Статья посвящена моделированию влияния внешних шоков на экономику. Особое внимание уделяется проблеме преодоления последствий внешних шоков. В статье представлена экономико-математическая модель в виде нелинейной дискретной системы четвертого порядка, которая позволяет имитировать и анализировать возможные сценарии экономического развития с учетом воздействия внешних шоков. При разработке этой модели были использованы математические методы современной теории управления хаосом. С помощью полученной модели на основе реальных статистических данных построен сценарий восстановления экономического роста России после воздействия антироссийских санкций, введенных западными странами. Научная и практическая ценность этой модели заключается в том, что она дает возможность определять точные сроки и затраты, необходимые для восстановления и стабилизации экономического роста.
1. Введение
В настоящее время разработано огромное количество экономико-математических моделей, которые вполне адекватно имитируют различные макроэкономические процессы в условиях отсутствия внешних шоков. Но современный период времени характеризуется очень высокой турбулентностью. Постоянно возникают финансовые пузыри, эпидемии заразных болезней, военные конфликты, экономические санкции и т.д. В таких условиях наиболее востребованными становятся экономико-математические модели, учитывающие воздействие внешних шоков. Актуальность разработок таких моделей обусловлена: во-первых, необходимостью построения адекватных прогнозов возникновения кризисов; во-вторых, необходимостью моделирования возможных сценариев экономического развития в кризисных условиях; в-третьих, необходимостью выработки конкретных и математически обоснованных антикризисных мер. Математическому моделированию экономики в условиях кризиса посвящено множество научных трудов отечественных и зарубежных ученых. Математические модели развития экономических кризисов и обзоры таких моделей содержатся, например, в работах [1], [2], [4], [5].
В данной статье будет предложена математическая модель, позволяющая имитировать влияние на экономику внешних шоков, а также способная генерировать антикризисные меры по восстановлению экономического роста и преодолению последствий негативных шоков. Разработка такой модели базируется на современных методах из теории управления хаосом. Практическое применение этой модели будет продемонстрировано на примере российской экономики в условиях введения антироссийских санкций со стороны западных государств. Данная работа является дополнением к экономико-математическому моделированию, проведенному в статье [6].
2. Основные результаты
В работах А.А. Акаева [7], [8, С.46] предложена экономико-математическая модель циклических колебаний деловой активности вокруг трендовой траектории макроэкономического роста
[LATEX_FORMULA]\frac{d^2y}{dt^2}+[\lambda+k-\lambda k\nu-\lambda(1-s)\frac{\beta}{\gamma}+\frac{4}{3}\lambda k\nu^3(\frac{dy}{dt})^2]\frac{dy}{dt}+\lambda k[1-\frac{s(1-s)}{k}i]y=F(t)[/LATEX_FORMULA]
Здесь [LATEX_FORMULA]y=Y-\overline{Y}[/LATEX_FORMULA] , где [LATEX_FORMULA]Y[/LATEX_FORMULA]- текущий объем выпуска продукции (текущий уровень ВВП), [LATEX_FORMULA]\overline{Y}[/LATEX_FORMULA] - уровень выпуска, соответствующего трендовой траектории долгосрочного экономического роста. Нелинейное дифференциальное уравнение (1) содержит параметры: [LATEX_FORMULA]\lambda[/LATEX_FORMULA] - скорость реакции запаздывания предложения от спроса, [LATEX_FORMULA]k[/LATEX_FORMULA] - скорость реакции запаздывания фактических индуцированных капиталовложений от решения об инвестициях, [LATEX_FORMULA]\nu[/LATEX_FORMULA] - мощность акселератора, [LATEX_FORMULA]s[/LATEX_FORMULA] - коэффициент сбережений, [LATEX_FORMULA]\beta[/LATEX_FORMULA] - эластичность выпуска по труду, [LATEX_FORMULA]\gamma[/LATEX_FORMULA] - параметр Оукена, [LATEX_FORMULA]i[/LATEX_FORMULA] - норма процента, [LATEX_FORMULA]F(t)[/LATEX_FORMULA] - функция независимых автономных инвестиций.
