О ФОРМИРОВАНИИ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРЕДМЕТНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» СТУДЕНТАМИ – БУДУЩИМИ УЧИТЕЛЯМИ МАТЕМАТИКИ

Артемьева С.В.¹, Курьякова Т.С.²

¹ORCID: 0000-0003-0845-0412, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике,

²ORCID: 0000-0002-3404-0428, старший преподаватель кафедры математики и методики обучения математике,

Педагогический институт Иркутского государственного университета

О ФОРМИРОВАНИИ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРЕДМЕТНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» СТУДЕНТАМИ – БУДУЩИМИ УЧИТЕЛЯМИ МАТЕМАТИКИ

Аннотация

В статье изложены результаты исследования возможностей формирования компетенций в процессе подготовки педагогов. Описаны особенности формирования специальной предметной компетенции у студентов – будущих учителей математики во время изучения дисциплины «Математический анализ». На примере содержания одного из разделов дисциплины «Исследование и построение кривых, заданных параметрически» изложена специфика формирования специальной предметной компетенции, приведена характеристика дескрипторов (признаков освоения компетенции) и описаны уровни их сформированности.

Ключевые слова: компетентностный подход; компетентность; признаки освоения компетенции; будущий учитель математики.

Artemyeva S.V.¹, Kuryakova T.S.²

¹ORCID: 0000-0003-0845-0412, PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics and Methods of Mathematics Teaching

²ORCID: 0000-0002-3404-0428, Senior Lecturer of the Department of Mathematics and Methods of Mathematics Teaching

Pedagogical Institute of Irkutsk State University

IMPLEMENTATION OF COMPETENCY APPROACH IN TRAINING OF STUDENTS, FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS

Abstract

The paper contains the results of the study on the possibilities of forming competences during the teachers training process. Specific features of the formation of special professional competence for students, future teachers of mathematics during the study of the "Mathematical Analysis" discipline are described. The specifics of formation of a special professional competence is described based on the example of the content of one of the sections of the «Investigation and construction of curves» discipline defined parametrically, characteristics of descriptors (attributes of mastering competences) are described and the scale of their formation is shown as well.

Keywords: competence approach; competence; signs of mastering the competence; future teacher of mathematics.

Учитывая направленность современных образовательных программ высшего профессионального образования на государственные образовательные стандарты третьего поколения, преподавателю высшей школы необходимо продумывать реализацию требований стандартов в преподавании дисциплин [1]. В частности требуется учитывать не только специфику обучения предметным знаниям, умениям и навыкам, но и особенности формирования у студентов профессиональных (ключевых, базовых и профильных) компетенций [2], [3].

Формирование компетенций в рамках отдельных учебных дисциплин для различных специальностей требует учета специфики последних, обоснованного выбора методов педагогического взаимодействия и содержания учебного материала [4], [5]. В данной статье пойдет речь о формировании специальных предметных математических компетенций студентов – будущих учителей математики обучающихся по направлению 44.03.01 «Педагогическое образование».

Студенты указанного направления изучают содержание различных дисциплин, ключевой среди которых является дисциплина «Математический анализ», которая (согласно требованиям образовательных стандартов и учебных планов) должна содействовать формированию у студентов таких специальных предметных компетенций как:

• − СПК 1: «владеет основными положениями фундаментальных и прикладных разделов математики»;
• − СПК 2: «способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными разделами математики, владеет системой основных математических структур»;
• − СПК 4: «владеет методологией и методикой построения математических методов решения теоретических и практических задач»;
• − ОК 3: «способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве» [1].

Овладение перечисленными компетенциями подразумевает, что будущий учитель математики:

• − становится способным обосновывать, преобразовывать и применять основные определения, утверждения и правила фундаментальных и прикладных разделов математики;
• − демонстрирует умение самостоятельно строить математические модели для решения типовых теоретических и практических задач, преобразовывать основные виды математических моделей в соответствии с определенными целями, интерпретировать основные виды математических моделей в заданном контексте в соответствии с определенными целями [6], [7], [8], [9].

И одним из актуальных, остро стоящих перед преподавателем высшей школы в настоящее время вопросов является вопрос перехода от привычного подхода к оценке знаний, умений (в идеале – и навыков) студентов, к оценке результатов обучения, носящих методический, надпредметный, интегративный характер, то есть к оценке сформированности именно компетенций.

