1. Введение

Современная вычислительная гидроаэродинамика (CFD) генерирует огромные объемы данных, описывающих пространственно-временную структуру течений жидкости и газа. Традиционные методы оценки аэродинамических характеристик часто опираются на интегральные коэффициенты (коэффициент подъемной силы CL​, коэффициент лобового сопротивления CD) или точечные измерения. Однако такие метрики не всегда позволяют количественно описать сложные изменения в топологии самого течения, возникающие при переходных режимах, таких как отрыв пограничного слоя, образование вихревых зон и турбулизация следа за профилем.

Методы топологического анализа данных (TDA), в частности алгоритмы персистентной гомологии, предлагают математический аппарат для изучения формы и структуры многомерных объектов без потери их ключевых свойств. Персистентная гомология позволяет идентифицировать инвариантные топологические характеристики — компоненты связности, циклы (дырки) и полости — и оценивать их устойчивость к шуму при изменении масштаба рассмотрения [1]. Данный подход особенно эффективен для выделения глобальной структуры потока, такой как зоны рециркуляции и когерентные вихревые структуры, которые трудно отделить от локального шума численного решения стандартными методами пороговой фильтрации.

Теоретические основы персистентной гомологии были заложены Г. Эдельсбруннером и соавторами [1], а её систематизация в контексте анализа данных подробно изложена в работах Г. Карлссона [2] и в современном обзоре Chazal и Michel [12]. Для практической реализации метода часто используются эффективные алгоритмические решения, такие как библиотека Ripser, которая позволяет быстро вычислять диаграммы персистентности [3].

Применение TDA к задачам механики жидкости и газа демонстрирует высокую эффективность. В частности, методы были успешно использованы для анализа структур высокоскоростных турбулентных потоков [4], а также для сравнительного анализа различных численных методов моделирования турбулентности через призму топологических признаков полей скорости [5]. Более современные исследования показывают применимость топологических дескрипторов для ансамблей гидродинамических течений [6], а также для анализа конвективных циклов в сетевых потоках [16]. Отдельные работы посвящены применению персистентной гомологии непосредственно к изучению структуры течений жидкости, включая визуализацию и классификацию вихревых паттернов [8].

Важным направлением является интеграция TDA с методами машинного обучения для восстановления полей течения по экспериментальным данным. Например, Suzuki и др. [9] продемонстрировали возможность оценки параметров потока исключительно на основе анализа изображений с использованием персистентной гомологии, что открывает перспективы для гибридных подходов в аэродинамическом мониторинге.

Для проверки гипотез о применении TDA в инженерной аэродинамике актуально использование открытых верификационных наборов данных. Одним из таковых является датасет AirfRANS, содержащий результаты высокодетализированных расчетов уравнений Навье-Стокса в осредненном виде (RANS) для профиля NACA 0012 при широком диапазоне углов атаки [7]. Использование этих данных позволяет исследовать эволюцию поля завихренности от ламинарного обтекания до режимов глубокого срыва потока.

Цель работы заключается в разработке методики применения персистентной гомологии для количественной оценки изменений топологии поля знаковой завихренности ωz при обтекании аэродинамического профиля, с акцентом на детектирование зоны отрыва потока (срыва потока) через анализ роста числа топологических циклов в области высокой завихренности.

2. Методы и принципы исследования

В работе использовались результаты стационарных расчётов из открытого датасета AirfRANS

[7]

2.2. Расчёт поля завихренности

Для выделения областей интенсивного вращения жидкости использовалась проекция вектора завихренности на ось z, перпендикулярную плоскости течения:

где u, v — компоненты вектора скорости.

Градиенты скорости вычислялись на основе конечно-элементной аппроксимации на треугольной неструктурированной сетке. Для каждого треугольника с вершинами (xi, yi) и скоростями (ui, vi), i = 1, 2, 3 производные определялись аналитически через решение системы линейных уравнений. Полученные на элементах значения интерполировались в узлы сетки методом взвешенного усреднения с сохранением знака.