В модели Акаева (1) предполагается цикличность функции [LATEX_FORMULA]F(t)[/LATEX_FORMULA]. В этой связи полагаем [LATEX_FORMULA]F(t)=qu(t)+p[/LATEX_FORMULA], где функция [LATEX_FORMULA]u(t)[/LATEX_FORMULA] является периодическим решением дифференциального уравнения
коэффициенты p, q, μ, ω - действительные числа.
После ввода обозначений
уравнение (1) принимает вид
Тогда экономико-математическую модель Акаева можно представить следующим образом:
[LATEX_FORMULA] \begin{cases} y''=-ay'-b(y')^3-cy+qu+p\\u''=-\omega^2u+\mu \end{cases}[/LATEX_FORMULA]
В целях моделирования влияния внешних шоков на экономику дополним систему (2) «шоковым генератором». За основу возьмем функцию, применяемую в системе Чуа [9]:
Эта функция имеет скачкообразный график и выполняет роль возбудителя хаотических колебаний в осцилляторе Чуа.
График функции g(x)
С математической точки зрения в качестве генератора шоковых воздействий на динамику ВВП целесообразно использовать функцию вида
[LATEX_FORMULA]G(y)=\delta-\varepsilon g(y)[/LATEX_FORMULA]
Такая функция и варьирование ее параметрами дает возможность моделировать процессы резкого падения объемов ВВП.
В результате дополнения системы (2) «шоковым генератором» (3) получаем следующую модель:
[LATEX_FORMULA] \begin{cases} y''=-ay'-b(y')^3-cy+qu+p+\delta-\varepsilon g(y)\\u''=-\omega^2u+\mu \end{cases}[/LATEX_FORMULA]
Представим систему (4) в эквивалентной форме
[LATEX_FORMULA]\begin{cases} y'=z\\z'=-az-bz^3-cy+qu+p-\varepsilon (\frac{1}{2}(|y+1|-|y-1|))+\delta\\u'=\nu\\ \nu'=-\omega^2u+\mu \end{cases}[/LATEX_FORMULA]
В качестве реального примера рассмотрим 5-летнюю выборку статистических данных по ежеквартальным объемам ВВП для России [10].
Ежеквартальные объемы ВВП России и линейный тренд
С помощью метода наименьших квадратов находится линейный тренд для ВВП:
[LATEX_FORMULA]\overline{Y}(j)=581,58j+21661[/LATEX_FORMULA]
Коэффициент корреляции между [LATEX_FORMULA]Y[/LATEX_FORMULA] и [LATEX_FORMULA]\overline{Y}[/LATEX_FORMULA] составляет 0,78. На рисунке 3 представлен график для [LATEX_FORMULA]y=Y-\overline{Y}[/LATEX_FORMULA].
Траектория y
Из рисунка 3 видно, что на всем промежутке времени с периодичностью в 4 квартала наблюдаются волны однообразной формы, но различной амплитуды. Для этих волн вычислим среднеарифметические значения локальных минимумов и локальных максимумов (на рисунке 3 обозначены маркером):
Можно говорить, что у обнаруженных 4-квартальных волн усредненный диапазон колебаний составляет от m до M.
В целях моделирования прогнозов по ВВП будем рассматривать систему (5) в качестве базовой. Поскольку мы оперируем дискретными значениями статистики по ВВП, то для моделирования целесообразно перейти от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям. Тогда экономико-математическая модель (5) преобразуется в дискретную систему уравнений:
[LATEX_FORMULA]\begin{cases} y_{j+1}=y_j+z_j\\z_{j+1}=(1-a)z_j-bz^3_j-cy_j+qu_j+p-\varepsilon(\frac{1}{2}(|y_j+1|-|y_j-1|))+\delta\\u_{j+1}=u_j+\nu_j\\ \nu_{j+1}=\nu_j-\omega^2u_j+\mu; j= 0, 1, 2, ... \end{cases}[/LATEX_FORMULA]
Покажем, что дискретная система (7) является эффективным инструментом при моделировании циклических процессов в экономике. Из выше изложенного следует, что интерес представляют циклы с периодом 4 квартала. В результате компьютерного эксперимента были подобраны численные значения параметров системы (7):
a = – 0,342597034252971; b = 0,0907420833610221; c = 3,21038961779472;
q = 1,0078742776071; p = 0,187612805894636; ε = – 3,62362849104171;
δ = 0,492492830231972; ω = 9,99761746105592; μ = 3,00408740862221.
