1. Введение
Эффект Холла является одним из основных инструментов исследования электрических свойств различных полупроводниковых материалов. Метод предполагает нанесение на исследуемый образец омических контактов и наличие магнитного поля. Используются две модификации: шестиконтактная геометрия, когда исследуемый образец представляет собой брусок в виде параллелепипеда, либо четырехконтактная геометрия (метод Ван дер Пау). Последний имеет то преимущество, что при проведении измерений можно использовать образец произвольной формы.
Применительно к материалу InSb эффект Холла используется давно и весьма успешно. Исследованиям электрофизических свойств InSb посвящено большое количество работ. Из ранних можно отметить работы [1], [2], [4], [6], к числу из более поздних относятся работы [7], [12], [17], [20]. Наиболее полно свойства антимонида индия описаны в обзоре [7], [8]. В работах [21], [22], [23], [24] исследуются свойства приборов на основе InSb. Анализ полученных данных позволяет получить важную информацию о параметрах зонной структуры материала, а также о зависимостях электрофизических параметров от температуры, индукции магнитного поля, давления и других внешних факторов. Тип электропроводности исследуемого образца обычно определяется по знаку коэффициента Холла: «минус» соответствует материалу n-типа, а «плюс» — материалу p-типа.
Следует отметить, однако, что это условие выполняется далеко не всегда. Известно (см., например [25], [26], [27]), что для образцов полупроводниковых материалов со значениями концентрации свободных носителей заряда (КСНЗ), близких к собственной, коэффициент Холла имеет знак «минус». Более того, за счет большой разницы в подвижностях электронов и дырок коэффициент Холла будет отрицательным даже тогда, когда концентрация дырок превышает электронную на порядок. Иначе говоря, по значению коэффициента Холла тип проводимости и значения КСНЗ определить не удается. Такой случай реализуется, например, для InSb при комнатной и более высоких температурах, когда в материале присутствуют носители заряда трех типов: электроны, легкие и тяжелые дырки, концентрации которых не могут быть определены традиционными холловскими методами.
На помощь здесь может прийти исследование зависимости коэффициента Холла от индукции магнитного поля, R(B), которая имеет характерный вид. В слабых полях коэффициент Холла отрицателен; при увеличении индукции магнитного поля R(B), оставаясь отрицательным, уменьшается по модулю, затем проходит через нуль и принимает положительные значения. Именно точка инверсии знака R(B) представляет наибольший интерес:
В настоящей работе впервые предложен алгоритм, в соответствии с которым, опираясь на точку инверсии, можно определить значения концентраций и подвижностей электронов и тяжелых дырок в антимониде индия при комнатной температуре. Этот результат крайне важен с прикладной точки зрения, поскольку упомянутые величины важнейшие характеристики любого полупроводникового материала [28], [29].
2. Методика эксперимента
Для проведения исследований методом Чохральского был выращен монокристалл антимонида индия, легированный германием (подробнее см [30]). Монокристалл был разрезан на пластины в направлении, перпендикулярном оси роста; диаметр пластин был близок к 50 мм. После резки пластины были обработаны в полирующем травителе для снятия нарушенного слоя. Итоговая толщина пластин, d, составляла (1,41–2,09) мм (см. Таблицу 1).
