2303-9868 2227-6017 Международный научно-исследовательский журнал 2303-9868 ООО Цифра 10.60797/IRJ.2026.171.4 Brief communication Программный комплекс для параметрического синтеза нелинейных систем автоматического управления https://orcid.org/0000-0002-7007-4967 https://elibrary.ru/author_profile.asp?id=951208 Ватаева Елизавета Юрьевна elizavetavataeva@mail.ru 1 https://orcid.org/0009-0001-8477-0752 Гречкин Никита Леонидович space.suai@bk.ru 1 Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП) 17 09 2026 2026 20 171 1 20 23 06 2026 19 08 2026 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

Современные системы автоматического управления (САУ) отличаются сложностью, поскольку могут содержать нелинейные элементы, импульсные модуляторы, звенья запаздывания и т.п. Синтез регуляторов для таких систем классическими методами приводит к значительным погрешностям или требует упрощающих допущений, ухудшающих качество переходных процессов. В теории автоматического управления предлагается использовать обобщённый метод Галеркина, который позволяет синтезировать с высокой точностью регуляторы для таких САУ. Однако его практическое применение сопряжено с высокой трудоёмкостью, например, необходимо вручную выполнять аппроксимацию нелинейностей, формировать уравнение невязки и проводить многомерную оптимизацию. Разработанный программный комплекс обеспечивает автоматизированный параметрический синтез систем автоматического управления широкого класса, включая нелинейные, импульсные, многосвязные и содержащие звенья запаздывания.

 точки переключения обобщенный метод Галеркина нелинейные САУ желаемое программное движение динамические нелинейности программный комплекс оптимизация HTML-content

1. Введение

Современные системы автоматического управления (САУ) всё чаще включают в себя нелинейные элементы, импульсные модуляторы, звенья запаздывания, и множественные взаимосвязи между входами и выходами

[1][2][3][4][5][6][7][8][9]

Предлагаемый программный комплекс учитывает структуру проектируемой системы, нелинейные элементы, импульсные воздействия, запаздывания, многосвязность и несколько искомых параметров; предусматривает кусочно-линейную и полиномиальную аппроксимацию нелинейных характеристик, расчёт интегральных показателей и поиск экстремума целевой функции. В качестве математического аппарата используется обобщённый метод Галеркина. Метод позволяет сводить задачу синтеза к минимизации невязки с использованием аппроксимации нелинейных характеристик, а также задавать желаемое программное движение. Несмотря на разработанную теоретическую базу метода, его практическое применение ограничивается высокой трудоёмкостью аналитических и численных расчётов, особенно при высоком порядке системы, сложной нелинейности, а также подбором программного движения и аппроксимации. Отсутствие универсального программного инструментария, способного автоматизировать весь цикл синтеза — от задания типа системы и желаемого поведения до поиска оптимальных параметров регулятора, — существенно ограничивает распространение подхода в инженерной практике. В данной статье рассматривается описание каждого модуля программного комплекса.

Целью работы является разработка программного комплекса, автоматизирующего процесс параметрического синтеза систем автоматического управления широкого класса на основе обобщённого метода Галёркина.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработка модульной архитектуры программного комплекса, охватывающей все этапы синтеза от выбора типа проектируемой системы до поиска экстремума целевой функции.

2. Формализация алгоритмов выбора и аппроксимации нелинейного элемента.

3. Автоматизация расчёта интегралов Aqi, Bqi, Cqi и формирования уравнения динамики синтезируемой системы.

4. Реализация нескольких методов поиска экстремума целевой функции для обеспечения устойчивости решения к виду нелинейности.

5. Программная реализация комплекса средствами MATLAB/Simulink и верификация полученных результатов на примере типовой технической системы (маломощная следящая система).

Подробная схема обобщенного метода Галеркина описана в работе [10]. С математической точки зрения задача синтеза параметров законов управления сводится к поиску минимума целевой функции, построенной на основе уравнений Галеркина

J = ∑ q = 1 m { ∫ 0 ∞ [ ∑ i = 0 n a i ( c k ) A q i + ∑ i = 0 u b i ( c k ) B q i − ∑ i = 0 v e i ( c k ) C q i ] } 2 , min c k J → 0 ,

где

A q i = ∫ 0 ∞ D i { x 0 ( t ) } e − ρ q t d t , i = 0 , 1 ,   K , n ; B q i = ∫ 0 ∞ D i { F [ x 0 ( t ) ] } e − ρ q t d t , i = 0 , 1 ,   K , u ; C q i = ∫ 0 ∞ D i { f ( t ) } e − ρ q t d t , i = 0 , 1 ,   K , v ,