Для нелинейной системы (7) с помощью приближенных методов была найдена периодическая орбита с периодом 4, имеющая следующие координаты:
Важно отметить, что для нахождения этого 4-цикла потребовалось вычислить все его координаты с точностью до 15-го знака после запятой, поскольку решения системы (7) сверх чувствительны к изменениям коэффициентов и начальных данных.
Верификацию полученной модели осуществим с использованием реальных статистических данных по ВВП России [10]. Подберем нормировочные коэффициенты A и B так, чтобы периодическая траектория [LATEX_FORMULA]A\widetilde{y}_j+B[/LATEX_FORMULA] колебалась в диапазоне от m до M. В результате вычислений получили
и тогда 4-х квартальные циклы, адаптированные к реальной динамике ВВП, моделируются по формуле
[LATEX_FORMULA]\widetilde{Y}_j=949,82\widetilde{y}_j-1233,89[/LATEX_FORMULA]
Фактическая траектория y и смоделированная по формуле (8) периодическая траектория
Коэффициент корреляции между смоделированными значениями [LATEX_FORMULA]\widetilde{Y}_j[/LATEX_FORMULA] и реальными показателями ВВП [LATEX_FORMULA]y_j[/LATEX_FORMULA] равен 0,74 и является статистически значимым, так как по критерию Стьюдента Тнабл =4,67 > 2,88= Ткрит при уровне значимости α=0,01. Следовательно, дискретная система (7) вполне адекватно моделирует динамику ВВП.
По многочисленным экспертным оценкам, в 2022 году ВВП России может существенно снизиться в результате западных санкций, направленных против российской военной спецоперации на Украине. Например, Центральный банк России [11] прогнозирует это снижение на уровне 8%, а рейтинговое агентство Moody's [12] оценивает годовое падение российского ВВП в размере 7%. В этой связи осуществим моделирование влияния санкционного внешнего шока на возможное падение ВВП России в 2022 году.
Покажем, что за счет варьирования параметров модель (7) способна генерировать сценарии кризисного развития экономики в результате воздействия негативных внешних шоков. Встроенный в модель (7) «шоковый генератор» (3) выполняет роль источника возникновения негативной динамики, а коэффициенты ε и δ являются инструментами настройки в процессе моделирования кризисных явлений.
За счет варьирования параметров ε и δ смодулируем влияние санкционного внешнего шока на динамику российского ВВП. Как отмечалось выше, система (7) очень чувствительна к изменениям своих параметров. Если к значениям коэффициентов ε и δ добавить малые приращения Δε=–0,00000000198 и Δδ=–0,00000000099 , то система (7) генерирует новое решение [LATEX_FORMULA]y^*_j[/LATEX_FORMULA] , которое с учетом верификационных коэффициентов моделирует новую траекторию [LATEX_FORMULA]Ay^*_j+B[/LATEX_FORMULA]. Рисунок 5 демонстрирует, что у полученной траектории [LATEX_FORMULA]Ay^*_j+B[/LATEX_FORMULA] периодичность со временем прекращается и переходит в убывание, то есть возникает убывающая динамика ВВП, означающая экономический кризис.
Фактическая траектория y и смоделированная кризисная траектория Ay*+B
Поскольку [LATEX_FORMULA]y=Y-\overline{Y}[/LATEX_FORMULA], то получаем формулу для прогнозирования кризисной динамики ВВП:
Ежеквартальные объемы ВВП России и кризисный прогноз на 2022 год
Согласно кризисному прогнозу, смоделированному системой (7), в 2022 году ВВП России снизится на 7,62%, что соответствует прогнозам Центрального банка России [11] и рейтингового агентства Moody's [12].
Государство заинтересовано в преодолении кризиса, восстановлении экономического роста и возвращении экономики в устойчивый режим развития. С математической точки зрения устойчивому режиму соответствует стационарная (неподвижная) точка системы (7). Для нахождения неподвижной точки решается система
Отсюда неподвижная точка [LATEX_FORMULA]\omega_\#[/LATEX_FORMULA] системы (7) имеет координаты
где
является корнем уравнения
В целях моделирования способа преодоления ожидаемой негативной динамики ВВП осуществим модификацию модели (7), используя результаты из современной теории управления хаосом. Введем обозначения
и запишем систему (7) в векторной форме:
[LATEX_FORMULA]w(j+1)=F(w(j)); j\in\{0, 1, 2, ...\},[/LATEX_FORMULA]
где
Поскольку государство заинтересовано в стабильном и устойчивом развитии экономики, то возникает необходимость подавления возможных негативных сценариев. Этого можно добиться за счет применения функции управления U(j) и использования модифицированной системы
[LATEX_FORMULA]w(j+1)=F(w(j))+U(j); j\in\{0, 1, 2, ...\}[/LATEX_FORMULA]
Покажем, что с помощью математических методов современной теории управления хаосом можно сконструировать функцию управления U(j), которая дает возможность эффективно преодолевать влияние внешних шоков и позволяет стабилизировать положительную динамику экономического развития.
Если совершить линеаризацию системы (9) в окрестности найденной неподвижной точки w# с координатами w1#=y#, w2#=z#, w3#=u#, w4#=v#, а затем применить метод Пирагаса [13], то получим модифицированную систему (10), где U(j) является функцией управления, предназначенной для стабилизации поведения решений системы.
На основании результатов работ [14], [15] по стабилизации дискретных систем, получим функцию управления следующего вида:
[LATEX_FORMULA]U(j)-F(w_\#)-F(w(j))+A(w_\#)[w(j)-w_\#]+P(j)[w(j)-w(j-1)][/LATEX_FORMULA]
Здесь
– периодичная матрица следующего вида:
[LATEX_FORMULA]P(j) = \begin{cases} (rE - A^2 (w_\#))(A(w_\#)-E)^{-1}, j =2k \\ O,j\neq2k,k\in\{1,2,...\} \end{cases}[/LATEX_FORMULA]
где [LATEX_FORMULA]-1<r<1[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]E[/LATEX_FORMULA]– единичная матрица, [LATEX_FORMULA]O[/LATEX_FORMULA]– нулевая матрица, [LATEX_FORMULA]A(w_\#)[/LATEX_FORMULA] – матрица Якоби, [LATEX_FORMULA]w_\#[/LATEX_FORMULA] – неподвижная точка.
Для рассматриваемой вектор-функции F(w) матрица Якоби имеет следующий вид:
Сконструированная система (10) дает возможность моделировать преодоление кризиса и последующий процесс стабилизации, в результате которой формируется устойчивый режим. На рисунках 7 и 8 представлены смоделированные процессы по устранению последствий санкционного внешнего шока и по стабилизации экономической динамики.
Фактическая траектория y , прогнозируемая кризисная траектория Ay*+B и смоделированная траектория преодоления кризиса Aw1(j)+B
Ежеквартальные объемы ВВП России, кризисный прогноз на 2022 год и смоделированное восстановление роста ВВП
Смоделированные процессы получены в результате решения системы (10) с начальными условиями
С учетом верификационных коэффициентов формула для моделирования восстановления роста ВВП имеет вид:
Разработанная модель (10)–(12) является не только инструментом эффективного и адекватного прогнозирования. Основное достоинство этой модели заключается в том, что она дополнительно дает возможность практического управления динамикой ВВП в целях стабилизации экономического развития. Сконструированная система (10) позволяет моделировать процесс стабилизации за счет функции управления (11). Полученные в явном виде аналитические формулы (11)–(12) позволяют определять размеры и время проведения упреждающих корректировок. На рисунке 9 показана динамика корректирующих операций, направленных на стабилизацию экономического развития.