Параметры исследованных образцов
| №, п/п | d, мм | ρ, Ом×см | R, см³/Кл | , см³/Кл | , Тл | , см⁻³ (77K) | n, см⁻³ | , cm² / (B × c) | , cm² / (B × c) | |||||
| B, Тл | ||||||||||||||
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | |||||||||
| 1 | 2,09 | 0,0330 | -55,4 | -49,5 | -40,6 | -31,6 | -23,3 | -16,8 | -64,3 | 0,802 | 3,19×10¹⁷ | 1,40×10¹⁵ | 1,9×10⁴ | 510 |
| 2 | 1,46 | 0,0292 | -19,7 | -17,0 | -13,2 | -9,06 | -5,11 | -1,82 | -23,9 | 0,647 | 3,95×10¹⁷ | 1,14×10¹⁵ | 1,7×10⁴ | 510 |
| 3 | 1,41 | 0,0264 | -12,2 | -11,1 | -9,63 | -7,05 | -2,94 | -0,335 | -17,5 | 0,620 | 4,71×10¹⁷ | 9,46×10¹⁴ | 1,8×10⁴ | 470 |
| 4 | 1,41 | 0,0254 | -11,5 | -9,92 | -6,15 | -4,19 | -1,33 | +0,890 | -14,3 | 0,559 | 4,92×10¹⁷ | 7,52×10¹⁴ | 1,9×10⁴ | 470 |
| 5 | 1,41 | 0,0243 | -6,17 | -5,11 | -3,11 | -1,23 | +1,06 | +2,64 | -8,50 | 0,450 | 5,39×10¹⁷ | 8,21×10¹⁴ | 1,7×10⁴ | 460 |
| 6 | 1,46 | 0,0238 | -4,38 | -3,10 | -1,22 | +0,776 | +2,66 | +4,04 | -6,34 | 0,362 | 5,57×10¹⁷ | 7,98×10¹⁴ | 1,8×10⁴ | 450 |
| 7 | 1,41 | 0,0218 | -2,13 | -0,872 | +0,382 | +1,95 | +3,33 | +4,52 | -3,55 | 0,262 | 6,16×10¹⁷ | 7,21×10¹⁴ | 1,9×10⁴ | 440 |
| 8 | 1,46 | 0,0212 | -1,06 | +0,374 | +1,72 | +2,89 | +4,18 | +4,84 | -2,05 | 0,171 | 6,65×10¹⁷ | 6,68×10¹⁴ | 2,0×10⁴ | 420 |
Холловские измерения проводились с использованием стандартной четырехконтактной геометрии (метод Ван дер Пау). Контакты припаивались индием на плоскую поверхность пластины приблизительно по концам взаимно перпендикулярных диаметров. На держатель закреплялись два образца (по одному на каждую сторону); контактные проволочки припаивались к соответствующим площадкам держателя. Держатель в пенопластовом криостате, в который заливался жидкий азот, располагался в зазоре между полюсами электромагнита перпендикулярно направлению вектора индукции магнитного поля. Измерения проводились при комнатной температуре и температуре жидкого азота.
Удельное электрическое сопротивление измерялось в отсутствие магнитного поля; для определения коэффициента Холла использовались магнитные поля с индукцией В = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; и 0,6 Тл.
Поскольку коэффициент распределения германия в антимониде индия [LATEX_FORMULA]\approx[/LATEX_FORMULA] 0,012 [30], в процессе роста монокристалла большая часть легирующей примеси сосредоточилась внизу. Соответственно, для пластин, вырезанных из нижней части монокристалла, коэффициент Холла во всем диапазоне магнитных полей имел знак «плюс» и при комнатной температуре, и при температуре жидкого азота (электропроводность p-типа).
Наоборот, для пластин, вырезанных из верхней части монокристалла, коэффициент Холла при Т=295К имел знак «минус», причем наблюдалась сильная полевая зависимость R(B). При Т=77К коэффициент Холла имел знак «плюс» и практически не зависел от индукции магнитного поля.
Особый интерес представляли образцы, вырезанные из средней части монокристалла, для которых наблюдалась инверсия знака коэффициента Холла при комнатной температуре. Результаты измерений электрофизических параметров исследованных образцов представлены в Таблице 1.
2.1. Алгоритм расчета
Известно (см., например, [25]), что в случае наличия в образце свободных носителей заряда трех типов для зависимости коэффициента Холла от индукции магнитного поля, R(B), и удельного электрического сопротивления, r, справедливы следующие соотношения.
где
Здесь е = 1,6·10-19 Кл заряд электрона; pl, ph, n соответственно, концентрации легких дырок, тяжелых дырок и электронов; [LATEX_FORMULA]\mu_{1}, \mu_{h}, \mu_{n}[/LATEX_FORMULA] соответственно, их подвижности. Первое слагаемое характеризует вклад легких дырок, второе вклад тяжелых дырок, третье – вклад электронов.
Из формулы (2) видно, что коэффициент А при определенном соотношении входящих в него величин может обратиться в нуль.
Введем следующие упрощающие предположения.
Будем считать, что в интервале интересующих нас магнитных полей знаменатели у двух первых слагаемых в формуле (2) не зависят от магнитного поля, то есть выполняются условия слабых полей:
Эти предположения означают, что вклады в коэффициент Холла от легких и тяжелых дырок не зависят от магнитного поля (в дальнейшем необходимо будет проверить справедливость этого предположения).
Предположим, что нам известно значение коэффициента Холла, R0, то есть значение коэффициента Холла при В → 0 (может быть получено экстраполяцией зависимости R(B) к оси ординат). Тогда R0 может быть выражено в виде:
Пусть В0 значение индукции магнитного поля, при котором коэффициент А обращается в нуль см. формулу (2). Тогда, учитывая соотношение (4), формулу (7) можно преобразовать к виду (только в том случае, если выполняется условие (5)):
или:
(видно, что R0 < 0).
Такая форма записи удобна тем, что в формулу (9) входят только параметры электронов и не входят параметры легких и тяжелых дырок.
В результате получаем биквадратное уравнение относительно [LATEX_FORMULA]\mu_{\mathrm{n}}[/LATEX_FORMULA]:
где
Видно, что коэффициент С имеет размерность четвертой степени подвижности. В формуле (11) R0 берется в см3/Кл, n в см-3,[LATEX_FORMULA]\rho[/LATEX_FORMULA] в Ом·см, В0 в Тл.
Решением уравнения (10) будет выражение:
Ответ для [LATEX_FORMULA]\mu[/LATEX_FORMULA] получается в единицах м2/В·с
Таким образом, чтобы решить уравнение (10), необходимо определить значение n; значения R0, B0 и [LATEX_FORMULA]\rho[/LATEX_FORMULA] определяются непосредственно из эксперимента.
Значение n можно вычислить следующим образом. Определим сначала концентрацию тяжелых дрок при температуре жидкого азота, [LATEX_FORMULA]p_{h_{77}}[/LATEX_FORMULA] .При этой температуре коэффициент Холла положителен во всем интервале доступных нам магнитных полей (В ≤ 0,6 Тл), причем полевая зависимость практически отсутствует. В таком случае удобно использовать максимальное значение индукции магнитного поля Вмакс = 0,6 Тл, так как при этом и значение холловского сигнала будет максимальным.
В работе [31] отмечено, что при Т = 77К вклад в коэффициент Холла от легких дырок не превышает 8%. Учитывая это, для вычисления концентрации тяжелых дырок воспользуемся традиционной формулой:
Далее сделаем следующее упрощающее предположение. Будем считать, что концентрация тяжелых дырок не зависит от температуры, то есть [LATEX_FORMULA]p_{h_{77}}=p_{h_{295}}[/LATEX_FORMULA] (справедливость этого допущения проверим в дальнейшем). Тогда, зная ph, легко найти значение приведенного уровня Ферми, [LATEX_FORMULA]\eta=\frac{E_{F}}{k T}[/LATEX_FORMULA] , а по известному значению [LATEX_FORMULA]\eta[/LATEX_FORMULA] можно вычислить значение концентрации электронов, n (подробнее см. [32]).
Для удобства расчетов введем безразмерные параметры: [LATEX_FORMULA]\mathrm{U}_{1}=\frac{n}{p_{h}}[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\mathrm{U}_{2}=\frac{p_{I}}{p_{h}}[/LATEX_FORMULA] и параметр, имеющий размерность подвижности, [LATEX_FORMULA]\mu=\frac{1}{\rho e p_{h}}[/LATEX_FORMULA]. Тогда соотношение (4) примет вид:
Кроме того, поскольку уровень Ферми лежит в запрещенной зоне, будем считать, что интегралы Ферми близки между собой, а отношение [LATEX_FORMULA]\frac{p_{I}}{p_{h}}[/LATEX_FORMULA] определяется только коэффициентами, стоящими перед интегралами, то есть [LATEX_FORMULA]\mathrm{U}_{2}=\frac{2,676}{518,5}=5,16 \times 10^{-3}[/LATEX_FORMULA], и это значение одинаково для всех исследованных образцов (подробнее – см. [32]).