2.3. Персистентная гомология

Для анализа топологической структуры поля ωz применялся метод персистентной гомологии [1], [2], [3], [12]. Поскольку на этапе стохастического прореживания (субсэмплинга) исходная сеточная связность утрачивается, для анализа облака координат применялась фильтрация [3][13]

В работе анализировались одномерные гомологии (H1​), соответствующие циклам (замкнутым структурам) в поле завихренности.

2.4. Параметры фильтрации

Для исключения топологического шума применялся порог по персистентности:

где b — время рождения (birth) и d — время смерти (death) топологической особенности.

В расчётах использовалось pmin = 0,05 (5% от нормированного диапазона), что обеспечивает баланс между сохранением физически значимых структур и подавлением численного шума.

Для оценки влияния стохастического прореживания каждый режим расчитывался 11 раз с различными начальными значениями генератора случайных чисел (seed = 40...400). В качестве финальной метрики использовались среднее число циклов H1Missing Mark : sub и его стандартное отклонение, что позволяет количественно оценить устойчивость индикатора к вариациям выборки.

Для детектирования срыва потока TDA применялся не ко всему полю, а к выделенной области следа (x > 0,8 хорды, |y| < 0,8), где отбирались точки с завихренностью выше 90-го перцентиля. Это позволило сфокусировать анализ на топологии вихревых структур, исключив влияние пограничного слоя на профиле.

3. Основные результаты

3.1. Визуализация полей течения

Для анализа структуры течения были выбраны четыре характерных режима обтекания профиля NACA 0012 с различными углами атаки: α = -4,2° (отрицательный угол), α = 0,4° (околонулевой), α = 8,2° (средний положительный, до-срывной режим) и α = 14,0° (развитый срыв).На рис. 1 представлены поля знаковой завихренности ωz, рассчитанные по формуле (1). При малых углах атаки (α = -4,2° и 0,4°) наблюдается симметричное распределение завихренности: на нижней поверхности профиля формируется область положительной завихренности (красная зона), на верхней — отрицательной (синяя зона). Пограничный слой имеет малую толщину, след за профилем узкий и упорядоченный.

При увеличении угла атаки до α = 8,2° происходит утолщение пограничного слоя на верхней поверхности профиля, что свидетельствует о начале развития зоны повышенных градиентов скорости. При α = 14,0° наблюдается качественное изменение структуры течения: на верхней поверхности формируется обширная область отрицательной завихренности, след за профилем значительно расширяется, что характерно для режима с развитым отрывом потока.Для лучшей визуализации слабых структур в следе использовалась логарифмическая шкала sign(ωz) · log₁₀(|ωz|+1) (рис. 2), позволяющая одновременно отображать области с высокой завихренностью в пограничном слое и умеренной завихренностью в зоне следа.

Анализ поля продольной компоненты скорости ux показал наличие зон обратного течения (ux <0) при больших углах атаки (рис. 3). При α = 14,0° фиксируется область рециркуляции на верхней поверхности профиля, что является прямым индикатором срыва потока.

3.2. Топологический анализ

Для количественной оценки изменений структуры течения применялся метод персистентной гомологии к областям высокой завихренности в зоне следа (x > 0,8 хорды, |y| <0,8).

В табл. 1 приведены результаты расчёта числа топологических циклов (H₁-гомологий) для 21-го исследованного режима.

Статистический анализ зависимости числа топологических циклов

H1 от угла атаки α (рис. 4) позволил выделить три характерных режима обтекания.

α °

В диапазоне отрицательных и малых положительных углов атаки наблюдается плато топологической стабильности. Число выявленных циклов варьируется в узком диапазоне 22-28 при среднем значении около 25±3. Это соответствует устойчивой конфигурации узкого турбулентного следа и пристенного пограничного слоя, где топологическая сложность определяется лишь тонкими структурами сдвигового слоя.