Смоделированная функция экономического управления U1(j)
Из рисунка 9 видно, что график для функции управления имеет импульсообразную форму с затухающей амплитудой. Это указывает на то, что оперативные меры по упреждению кризисных явлений имеют точечный характер и их необходимо активно проводить в начальный период, после чего эти меры постепенно сокращаются до нуля. Положительные значения функции управления указывают на необходимость проведения увеличительных мероприятий, а отрицательные значения сигнализируют о необходимости осуществления уменьшительных действий. График функции U1 моделирует поквартальные объемы государственных вложений и частных инвестиций в производственный сектор экономики, которые требуются для восстановления роста ВВП.
В результате верификации, проведенной на основе статистических данных [10] и итогов моделирования, получили поквартальные значения для объемов дополнительных инвестиций, необходимых для преодоления санкционного шока и обеспечения экономического роста. Эти значения сведены в Таблицу 1, которая по сути является графиком проведения превентивных антикризисных мер.
Дополнительные инвестиции в экономику
(млрд. руб.) | |
I квартал 2022г. | 0 |
II квартал 2022г. | 0 |
III квартал 2022г. | 8799,38 |
IV квартал 2022г. | 0 |
I квартал 2023г. | 879,94 |
II квартал 2023г. | 0 |
III квартал 2023г. | 87,99 |
IV квартал 2023г. | 0 |
При расчете требуемых объемов инвестиций использовался инвестиционный мультипликатор, который по оценкам экспертов Института стратегического анализа [16] составляет 2,55, то есть в России каждый рубль инвестиций в основной капитал приносит 2,55 рубля прироста ВВП. Из таблицы 1 следует, что для преодоления санкционного шока и обеспечения экономического роста требуется: в 2022 году дополнительно вложить в экономику 8,8 трлн. рублей, а в 2023 году еще 0,97 трлн. рублей.
3. Заключение
Разработанная модель (10)–(12) является не только инструментом эффективного и адекватного прогнозирования кризисной динамики, обусловленной воздействием внешних шоков. Ее основное достоинство заключается в том, что она осуществляет моделирование управленческих рекомендаций и превентивных мер, упреждающих негативную динамику экономического развития.
На основании полученных результатов можно сделать вывод, что для преодоления последствий внешних шоков и восстановления экономического роста необходимо своевременно осуществлять упреждающие корректирующие меры. Предложенная модель (10)-(12) может использоваться как вспомогательный инструмент для стабилизации экономического развития. Формулы (11)-(12) позволяют точно вычислять размеры и время для необходимых упреждающих корректировок. Таким образом, получен инструментарий по моделированию математически обоснованных управленческих мер, направленных на преодоление влияния внешних шоков и обеспечение экономического роста.
Разработанные в данной статье методы довольно удобны с практической точки зрения и легко адаптируются к текущим реалиям. Дискретная система (7) выполняет функцию имитационного моделирования и за счет варьирования параметров генерирует разнообразные сценарии. Модель (10) с управлением (11) позволяет проводить анализ возможностей, способствующих выводу экономической динамики на устойчивую траекторию роста. Полученная модель дает возможность предварительно оценить размеры управленческих решений, направленных на предотвращение кризисных тенденций. Поскольку с помощью формул (11)-(12) можно вычислить точные размеры и время для необходимых импульсообразных корректировок, то модель (10)-(12) может быть полезной при разработке и осуществлении мер, направленных на преодоление воздействия внешних шоков и стабилизацию экономического развития.
The additional file for this article can be found as follows:
Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI:
None
None