здесь

Поиск оптимума целевой функции определяется при технических ограничениях, наложенных на значения варьируемых параметров из условий технической реализуемости (1), ограничениях на абсолютную устойчивость САУ и грубость на заданные вариации искомых параметров закона управления (2).

c k − ≤ c k ≤ c k + , k = 1 , 2 ,   K , m ,

где

Δ = δ c k c k ≤ Δ 0 ,

где

2. Описание модулей программного комплекса

На рис. 1 представлен общий алгоритм работы программного комплекса. На первом этапе пользователю предлагается выбрать тип проектируемой системы: указать наличие нелинейных элементов и их способ аппроксимации, если они имеются в системе, указать количество входов и выходов, наличие импульсных модуляторов, звеньев запаздывания, количество искомых параметров. На втором этапе пользователю необходимо выбрать вид желаемого программного движения, а на третьем этапе — определить высоту внешнего входного воздействия, заданного в виде ступенчатой функции. На четвертом этапе определяется способ аппроксимации нелинейного элемента. На пятом этапе пользователю необходимо ввести коэффициенты динамики синтезируемой системы и определить ограничения на искомые параметры. На шестом этапе требуется выбрать методику поиска экстремума целевой функции, после чего следует вывод результатов.

Алгоритм работы программного комплекса

Алгоритм работы программного комплекса

3. Алгоритм модуля «Выбор типа проектируемой системы»

На рис. 2 представлен алгоритм модуля «Выбор типа проектируемой системы» и заключается в следующем:

1. Разработчик должен указать, является ли разрабатываемая система линейной. Если система линейная, то переменной

2. Разработчик должен указать, какая аппроксимация нелинейного элемента будет использоваться. Если аппроксимация кусочно-линейная, то переменной

3. Разработчик должен указать, является ли разрабатываемая система импульсной. Если система импульсная, то переменной

4. Разработчик должен указать, является ли разрабатываемая система многосвязной. Если система многосвязная, то переменной

5. Разработчик должен указать, имеются ли звенья запаздывания в разрабатываемой системе. Если система без звеньев запаздывания, то переменной

6. В последнем пункте разработчику необходимо ввести числовое значение, соответствующее количеству неизвестных (искомых) параметров, которое будет записано в переменную

Алгоритм модуля «Выбор типа проектируемой системы»

Алгоритм модуля «Выбор типа проектируемой системы»

4. Алгоритм модуля «Выбор желаемого программного движения»

Алгоритм модуля представлен на рис. 3 и заключается в следующем:

1. Разработчику необходимо присвоить номер задаваемому программному движению в виде числового значения, которое будет записано в переменную

2. Разработчику необходимо указать, имеется ли в программном движение запаздывание. Если есть запаздывание, требуется указать величину времени запаздывания, которая будет записана в переменную

3. Разработчику необходимо указать, является ли программное движение импульсным. Если программное движение импульсное, необходимо выбрать тип модулятора и, в зависимости от его типа, указать период импульсов и коэффициент заполнения ширины импульсов. Их численные значения записываются в переменные

4. Разработчику необходимо указать численные значения параметров желаемого программного движения, которые записываются в соответствующие переменные, а именно: время переходного процесса

5. Если разрабатываемая система является многосвязной, то выполняется переход к пункту 1, в противном случае работа модуля завершается.

Алгоритм модуля «Выбор желаемого программного движения»

Алгоритм модуля «Выбор желаемого программного движения»

5. Алгоритм модуля «Выбор внешнего входного воздействия»

Алгоритм модуля приведен на рис.4 и заключается в следующем:

1. Разработчику необходимо присвоить номер задаваемому внешнему входному воздействию в виде числового значения, которое будет записано в переменную

2. Разработчику необходимо указать, имеется ли во входном воздействии запаздывание. Если есть запаздывание, требуется указать величину времени запаздывания, которая будет записана в переменную

3. Разработчику необходимо указать, имеется ли во входном воздействии запаздывание. Если есть запаздывание, требуется указать величину времени запаздывания, которая будет записана в переменную

4. Разработчику необходимо указать, является ли входное воздействие импульсным. Если входное воздействие импульсное, необходимо выбрать тип модулятора и, в зависимости от его типа, указать период импульсов и коэффициент заполнения ширины импульсов. Их численные значения записываются в переменные

1. Разработчику необходимо указать численное значение высоты входного воздействия

2. Если разрабатываемая система является многосвязной, то выполняется переход к пункту 1, в противном случае работа модуля завершается.

Полученные переменные, содержащие в себе информацию о внешнем входном воздействии, являются глобальными и доступны для чтения в любых последующих модулях программного комплекса. Они необходимы для расчета интегралов

Алгоритм модуля «Выбор внешнего входного воздействия»

Алгоритм модуля «Выбор внешнего входного воздействия»

6. Алгоритм модуля «Выбор аппроксимации нелинейного элемента»

Модуль программного комплекса «Выбор аппроксимации нелинейного элемента» состоит из трех алгоритмов, один из которых, в зависимости от выбора пользователем способа аппроксимации нелинейного элемента, используется в основном алгоритме программы, представленном на рис. 1.

Первый алгоритм, представленный на рис. 5, реализует кусочно-линейную аппроксимацию нелинейного элемента и заключается в следующем:

1. Разработчику необходимо ввести номер желаемого программного движения на входе нелинейного элемента, которое было определено в алгоритме «Выбор желаемого программного движения», в виде числового значения, которое будет записано в переменную

2. Разработчику необходимо определиться с общим видом нелинейной характеристики. Если она задается с помощью нескольких параллельно включенных нелинейных элементов, то выполняется переход к пункту 3, в противном случае к пункту 4.

3. Разработчику необходимо ввести числовое значение, равное количеству нелинейных элементов, включённых параллельно. После выполняется переход к пункту 4.

4. Из списка доступных нелинейных элементов, которые были определены в

[6]

5. Рассчитываются точки переключения нелинейности в соответствии с программным движением на его входе, после чего вычисляются интегралы

6. Если указаны не все параллельно включенные нелинейные элементы, происходит переход к пункту 4, в противном случае — к пункту 7.

7. Определяется интегралы

8. С учетом всех нелинейных элементов, выводится график полученной нелинейности, а также вид программного движения, которое прошло через нелинейный элемент. После этого работа модуля завершается.

Алгоритм модуля «Кусочно-линейная аппроксимация»

Алгоритм модуля «Кусочно-линейная аппроксимация»

[11]

Второй алгоритм, представленный на рис. 6, реализует полиномиальную аппроксимацию нелинейного элемента и заключается в следующем:

1. Разработчику необходимо ввести номер желаемого программного движения на входе нелинейного элемента, которое было определено в алгоритме «Выбор желаемого программного движения», в виде числового значения, которое будет записано в переменную

2. Разработчику необходимо ввести коэффициенты аппроксимирующего полинома, с помощью которого будет описываться нелинейная характеристика в синтезируемой системе. После выполняется переход к пункту 3.

3. Определяются интегралы

Алгоритм модуля «Полиномиальная аппроксимация»

Алгоритм модуля «Полиномиальная аппроксимация»

1. Разработчику необходимо ввести номер желаемого программного движения на входе нелинейного элемента, которое было определено в алгоритме «Выбор желаемого программного движения», в виде числового значения, которое будет записано в переменную

2. Разработчику необходимо ввести коэффициенты аппроксимирующего полинома, с помощью которого будет описываться первый участок процесса на выходе нелинейной характеристики в синтезируемой системе. После выполняется переход к пункту 3.

3. Разработчику необходимо ввести коэффициент прямой, определяющий её высоту по координате ординат, которая будет описывать второй участок процесса на выходе нелинейной характеристики в синтезируемой системе. После выполняется переход к пункту 4.

4. Определяются интегралы

Алгоритм модуля «Полиномиальная аппроксимация процесса»

Алгоритм модуля «Полиномиальная аппроксимация процесса»

7. Алгоритмы модулей «Ввод коэффициентов уравнения динамики системы» и «Выбор методики поиска экстремума целевой функции»

После того, как рассчитаны интегралы

1. Разработчику необходимо ввести имена символьных переменных, соответствующих искомым параметрам. Также необходимо определить нижнюю и верхнюю границы поиска параметров. После выполняется переход к пункту 2.

2. Разработчику необходимо указать номер составляемого уравнения динамики системы. После выполняется переход к пункту 3.

3. Разработчику необходимо ввести коэффициенты уравнения динамики системы с учетом символьных переменных, соответствующих искомым параметрам. После выполняется переход к пункту 4.

4. Если система многосвязная, то происходит переход к пункту 2. В противном случае работа модуля завершается.

Алгоритм модуля «Ввод коэффициентов уравнения динамики системы»

Алгоритм модуля «Ввод коэффициентов уравнения динамики системы»

[12][13][14][15]

1. Разработчику необходимо выбрать методику поиска экстремума целевой функции

[12][13][14][16]

2. Выводятся результаты поиска, после чего работа модуля завершается.