Как показывает теоретический анализ исследований реализации компетентностного подхода в высшей школе и практической опыт его внедрения с учетом реализации ФГОС, общий подход к разработке оценочных средств для оценивания сформированности специальных предметных компетенций должен заключаться в разработке показателей, критериев-дескрипторов и шкал оценки сформированности компетенции. При этом под показателем нами понимается обобщенная характеристика оценивания компетенции, а под критериями-дескрипторами – признак, основание для принятия решения по оценке сформированности компетенции. Четкое выделение дескрипторов позволяет, на наш взгляд, в достаточной мере отслеживать уровень компетенции студента. В то же время, ориентируясь на выделенные дескрипторы, преподаватель должен максимально точно наполнять содержанием занятия по темам дисциплин и формировать соответствующие фонды оценочных средств.

Опишем авторский подход к выделению дескрипторов компетенции СПК 4 на примере раздела «Исследование и построение кривых, заданных параметрически» дисциплины «Математический анализ», для изучения бакалаврами – будущими учителями математики.

Специфика специальной предметной математической компетенции СПК 4 заключается в том, что в результате освоения дисциплины студент имеет представление о сущности понятия «математическая модель»; знает примеры существующих математических моделей и принципы их построения; умеет строить математические модели для решения теоретических и практических задач, интерпретировать математические модели в  заданном контексте; имеет навыки преобразования основных видов математических моделей в соответствии с определенными целями; владеет опытом построения математических моделей для решения типовых теоретических и практических задач, интерпретации основных видов математических моделей в  заданном контексте в соответствии с определенными целями.

Общий подход к оцениванию сформированности компетенции СПК 4, на наш взгляд, предполагает, что для каждого раздела каждой из изучаемых математических дисциплин, составляется ориентировочная основа (см. табл. 1), наполненная соответствующим содержанием, в зависимости от специфики дисциплины.

Таблица 1 – Признаки сформированности у студентов – будущих учителей математики СПК 4 при изучении разделов математического анализа

Характеристика дескрипторов компетенции СПК 4, с учетом дескрипторного состава	Оценка уровней сформированности компетенции
Дескриптор 1. Знает теоретическую основу действий, заложенных в основу формирования математической модели* (формулировки основных определений, правил и других теоретических положений определенного раздела дисциплины, определяющих способы выполнения конкретно определенных операций); распознает известные математические модели.   Дескриптор определяется способностью формулировать и конкретизировать основные определения, утверждения и правила изучаемого раздела.	Базовый (начальный) уровень – определяется способностью распознавать и называть вид математической модели (известной ранее), называть существенные признаки основных понятий изучаемого раздела, определять (называть) стандартные математические действия, формулировать стандартные выводы, воспроизводить теорию стандартных алгоритмов выполняемых действий для описания математической модели. Продвинутый уровень – определяется способностью самостоятельно выбирать способ представления процесса и результата исследования математической модели, самостоятельно анализировать и конкретизировать формулировки теоретических положений в соответствие с четко сформулированными целями в стандартных ситуациях, способностью формулировать обобщения (гипотезы) и дедуктивные следствия из суждений; самостоятельно выбирать математические средства для решения сформулированных задач. Повышенный уровень – определяется способностью обосновывать и разъяснять теоретические выкладки с учетом возможностей их применения к решениям нестандартных заданий раздела, а также заданий прикладной направленности; определять рациональность использования того или иного конкретного метода для решения данной математической задачи.
Дескриптор 2. Умеет выполнять действия, заложенные в основу формирования математической модели в соответствии со сформулированными правилами; умеет описывать свойства распознанной математической модели.   Дескриптор определяется выраженностью умений обосновывать, преобразовать и применять основные определения, утверждения и правила изучаемого раздела	Базовый (начальный) уровень – определяется способностью преобразовывать стандартные математические выражения (в рамках исследования свойств заданной математической модели) по основным правилам. Продвинутый уровень – определяется способностью самостоятельно выбирать способ выполнения действий; интерпретировать математические действия; описывать математические модели, самостоятельно строить математические объекты Повышенный уровень – определяется способностью демонстрировать значительный опыт построения интерпретаций математических выражений в различных предметных областях и практике; критически осмысливать продуктивность, рациональность, эффективность выбранного способа выполнения действий, в том числе для решения нестандартных заданий раздела, а также заданий прикладной направленности, а так же
	способностью преобразовывать нестандартные математические выражения, заложенные в основе описания математической модели.
Дескриптор 3. Владеет приемами интерпретации математических моделей в заданном контексте в соответствии с определенными целями; имеет навыки самостоятельного построения математических моделей и описания их свойств.   Дескриптор определяется способностью аргументировано и методически применять знания и умения к решению прикладных заданий с учетом методической направленности образовательной деятельности.	Базовый (начальный) уровень – определяется начальными навыками интерпретирования математических моделей в заданном контексте в соответствии с определенными целями. Продвинутый уровень – определяется способностью анализировать ошибки и делать выводы, выстраивая и интерпретируя математические модели в заданном контексте стандартных ситуаций в соответствии с определенными целями. Продвинутый уровень – определяется способностью безошибочно интерпретировать математические модели в контексте нестандартных ситуаций (в том числе заданий прикладной направленности) в соответствии с определенными целями; применять методы построения моделей математических и профессиональных задач с использованием компьютерных технологий, применять нестандартное программное обеспечение для демонстрации результатов исследований математических моделей.

