17-04-2019 13-01-45и определим множество 17-04-2019 13-02-06. Если существует отличная от x точка 17-04-2019 14-34-53, то для открытого множества 17-04-2019 14-35-20 найдется такое множество 17-04-2019 14-36-03, что 17-04-2019 14-36-14. Это значит, что все множество M, а стало быть и точка y содержатся в V, что противоречит построению этого множества. Таким образом доказано, что 17-04-2019 14-36-37. Рассмотрим теперь дополнение 17-04-2019 14-36-55 и заметим, что в правой части этого равенства стоит счетное множество (как счетное объединение конечных множеств вида 17-04-2019 14-37-08), тогда как слева имеется несчетное множество 17-04-2019 14-37-18.

В ходе решения задания 1), мы видели, что любые два непустые открытые в X множества имеют непустое пересечение. Учитывая это замечание и свойства указанных в задании 3) операций, получаем: 17-04-2019 14-49-37.

Предположим, что найдутся две различные точки 17-04-2019 14-51-02 и обозначим 17-04-2019 14-51-16. Тогда ε – окрестности точек M и N не пересекаются, поэтому их прообразы при отображении f представляют собой непустые непересекающиеся открытые в X множества. С другой стороны, в пространстве с топологией Зариского любые два непустые открытые множества пересекаются. Таким образом, множество 17-04-2019 14-52-02 состоит из одной точки, а само отображение f является постоянным.

Рассмотрим произвольное открытое покрытие Ω пространства X и множество 17-04-2019 15-01-26. Тогда множество 17-04-2019 15-01-37 является конечным: 17-04-2019 15-01-52. Обозначим через Oi такой элемент покрытия Ω, что 17-04-2019 15-02-26. Тогда 17-04-2019 15-02-45 есть конечное подпокрытие покрытия Ω.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Атанасян С. Л. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для студентов III – IV курсов физико-математических факультетов педагогических вузов. В 2 ч. Ч. 2. / С. Л. Атанасян, Н. В. Шевелева, В. Г. Покровский. – М.: ЭКСМО, 2008. – 320 с.
  2. Атанасян С. Л. Геометрия 2: учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков. – М.: БИНОМ, 2015. – 544 с.
  3. Глизбург В. И. Гуманитарный потенциал обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики: Монография / В.И. Глизбург. – М.: МГСУ, М.: МГПУ, 2009. – 335 с.
  4. Ушаков А. В. Элементы топологии: методическое пособие для студентов 5 курса математического факультета / А.В. Ушаков. – М.: МГПУ, 2005. – 30 с.
  5. Ушаков А. В. Элементы топологии и дифференциальной геометрии: учебное пособие / А. В. Ушаков. – М.: МГПУ, 2010. – 144 с.
  6. Ушаков А. В. Из опыта проведения практических занятий по топологии со студентами педагогических вузов / А.В. Ушаков // Педагогические науки. – 2005. – № 5 (15). – С. 152-156.
  7. Ушаков А. В. О роли примеров на лекциях по топологии в педагогическом вузе / А. В. Ушаков // Педагогические науки. – 2012. – № 3 (54). – С. 74-84.
  8. Ушаков А. В. О роли примеров на лекциях по дифференциальной геометрии в педагогическом вузе / А. В. Ушаков // Педагогические науки. – 2014. – № 3 (66). – С. 31-34.
  9. Ушаков А. В. Использование информационных технологий при изучении геометрии в педагогическом вузе / А. В. Ушаков // Педагогические науки. – 2015. – № 2 (71). – С. 55-57.
  10. Педагогическая направленность математических дисциплин в подготовке будущих учителей математики: Монография / А. В. Ушаков, Ю. А. Семеняченко, В. Г. Покровский и др. – М.: Издательство «Спутник+», 2016. – 144 с.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Atanasyan S. L. Sbornik zadach po geometrii: uchebnoe posobie dlya studentov III – IV kursov fiziko-matematicheskih fakul’tetov pedagogicheskih vuzov. In 2 h the P. 2. [Compilation problems on geometry: a manual for students of III-IV courses of physics and mathematics faculties of pedagogy. In 2-x h.] / S. L. Atanasyan, N. V. SHeveleva, V. G. Pokrovskij. – M.: EHKSMO, 2008. – 320 p. [in Russian]
  2. Atanasyan S. Geometriya 2: uchebnoe posobie dlya vuzov [Geometry 2: textbook for high schools] / S.L. Atanasyan, V. G. Pokrovskij, A. V. Ushakov. – M.: BINOM, 2015. – 544 p. [in Russian]
  3. Glizburg V. I. Gumanitarnyj potencial obucheniya topologii i differencial’noj geometrii pri podgotovke uchitelya matematiki: Monografija [The humanitarian potential of learning topology and differential geometry in the preparation of teachers of Mathematics: Monograph] / I. Glizburg. – M.: MGSU, M.: MGPU, 2009. – 335 p. [in Russian]
  4. Ushakov A. V. Ehlementy topologii: metodicheskoe posobie dlya studentov 5 kursa matematicheskogo fakul’teta [Elements of the topology: a manual for students of the Faculty of mathematics course 5] / A. V. Ushakov. – M.: MGPU, 2005. – 30 p. [in Russian]
  5. Ushakov A. V. EHlementy topologii i differencial’noj geometrii: uchebnoe posobie [Elements of topology and differential geometry: a tutorial] / A. V. Ushakov. – M.: MGPU, 2010. – 144 p. [in Russian]
  6. Ushakov A. V. Iz opyta provedeniya prakticheskih zanyatij po topologii so studentami pedagogicheskih vuzov [From the experience of the practical lessons of the topology with the students of teachers colleges] / A. V. Ushakov // Pedagogicheskie nauki [Pedagogical sciences]. – 2005. – № 5 (15). – P. 152-156. [in Russian]
  7. Ushakov A. V. O roli primerov na lekcijah po topologii v pedagogicheskom vuze [On the role of examples in lectures on topology in pedagogical university] / A. V. Ushakov // Pedagogicheskie nauki [Pedagogical sciences]. – 2012. – № 3 (54). – P. 74-84. [in Russian]
  8. Ushakov A. V. O roli primerov na lekcijah po differencial’noj geometrii v pedagogicheskom vuze [On the role of examples in lectures on differential geometry in the pedagogical university] / A. V. Ushakov // Pedagogicheskie nauki [Pedagogical sciences]. – 2014. – № 3 (66). – P. 31-34. [in Russian]
  9. Ushakov A. V. Ispol’zovanie informacionnyh tehnologij pri izuchenii geometrii v pedagogicheskom vuze [The use of information technology in studying geometry at the pedagogical university] / A. V. Ushakov // Pedagogicheskie nauki [Pedagogical sciences]. – 2015. – № 2 (71). – P. 55-57. [in Russian]
  10. Pedagogicheskaja napravlennost’ matematicheskih disciplin v podgotovke budushhih uchitelej matematiki: Monografija [Pedagogical orientation of the mathematical sciences in preparation of future teachers of mathematics: Monograph] / A. V. Ushakov, Ju. A. Semenjachenko, V. G. Pokrovskij and others – M.: Izdatel’stvo «Sputnik+», 2016. – 144 p. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.