Алгоритм модуля «Ввод коэффициентов уравнения динамики системы»

Алгоритм модуля «Ввод коэффициентов уравнения динамики системы»

В качестве примера рассмотрим расчет ренальной технической системы — маломощная следящая система (рис.10–11).

Функциональная схема объекта исследования: ИР – измеритель рассогласования; АУ – аналоговый умножитель; УОУ – усилитель обмотки управления; ИД – исполнительный двигатель; Р – редуктор; Н – нагрузка; ТГ – тахогенератор

Функциональная схема объекта исследования: ИР – измеритель рассогласования; АУ – аналоговый умножитель; УОУ – усилитель обмотки управления; ИД – исполнительный двигатель; Р – редуктор; Н – нагрузка; ТГ – тахогенератор

Структурная схема потенциометрической маломощной системы

Структурная схема потенциометрической маломощной системы x 0 ( t ) = 30 , 12 e − 2 t cos ( 1 , 53 t + 0 , 9 )

Динамика системы описывается следующим дифференциальным уравнением

x 0 ( t ) [ ( 0 , 0149 s 2 + s ) ( 0 , 25 s + 1 ) ( 1 + T 2 s ) ] + F [ x 0 ( t ) ] · [ k d k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k ( 1 + T 1 s ) ] = = f ( t ) [ k 1 k 2 k 3 k ( 1 + T 1 s ) ( 0 , 0149 s 2 + s ) ( 0 , 25 s + 1 ) ]

Теперь необходимо задать параметры САУ (рис. 12), ввести значения параметров программного движения (рис. 13). Далее определяются параметры внешнего входного воздействия (рис.14) и подбирается вид необходимой аппроксимации (рис.15). В синтезируемой системы в качестве нелинейной характеристики рассматривается нелинейность типа «ограничение». В соответствии с (2) вводятся коэффициенты динамики синтезируемой системы (рис.16).

Задание параметров проектируемой системы

Задание параметров проектируемой системы

Определение параметров желаемого программного движения

Определение параметров желаемого программного движения

Определение параметров внешнего входного воздействия

Определение параметров внешнего входного воздействия

Выбор аппроксимации нелинейного элемента

Выбор аппроксимации нелинейного элемента

Ввод уравнения динамики системы

Ввод уравнения динамики системы

Ввод метода поиска экстремума и ответ

Ввод метода поиска экстремума и ответ

Таким образом, были получены следующие искомые параметры

.

Сравнение желаемого программного движения с движением в синтезированной САУ

Сравнение желаемого программного движения с движением в синтезированной САУ

8. Заключение

В работе разработан специализированный программный комплекс блочно-модульной структуры, предназначенный для автоматизации полного цикла параметрического синтеза систем автоматического управления широкого класса. Комплекс обеспечивает решение задач для линейных и нелинейных, импульсных и многосвязных систем, а также систем с запаздыванием, и реализует синтез на основе обобщённого метода Галёркина. Важной особенностью комплекса является автоматизированный выбор и аппроксимация нелинейных элементов, что позволяет учитывать до

В составе комплекса реализованы автоматический расчёт интегралов Галёркина

Работоспособность разработанного комплекса подтверждена на примере синтеза маломощной следящей системы. Полученные значения искомых параметров

Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/IRJ.2026.171.4

Acknowledgements

Competing Interests

Bakhtadze N. Industrial digital ecosystems: Predictive models and architecture development issues / N. Bakhtadze, A. Suleykin // Annual Reviews in Control. — 2021. — 51. — P. 56–64. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1367578820300766 (accessed: 15.06.26). — DOI: 10.1016/j.arcontrol.2020.11.001 Нгуен Х.Т Синтез адаптивного наблюдателя для нелинейных нестационарных систем / Х.Т Нгуен, С.М. Власов, А.А. Пыркин, К.Ю. Калинин, М.Х. Нгуен, В.В. Нгуен, В.Х. Буй // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2024. — 24. — с. 554–562. — URL: https://ntv.ifmo.ru/en/article/22924/sintez_adaptivnogo_nablyudatelya_dlya_nelineynyh_nestacionarnyh_sistem.htm (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.17586/2226-1494-2024-24-4-554-562. Gao J. A weighted switching sequence optimization algorithm for static output feedback control synthesis of nonlinear systems / J. Gao, H. Xie // Applied Mathematics and Computation. — 2025. — 489. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0096300324006131 (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.1016/j.amc.2024.129152. [in English] Пыркин А.А. Управление по выходу для класса нелинейных систем на основе динамической линеаризации / А.А. Пыркин, М.Ш. Та, К.К. Нгуен и др. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2024. — 2. — С. 208–213. — DOI: 10.17586/2226-1494-2024-24-2-208-213 Рысин А.В. Использование математических моделей элементов воздушных линий электропередачи для диагностики оборудования / А.В. Рысин // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2025. — 6. — С. 557–561. — URL: https://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/387 — DOI: 10.17586/0021-3454-2025-68-6-557-561 Kotta Ü. A Mathematica Package for Nonlinear Control Systems / Ü. Kotta, M. Tõnso // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — 50. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405896317301581 (accessed: 15.06.26). — DOI: 10.1016/j.ifacol.2017.08.122 Wu Zh. Control Lyapunov-Barrier Function-Based Model Predictive Control of Nonlinear Systems / Zh. Wu, F. Albalawi, Zh. Zhang [et al.] // Automatica. — 2019. — 109. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0005109819303693?via%3Dihub (accessed: 15.06.26). — DOI: 10.1016/j.automatica.2019.108508 Yang L. Research on Application of Fuzzy Control Algorithm in Nonlinear System / L. Yang // Proceedings of the 4th International Conference on Machinery, Materials and Information Technology Applications (ICMMITA 2016). — Atlantis Press, 2016. — URL: https://www.atlantis-press.com/proceedings/icmmita-16/25868114 (accessed: 15.06.26). — DOI: 10.2991/icmmita-16.2016.143 Shelenok E. Simulation Complex of Adaptive-Robust Control Systems for Multi-Mode Plants with Delay / E. Shelenok, S. Smirnova // 2024 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing. — New York: IEEE, 2024. — URL: https://ieeexplore.ieee.org/iel8/10553372/10553656/10553993.pdf (accessed: 15.06.26). — DOI: 10.1109/ICIEAM61614.2024.10553993 Никитин А.В. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления / А.В. Никитин, В.Ф. Шишлаков — Санкт-Петербург: ГУАП, 2003. — 353 с. Гречкин Н.Л. Алгоритм вычисления точек переключения нелинейности “трехпозиционное реле с гистерезисом / Н.Л. Гречкин, Е.Ю. Ватаева, В.Ф. Шишлаков // Датчики и Системы. — 2025. — 4. — с. 49–55. — URL: https://sensors-and-systems.ru/issues/284 (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.24412/1992-7185-2025-4-49-55. Ватаева Е.Ю. Параметрический синтез потенциометрической маломощной следящей системы с импульсным элементом / Е.Ю. Ватаева // Информационно-измерительные и управляющие системы. — 2023. — 4. — URL: http://radiotec.ru/ru/journal/Information-measuring_and_Control_Systems/number/2023-4/article/23816 (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.18127/j20700814-202304-07. Вараюнь М.И. Метод случайного поиска при оценке параметров сигнала эмиссионной системы / М.И. Вараюнь, Е.М. Виноградова, А.Ю. Антонов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2021. — 3. — с. 228–239. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-sluchaynogo-poiska-pri-otsenke-parametrov-signala-emissionnoy-sistemy/viewer (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.21638/11701/spbu10.2021.301. Карпов П.М. Новый режим охлаждения в алгоритме симуляции отжига / П.М. Карпов // Вестник ВГУ, Серия: Системный анализ и информационные технологии. — 2016. — 1. — С. 28–34. — URL: http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/analiz/2016/01/2016-01-04.pdf (дата обращения: 15.06.26). Ачкасов Д.А. Изучение и моделирование эвристических алгоритмов оптимизации / Д.А. Ачкасов, К.В. Зольников, Н.Н. Литвинов // Моделирование систем и процессов. — 2025. — 1. — с. 17–28. — URL: https://journal.vgltu.ru/archive-of-numbers/2025-1 (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.12737/2219-0767-2025-17-28. Стрекаловский А.С. Минимизирующие последовательности в задаче DC оптимизации с ограничениями / А.С. Стрекаловский // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2023. — 3. — с. 185–209. — URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=timm&paperid=2026&option_lang=rus (дата обращения: 15.06.2026) DOI: 10.1134/S0081543823060214. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № FSRF-2023-0003, «Фундаментальные основы построения помехозащищенных систем космической и спутниковой связи, относительной навигации, технического зрения и аэрокосмического мониторинга». The work was carried out with financial support from the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, under agreement No. FSRF-2023-0003, "Fundamental Principles for the Design of Interference-Resistant Systems for Space and Satellite Communications, Relative Navigation, Computer Vision and Aerospace Monitoring".