Примечание: ^* – согласно традиционной трактовке требований образовательных стандартов, преподаватель ориентируется на знания и умения обучающегося студента.

Отметим, что в настоящее время большинству исследований присуще описание обобщенных подходов к оценке сформированности тех или иных предметных компетенций студентов. Поэтому видится актуальным и методически полезным разобрать возможности приложения описания предложенного подхода к оценке сформированности компетенции при обучении содержанию конкретной математической дисциплины, на примере раздела «Исследование и построение кривых, заданных параметрически» дисциплины «Математический анализ» (см. табл. 2).

Исследованию и построению кривых, заданных параметрически, как правило, не удается уделять много внимания. Ввиду этого работа с параметрическими кривыми и их графиками в курсе математического анализа может вызывать затруднения у большинства студентов. Поэтому целесообразно организовывать процесс изучения студентами содержания раздела «Исследование и построение кривых, заданных параметрически» в виде смешанных лекционно-практических тематических занятий.

Одной из первых тем раздела традиционно выступает «Область определения, область значений функции, интервалы знакопостоянства, симметрия и точки пересечения с осями координат» [10]. Целью ее изучения становится формирование умений студентов находить области определения и значений кривых, заданных параметрически, отслеживать интервалы знакопостоянства, определять симметрию и точки пересечения с осями координат, что и определяет содержание предметной компетенции.

Таблица 2 – Признаки сформированности СПК 4 при изучении темы «Область определения, область значений функции, интервалы знакопостоянства, симметрия и точки пересечения с осями координат»

Характеристика дескрипторов	Шкала оценки сформированности компетенции
Дескриптор 1. Знает теоретическую основу действий, заложенных в основу формирования математической модели: – способы задания функций и принцип распознавания функций, заданных параметрически; – идеи нахождения областей определения и значений функции, заданной параметрически; – принцип нахождения точек пересечения с осями координат, интервалов знакопостоянства; – признаки нахождения расположения кривых в четвертях, признаки осей и центра симметрии и пр; – распознает известные (существующие) математические модели.	Базовый (начальный) уровень – распознавать вид представленной для изучения математической модели, назвать способ аналитического задания функции, называть существенные признаки основных понятий (область определения, область значений функции, интервалы знакопостоянства, симметрия и точки пересечения с осями координат), определять (называть) стандартные математические действия (принцип нахождения точек пересечения с осями координат, интервалов знакопостоянства и пр.), формулировать стандартные выводы, воспроизводить теорию стандартных алгоритмов выполняемых действий для описания свойств изучаемой математической модели. Продвинутый уровень – определяется способностью самостоятельно выбирать способ исследования конкретных свойств математической модели:  самостоятельно распознавать ситуацию применения того или иного приема  нахождения области значений конкретной функции; способностью формулировать предположения относительно рациональной последовательности действий по исследованию перечисленных свойств; способностью самостоятельно формулировать предположения относительно того – как асимптоты графиков могут облегчать нахождение областей значений и прочее. Повышенный уровень – определяется способностью обосновывать и разъяснять рациональность выполнения действий по исследованию функций в ином порядке, способностью интерпретировать – какие ранее изученные математические модели реальных процессов окружающего мира можно более рационально исследовать с применением рассматриваемых алгоритмов и пр.
Дескриптор 2. Умеет выполнять вновь определенные действия в соответствии со сформулированными правилами; умеет описывать свойства распознанной математической модели. В частности, умеет выполнять задания практической части: – найти область определения, допустимых значений, интервалы знакопостоянства кривой и найти точки пересечения с осями координат; – определять симметрию кривой.	Базовый (начальный) уровень – определяется способностью применять стандартные предписания по нахождению областей определения и областей значений для исследования функций; способностью проводить и рационализировать стандартные действия выявления интервалов знакопостоянства кривой и точек пересечения с осями координат, выявления симметрии кривой. Продвинутый уровень – определяется способностью самостоятельно выбирать способ выполнения действий для проведения исследований по нахождению областей определения и областей значений; интерпретировать математические действия – выполнять их в другой последовательности, с использованием самостоятельно изученные приемов; способностью применять самостоятельно полученные знания для решения заданий. Повышенный уровень – определяется способностью критически осмысливать продуктивность тех или иных приемов нахождения области определения и значений, определять рациональность и оценивать эффективность приемов нахождения областей определения и значений, предлагать и осуществлять исследования изучаемых свойств в рациональной последовательности, для решения нестандартных заданий раздела и для заданий прикладной направленности.
Дескриптор 3. Владеет приемами интерпретации математических моделей в заданном контексте в соответствии с определенными целями; имеет навыки самостоятельного построения математических моделей и описания их свойств.	Базовый (начальный) уровень – определяется навыками интерпретирования математических моделей в заданном контексте (например, описание случаев, в которых изученное свойство пригождалось для исследования математической модели, случаев, когда не выявленное свойство приводило к ошибке исследования и пр.). Продвинутый уровень – определяется способностью анализировать ошибки и делать выводы, выстраивая и интерпретируя математические модели в заданном контексте стандартных ситуаций в соответствии с определенными целями. Продвинутый уровень – определяется способностью безошибочно интерпретировать математические модели в контексте нестандартных ситуаций (в том числе демонстрировать выявленное свойство с применением компьютерных технологий).

 

Сформированность компетенции СПК 4 определяется по итогу отслеживания всех дескрипторов по каждой из тем раздела: касательные и особые точки кривой, заданной параметрически; интервалы монотонности и экстремумы функции; выпуклость и точки перегиба, двойные точки и асимптоты кривой.  В завершение процесса усвоения содержания раздела проводится систематизация и обобщение знаний студентов в ходе проведения полных исследований кривых (на выявление всевозможных свойств с целью построения графиков).

Отметим, что условия по формированию компетенции СПК 4, создаваемые на занятиях по дисциплине «Математический анализ», позволяют достигать полноценного формирования у студентов понятий, умений и навыков, предусмотренных требованиями образовательного стандарта. У студентов возникает объективная возможность разбираться в прикладных аспектах изучаемых разделах, а также приобретать исследовательские умения и навыки научной деятельности.

Список литературы / References

1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 44.03.01 «Педагогическое образование» [Электронный ресурс] // http:// www.edu.ru/abitur/act.82/index.php# (дата обращения: 28.04.2015).
2. Гаврилова М.И. Становление компетентностного подхода в системе высшего образования / М.И. Гаврилова, И.Н. Одарич // Вектор науки ТГУ. Серия: Педагогика и психология. – 2014. – №4(19). – С.125-128.
3. Хуторской А.В. Технология проектирования компетенций / А.В. Хуторской // ОБЖ. Основы безопасности жизни. – М.: Русский журнал. – 2014. – №3. – С.35-42.
4. Артемьева С.В. Методические особенности изложения темы «Интегрирование иррациональных дробей» в содержании дисциплин «Математика и математический анализ» / С.В. Артемьева, Т.С. Курьякова // Педагогика высшей школы: международный научный журнал. – 2016. – №1(04). – С.45–48.
5. Артемьева С.В. О формировании одной из специальных профильных компетенций на занятиях дисциплины «Теория вероятностей» при обучении бакалавров – будущих учителей математики / С.В. Артемьева, Т.С. Курьякова // Современное состояние и перспективы развития психологии и педагогики: сб. статей Междунар. науч.-практ. конф. Уфа. – 2014. – С.16–20.
6. Шайденко Н.А. Формирование профессиональных компетенций учителя в системе непрерывного педагогического образования / Н.А. Шайдаренко, А.Н. Сергеев // Педагогическое образование и наука. – 2008. – №6. – С.4-8.
7. Хуторской А.В. Компетентность как дидактическое понятие: содержание, структура и модели конструирования / А.В. Хуторской, Л.Н. Хуторская // Проектирование и организация самостоятельной работы студентов в контексте компетентностного подхода. Межвузовский сборник научных трудов. Вып.1. – 2014. – С.168-196.
8. Сергеев Г.А. Компетентность и компетенции в образовании / Г.А. Сергеев. – Владимир: Изд-во Владимирского гос. ун-та, 2010. – 107 с.
9. Сивицкая Л.А. Реализация компетентностного подхода в высшей школе: дефициты методической готовности преподавателей / Сивицкая Л.А., Смышляева Л.Г., Смышляев А.В. // Вестник Томского государственного педагогического. университета.  – 2010. – №. 12 (102). – С. 52–55.
10. Павлюченко Ю.В. Графики функций: параметрическое задание / Ю.В. Павлюченко. – М.: Изд-во РУДН, 1997. – 186 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Federalnyi gosudarstvennyi obrazovatelnyi standart vysshego obrazovaniia po napravleniiu podgotovki 44.03.01 “Pedagogicheskoe obrazovanie” [Federal state educational standard of higher education in the field of preparation 44.03.01 “Pedagogical education” [Elektronnyi resurs] [Electronic resours] // http:// www.edu.ru/abitur/act.82/index.php# (data obrashcheniia [date of the application]: 28.04.2015) [in Russian]
