1. Введение
Несанкционированное отключение или внештатное включение насосов напорных гидросистем, некорректное маневрирование трубопроводной запорно-регулирующей арматурой, аварийное срабатывание отсечных клапанов и т.п., т.е. относительно быстрое изменение скорости потока капельной жидкости может приводить к возникновению в таких системах гидравлических ударов — периодическому повышению давления, которое характеризуется прежде всего амплитудой и частотой колебаний. В результате гидравлических ударов наблюдаются порывы трубопроводов и разгерметизация соединений, которые могут вызвать вторичные аварии или травмы обслуживающего персонала. Кроме того, случаются выходы из строя элементов насоса, поломки запорно-регулирующей аппаратуры, изгибы трубопроводов, нарушение элементов крепления.
Поэтому гидравлическим ударом называется резкое изменение давления в трубопроводе вследствие быстрого (мгновенного) изменения скорости движения капельной жидкости. Когда клапан закрывается быстро в сети труб, это дает толчок гидравлическому переходному процессу — волне давления, известной как гидравлический удар
[1]
Гидравлический удар как часть гидродинамики всегда интересовал исследователей вследствие его сложных проявлений. Например, в работе
[2][3][4][5][6][7][8][9]Источники затухания при гидравлическом ударе и с[10][11][12]
Физическое моделирование
гидравлического удара
Поэтому рассмотрим краевую задачу о распространении скачка давления в трубопроводе с начальной скоростью жидкости
[13]
Исходя из изложенного, цель работы:
1) использовать Comsol Multiphysics
[13]
2) предложить для ламинарного режима упрощенный вариант для первого приближенного аналитического описания (формулы) в трубопроводе основных физических характеристик гидравлического удара: например, коэффициента затухания, зависимости амплитуды давления от времени в определенном сечении трубопровода, периода колебаний ударной волны давления, если возможно использовать линеаризованную модель в виде одного уравнения гиперболического типа.
2. Математические модели
Полная математическая постановка задачи по определению распределения давления в трубопроводе при гидравлическом ударе в виде системы двух нелинейных уравнений гидродинамики (уравнения непрерывности и уравнения импульсов), используя COMSOL MULTIPHYSICS, будет
[13]
[LATEX_FORMULA]\rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-\nabla p-f_{D} \frac{\rho}{2 d} \vec{u}|\vec{u}|+\rho \vec{g}, \quad t>0, \quad 0<x<l,[/LATEX_FORMULA]
Здесь
[LATEX_FORMULA]\Delta P_{J}>p_0[/LATEX_FORMULA]
[13]
Скорость звука в капельной упругой жидкости, текущей в трубе с упругими стенками, т.е. скорость распространения ударной волны — волны гидравлического возмущения
[14][15]
где
Представленная формула для определения скорости звука в капельной упругой жидкости (
[LATEX_FORMULA](p - p_0)/E < 1[/LATEX_FORMULA]
Дополнительно (только при определенных условиях — модель коэффициента трения Стокса
[13][16]
где
[1]
которая определяет увеличение (скачок) амплитуды давления гидравлического удара, например, при мгновенном закрытии клапана в конце трубопровода
[17]
Величина
[14][15]
где
По физическому смыслу коэффициент
[17]
Для примера в
[15]
Круговая или циклическая частота затухающих колебаний
где безразмерный параметр
Тогда согласно формуле
При необходимости можно определить логарифмический декремент затухания
[17]
В соответствии с видом функции (6) затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания частоты
Таким образом, для описания зависимости амплитуды давления от времени в определенном сечении трубопровода предложена более общая формула (12), которая включает фундаментальную формулу Н.Е. Жуковского
На качественном физическом уровне ясно, что этот колебательный процесс (6), (12) должен затухать из-за затрат энергии на трение и деформацию стенок трубы
[1]
В результате предлагается более простой (упрощенный, «инженерный») вариант для первого приближенного аналитического описания в трубопроводе основных физических характеристик гидравлического удара: например, коэффициента затухания
3. Расчеты и результаты
Расчеты по математическому моделированию распределения давления при гидравлическом ударе в трубопроводе для конкретной вязкой жидкости произведены при следующих условиях