Предположим, что [LATEX_FORMULA]\mu_{1}=20 \mu_{h}[/LATEX_FORMULA] (оценка с завышением); тогда второе слагаемое будет равно [LATEX_FORMULA]\approx[/LATEX_FORMULA]10% от первого, и вкладом в проводимость от легких дырок мы в дальнейшем будем пренебрегать. Теперь, зная [LATEX_FORMULA]\mathrm{U}_{1} \mu_{\mathrm{n}}[/LATEX_FORMULA], легко вычислить значение [LATEX_FORMULA]\mu_{\mathrm{h}}[/LATEX_FORMULA].
Алгоритм определения значений подвижностей электронов и тяжелых дырок состоит в следующем.
1. Определяется значение удельного электрического сопротивления, [LATEX_FORMULA]\rho, \text { Ом х см }[/LATEX_FORMULA], при комнатной температуре.
2. Определяются значения коэффициента Холла в магнитных полях с индукцией В = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6 Тл при комнатной температуре.
3. Строится график зависимости коэффициента Холла от индукции магнитного поля, R(B), для Т = 295К.
4. Находится точка инверсии знака коэффициента Холла (R0 = 0) и отвечающее ей значение индукции магнитного поля, В0, Тл. Если значение В0 оказывается большим, чем Вмакс = 0,6 Тл, то В0 определяется экстраполяцией зависимости R(B) к оси абсцисс.
5. Определяется значение коэффициента Холла при температуре жидкого азота для В = 0,6 Тл, и вычисляется значение [LATEX_FORMULA]p_{h_{77}}[/LATEX_FORMULA], см-3, (см. формулу (13)).
6. Находится отвечающее этому значению ph значение n, см-3, для Т = 295К (см. выше) и вычисляется значение параметра U1.
7. Путем экстраполяции зависимости R(B) к оси ординат определяется значение R0, и с помощью формулы (11) вычисляется значение параметра С.
8. Решается биквадратное уравнение (12) и определяется значение [LATEX_FORMULA]\mu_{\mathrm{n}}[/LATEX_FORMULA].
9. С помощью соотношения (14) вычисляется значение [LATEX_FORMULA]\mu_{\mathrm{h}}[/LATEX_FORMULA] .
3. Результаты эксперимента и их обсуждение
Все полученные зависимости коэффициента Холла от индукци магнитного поля, R(B), описываются линейными функциями. На рисунке в качестве примера представлены зависимости R(B) для образцов №№ 1,3,5 (см. Таблицу 1). Видно, что угол наклона прямых к оси абсцисс уменьшается по мере роста значений ph (уменьшения значений n). По этим графикам легко найти значения В0 и R0 (см. Таблицу 1). В Таблице 1 представлены также результаты измерений [LATEX_FORMULA]\rho[/LATEX_FORMULA] и R(B), и вычисленные по описанному выше алгоритму значения ph, n, [LATEX_FORMULA]\mu_{\mathrm{n}}[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\mu_{\mathrm{h}}[/LATEX_FORMULA]. Образцы расположены в порядке возрастания значений ph.
Зависимости коэффициента Холла от индукции магнитного поля
Из Таблицы 1 видно, что значения r монотонно убывают с увеличением порядкового номера образца; то же самое относится и к значениям В0 и |R0|.
Как видно из Таблицы 1, для разных образцов значения подвижностей электронов лежат в диапазоне (1,7[LATEX_FORMULA]\div[/LATEX_FORMULA]2,0)·104 [LATEX_FORMULA]\frac{см^{2}}{B \times c}[/LATEX_FORMULA] а тяжелых дырок в диапазоне (420 - 510) [LATEX_FORMULA]\frac{см^{2}}{B \times c}[/LATEX_FORMULA], причем наблюдается уменьшение подвижности тяжелых дырок с ростом их концентрации. Полученные результаты согласуются с данными , приводимыми в работах [33] (электроны) и [34] (тяжелые дырки).