2. Gavrilova M. I. Stanovlenie kompetentnostnogo podkhoda v sisteme vysshego obrazovaniia [Formation of the competence approach in the system of higher education] / M. I. Gavrilova, I. N. Odarich // Vektor nauki TGU. Seriia: Pedagogika i psikhologiia. [Vector of science TSU. Series: pedagodgy and psychology] - 2014. = № 4(19). – P. 125-128. [in Russian]
3. KHutorskoi A. V. Tekhnologiia proektirovaniia kompetentsii [Technology of competence design] / A. V. KHutorskoi // OBZH. Osnovy bezopasnosti zhizni [BLS. Basis of life safety]. – M.: Russkii zhurnal. - 2014. - №3. – P.35-42. [in Russian]
4. Artemeva S. V. Metodicheskie osobennosti izlozheniia temy “Integrirovanie  irratsionalnykh drobei” v soderzhanii distsiplin “Matematika i matematicheskii analiz” [Methodical features of the presentation of the topic "Integration of irrational fractions" in the content of the disciplines "Mathematics and mathematical analysis"] / S. V. Artemeva, T. S. Kuriakova // Pedagogika vysshei shkoly: mezhdunarodnyi nauchnyi zhurnal [Pedagogy of higher education: an international scientific journal. -  2016. - №1 (04). – P.45 – 48. [in Russian]
5. Artemeva S. V. O formirovanii odnoi iz spetsialnykh profilnykh kompetentsii na zaniatiiakh distsipliny “Teoriia veroiatnostei” pri obuchenii bakalavrov - budushchikh uchitelei matematiki [On the formation of one of the special profile competencies in the lessons of the discipline "Theory of Probability" in the training of bachelors - future mathematics teachers] / S. V. Artemeva, T. S. Kuriakova // Sovremennoe sostoianie i perspektivy razvitiia psikhologii i pedagogiki: sb. statei Mezhdunar. nauch. –prakt. konf. [Current state and development prospects of psychology and pedagogy: collection of articles of an international scientific-practical conference] Ufa. – 2014. – P.16-20. [in Russian]
6. SHaidenko N. A. Formirovanie professionalnykh kompetentsii uchitelia v sisteme nepreryvnogo pedagogicheskogo obrazovaniia [Formation of the teacher's professional competences in the system of continuous teacher education] / N. A. SHaidarenko, A. N. Sergeev // Pedagogicheskoe obrazovanie i nauka [Pedagogical education and science]. – 2008. - №6. – P.4-8. [in Russian]
7. KHutorskoi A. V. Kompetentnost kak didakticheskoe poniatie: soderzhanie, struktura i modeli konstruirovaniia [Competence as a didactic concept: content, structure and design models] / A. V. KHutorskoi, L. N. KHutorskaia // Proektirovanie i organizatsiia samostoiatelnoi raboty studentov v kontekste kompetentnostnogo podkhoda. Mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov. Vyp. 1 [Designing and organization of independent work of students in the context of competence approach. Interuniversity collection of scientific works. Edition 1]. – 2014. – P. 168-196. [in Russian]
8. Sergeev G.A. Kompetentnost i kompetentsii v obrazovanii [Competence and competences in education] / G. A. Sergeev. – Vladimir: Izdatelstvo Vladimirskogo gos. univeriteta, 2010. – 107 p. [in Russian]
9. Sivitskaia L. A. Realizatsiia kompetentnostnogo podkhoda v vysshei shkole defitsity metodicheskoi gotovnosti prepodavatelei [Implementation of the competence approach in higher education: deficiencies in the methodical readiness of teachers] / Sivitskaia L. A., Smyshliaeva L. G., Smyshliaev A. V. // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta [ Tomsk State Pedagogical University Bulletin]. – 2010. -  №.12 (102). – P. 52 – 55.  [in Russian]
10. Pavliuchenko IU. V. Grafiki funktsii parametricheskoe zadanie [Function graphs: parametric assignment] / IU. V. Pavliuchenko. – M.: Izd-vo RUDN, 1997. – 186 p. [in Russian]