[16]⋅⋅1⋅1[13][18]
где
В уравнениях (13)–(15) Re — это безразмерное число Рейнольдса, которое определяется так
Для ньютоновских однофазных жидкостей модель Черчиля для коэффициента трения Дарси
По представленным данным скорость звука в капельной упругой жидкости, текущей в трубопроводе с упругими стенками будет равна
⋅1
Далее для представленной вязкой жидкости в трубопроводе проведено численное решение системы двух нелинейных уравнений гидродинамики (уравнения непрерывности (1) и уравнения импульсов (2)) с начальными (3) и граничными (4) условиями методом конечных элементов, используя модель коэффициента трения Черчиля (13)–(16). Поэтому на рисунке 1 представлено распределение давления
⋅1
Распределение давления p-p0 от времени t (синяя линия, уравнения (1)–(4), модель коэффициента трения Черчиля) для x = l = 200 м при For = 1,1395⋅106
⋅1⋅1
Распределение давления p-p0 от времени t (уравнения (1)–(4), модель коэффициента трения Черчиля) при For = 1,1395⋅106 для x = 100 м, где находится датчик давления
Распределение давления p-p0 (уравнения (1)–(4), модель коэффициента трения Черчиля) вдоль трубопровода длиной 200 м для момента времени t = 2 c при For = 1,1395⋅106
Поэтому расстояние
⋅⋅[13]
Кроме модели Черчиля COMSOL MULTIPHYSICS имеет еще несколько встроенных моделей коэффициентов трения для ньютоновских и неньютоновских жидкостей
[13]
Решение нелинейных уравнений (1), (2) возможно лишь путем численного интегрирования. Для упрощения нелинейного уравнения (2) И.А. Чарный
[14]
Таким образом, из уравнения (18) после соответствующих сокращений получаем формулу (8) для определения величины
[15][16]
Но сначала проведены вычисления распределения давления при гидравлическом ударе в трубопроводе для той же вязкой жидкости только для ламинарного режима (по аналогии вычислений для нефти в
[15][13]⋅1
Сравнение распределения давления p-p0 от времени t (уравнения (1)–(4) для ламинарного режима, модель коэффициента трения Стокса) для x = l = 200 м при For = 1,1395⋅106 (ступенчатая синяя линия), уравнения (p-p0)1 (6) (затухающая косинусоида – красная линия) и предсказанной (уравнение (12)) амплитуды давления гидравлического удара (p-p0)1max от времени t (верхняя экспоненциальная зеленая линия)
⋅1
По числовым данным для задачи ((1)–(4), модель коэффициента трения Стокса) (рис. 4) приближенно определен период колебаний
⋅1
Таким образом, подтверждается справедливость более простого (упрощенного, «инженерного») варианта для первого приближенного аналитического описания в трубопроводе (уравнения (6), (12)) основных физических характеристик гидравлического удара для ламинарного режима, если возможно использовать линеаризованную модель в виде одного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа.
4. Заключение
Для математического описания гидравлического удара в трубопроводе использована модель в виде системы двух нелинейных уравнений гидродинамики (уравнения непрерывности (1) и уравнения импульсов (2)) с начальными (3) и граничными (4) условиями.
Если возможно для ламинарного режима использовать линеаризованную модель для описания гидравлического удара в виде одного уравнения гиперболического типа, предлагается более простой (упрощенный, «инженерный») вариант для первого приближенного аналитического описания (6) в трубопроводе основных физических характеристик гидравлического удара (формулы): например, коэффициента затухания
Для конкретной вязкой жидкости в трубопроводе проведено математическое (численное) моделирование распределения давления при гидравлическом ударе в трубопроводе методом конечных элементов, используя COMSOL MULTIPHYSICS и две модели коэффициента трения: Черчиля и Стокса.
Проведено сравнение (рис. 4) численного решения системы двух уравнений гидродинамики (1)–(4), используя модель коэффициента трения Стокса, методом конечных элементов с первым приближенным аналитическим решением (6) для более простого (упрощенного, «инженерного») варианта.
Для описания зависимости амплитуды давления от времени в определенном сечении трубопровода предложена более общая формула (12), которая включает фундаментальную формулу Н.Е. Жуковского
Получено совпадение максимальной величины давления полного решения