Оценим теперь погрешности, с которыми определены значения параметров, указанных в Таблице 1. Случайная относительная погрешность определения значения [LATEX_FORMULA]\rho, \delta_{\rho}= \pm 3 \% ;[/LATEX_FORMULA] значений R(B), ph, n, [LATEX_FORMULA]\delta_{\mathbb{R}}=\delta_{p_{h}}=\delta_{\mathrm{n}}= \pm 6 \%[/LATEX_FORMULA]. (данные метрологических исследований, предшествующих аттестации методики выполнения измерений). Значения параметров R0 и Bo определяются из графиков с гораздо большей точностью: [LATEX_FORMULA]\delta_{R_{0}} \approx \delta_{B_{0}} \leq 0,5 \%[/LATEX_FORMULA] (оценка с завышением). Что касается случайной относительной погрешности определения значения подвижности электронов, [LATEX_FORMULA]\delta_{\mu_{n}}[/LATEX_FORMULA] , то её можно оценить следующим образом. ,то [LATEX_FORMULA]\delta_{\mu_{n}}=\frac{1}{4} \delta_{C}[/LATEX_FORMULA], где значение [LATEX_FORMULA]\delta_{\mathrm{C}}[/LATEX_FORMULA] можно определить, вычислив полный дифференциал С как функции перечисленных независимых переменных. В результате получим:
Подставив в (15) значения погрешностей [LATEX_FORMULA]\delta_{I}[/LATEX_FORMULA] , получим:
с округлением в сторону увеличения: [LATEX_FORMULA]\delta_{\mu_{n}} \leq \pm 4 \%[/LATEX_FORMULA].
Из соотношения (14) следует:
или
Здесь [LATEX_FORMULA]\Delta_{i}[/LATEX_FORMULA] абсолютные случайные погрешности определения соответствующих параметров. Из формулы (18) видно, что для оценки [LATEX_FORMULA]\delta_{\mu_{h}}[/LATEX_FORMULA] необходимо выбирать максимальные значения параметров, входящих в числитель и минимальные в знаменатель. Соответствующие расчеты по данным Таблицы 1 дают значение [LATEX_FORMULA]\delta_{\mu_{h}} \approx \pm 15 \%[/LATEX_FORMULA]. Далее учтем возможный вклад в проводимость от легких дырок как систематическую составляющую относительной погрешности: [LATEX_FORMULA]\left(\delta_{\mu_{h}}\right)_{c u c m}=10 \%[/LATEX_FORMULA] (см. выше). Тогда, считая случайную и систематическую составляющие погрешности независимыми, для суммарной погрешности [LATEX_FORMULA]\left(\delta_{\mu_{h}}\right)_{сум}[/LATEX_FORMULA] получим:
При округлении с завышением получаем [LATEX_FORMULA]\left(\delta_{\mu_{h}}\right)_{сум} [/LATEX_FORMULA]<20 %. Проверим теперь справедливость предположения о равенстве концентраций тяжелых дырок при разных температурах. Как видно из Таблицы 1, минимальное значение [LATEX_FORMULA]p_{h_{77}}=3,19 \times 10^{17} \mathrm{cм}^{-3}[/LATEX_FORMULA], что более, чем на порядок превышает значение собственной концентрации при Т = 295К: [LATEX_FORMULA]n_{i_{295}}=2,14 \times 10^{16} \mathrm{cм}^{-3}[/LATEX_FORMULA] [32]. Это подтверждает правомерность использованного приближения. . Про легкие дырки ничего сказать нельзя, поскольку не известно значение [LATEX_FORMULA]\mu_{1}[/LATEX_FORMULA].
4. Заключение
1. По методу Ван дер Пау выполнены измерения удельного электрического сопротивления и полевых зависимостей коэффициента Холла на образцах p-InSb, легированных германием. Измерения проводились при комнатной температуре и при температуре жидкого азота. Показано, что зависимости коэффициента Холла от индукции магнитного поля при Т = 295К описываются линейными функциями.
2. Впервые предложен алгоритм, который позволяет по точке инверсии знака коэффициента Холла при комнатной температуре определять значения концентраций и подвижностей электронов и тяжелых дырок (важно с прикладной точки зрения). Оценены возникающие при этом погрешности.