°α°

Начиная с угла атаки

α°

α°

При достижении критического угла

α°

Таким образом, предложенный топологический индикатор H1 Missing Mark : subдемонстрирует высокую чувствительность к качественной перестройке структуры следа. Резкий рост числа циклов при α ≥ 9,4

° °

4. Обсуждение

Физическая интерпретация выявленных топологических инвариантов требует учёта специфики осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса (RANS). В нестационарных расчётах (LES/DNS) одномерные гомологии (H1​-циклы) в поле завихренности традиционно соответствуют дискретным вихревым ядрам или замкнутым линиям тока. Однако в стационарных RANS-расчётах пульсационная составляющая течения моделируется через замыкающие соотношения турбулентной вязкости, а поле скоростей представляет собой усреднённую по времени картину. В данном контексте выявленные топологические циклы отражают не мгновенные вихри, а сложную топологию средней зоны отрыва и сдвиговых слоёв, окаймляющих рециркуляционный пузырь.

Расширенный статистический анализ

°

Наблюдается стабильное «плато» топологической сложности (среднее значение ≈ 25 циклов). Это соответствует узкому турбулентному следу и пристенному пограничному слою, где топологические особенности определяются лишь тонкими структурами сдвига.

°°

При достижении угла α ≈ 9,4

°

°

При критическом угле α ≈ 11,5

°

Важно отметить ограничения, накладываемые RANS-подходом на топологический анализ. Поскольку метод не разрешает нестационарное вихреобразование (например, вихревую дорожку Кармана), TDA-метрики отражают лишь усреднённое состояние потока. Это делает предложенный подход оптимальным для задач стационарного проектирования, верификации расчётных сеток и анализа интегральной структуры отрыва, но требует осторожности при интерпретации в контексте нестационарной аэродинамики. Для полного описания эволюции вихревых структур в отрывной зоне целесообразно в дальнейшем применять методику к нестационарным данным (LES/DES), где диаграммы персистентности смогут отслеживать динамику рождения, слияния и разрушения дискретных вихрей во времени. Перспективность такого подхода подтверждается недавними работами по анализу вихревых следов методами персистентной гомологии [10] и графовыми методами TDA для транзиентных режимов течения [11].

С практической точки зрения, предложенный топологический индикатор демонстрирует высокий потенциал для автоматизированного детектирования срыва потока. В отличие от традиционных методов, опирающихся на анализ коэффициента давления Cp или касательного напряжения на стенке τw, которые требуют привязки к геометрии профиля и могут быть чувствительны к численному шуму вблизи критических точек, TDA-метрика является инвариантной к системе координат и масштабу расчётной области. Резкий рост числа H1-циклов может быть использован как триггер для адаптивного сгущения сетки в зоне отрыва или как критерий остановки итерационного процесса при оптимизации формы профиля. Кроме того, наблюдаемая связь между топологической сложностью следа и аэродинамическими коэффициентами (CL, CD) открывает путь к созданию суррогатных моделей, связывающих топологические инварианты полей течения с интегральными характеристиками летательного аппарата без необходимости проведения полного CFD-анализа на каждом шаге оптимизации. Подобные подходы уже успешно применяются в смежных областях, таких как химическая инженерия [14], а интеграция TDA с методами машинного обучения [15] может существенно ускорить процесс поиска аэродинамических конфигураций с заданными характеристиками устойчивости к срыву.

5. Заключение

В работе разработана и апробирована методика применения персистентной гомологии для топологического анализа полей завихренности в задачах вычислительной гидроаэродинамики. На основе открытого датасета AirfRANS (профиль NACA 0012) проведён количественный анализ эволюции топологических инвариантов поля знаковой завихренности ωz в зоне следа при изменении угла атаки.

Основные результаты исследования можно сформулировать следующим образом:

1. Предложенный TDA-подход, основанный на фильтрации Вьеториса-Рипса, позволяет выделять инвариантные топологические характеристики (одномерные гомологии H1​) структуры течения, устойчивые к численному шуму и локальным флуктуациям полей скорости.

2.

– безотрывный режим (α < 9,4

°

– переходная зона (9,4

°°

– режим полного срыва (α ≥ 11,5

°

3. Резкий скачок топологической сложности при α ≈ 9,4

°°

4. Топологический индикатор демонстрирует высокую чувствительность к изменению режима обтекания и может рассматриваться как координатно-независимый, масштабно-инвариантный критерий для автоматического детектирования срыва потока в стационарных CFD-расчётах.

The additional file for this article can be found as follows: