1. Введение
Эффективность технической эксплуатации авиационной техники зависит не только от частоты плановых работ, но и от того, насколько расчетная модель учитывает накопленное воздействие режимов эксплуатации. В безынерционных моделях скорость деградации определяется текущим состоянием. Для представления возможного последействия температурных циклов, вибрации, электрических перегрузок и других предшествующих режимов в настоящей работе используется распределенная предыстория на конечном интервале времени.
Современные модели обслуживания по состоянию объединяют прогнозирование деградации, оценку остаточного ресурса и оптимизацию графиков технического обслуживания
[1][4][5][14][11][12][13][14][14][15][16][17][18]
В ранее опубликованной работе авторов
[19]
Цель работы — разработать расчетную схему, в которой распределенная предыстория учитывается при определении среднего состояния, ковариации и вероятности первого достижения границы работоспособности, а моменты технического обслуживания выбираются при заданном ограничении на системную надежность.
Научные результаты работы состоят в следующем:
– для линейной стохастической модели с распределенным запаздыванием и аффинным восстановлением доказаны существование, единственность и сохранение гауссовости конечномерных распределений;
– получена расчетная система для математического ожидания и двухвременной ковариации, необходимой при распределенном запаздывании;
– надежность определена через первое достижение границы, а ее дискретная аппроксимация сведена к вероятности многомерного нормального события;
– разработан воспроизводимый алгоритм выбора числа и моментов обслуживания с непосредственной проверкой ограничения по надежности и сравнением с моделью без запаздывающей составляющей.
2. Методы и принципы исследования
Рассмотрим систему, состоящую из
где
Начальная история
[LATEX_FORMULA]\mathbb{E}\left\|\varphi_{i}\right\|_{\infty}^{2}<\infty[/LATEX_FORMULA]
где
Воздействие технического обслуживания на состояние и учитываемую моделью предысторию зададим аффинным оператором. Пусть
Здесь
Лемма 1. Если
Доказательство. Решение линейной системы на первом интервале между техническими обслуживаниями является детерминированным линейным функционалом совместно гауссовской совокупности, образованной начальной историей и приращениями винеровского процесса, с добавлением детерминированного слагаемого. Поэтому его конечномерные распределения гауссовские. Оператор (5) аффинен и добавляет независимый гауссовский случайный элемент, вследствие чего гауссовость сохраняется после обслуживания. Последовательное применение этого рассуждения ко всем циклам завершает доказательство. Утверждение относится к некондиционированному процессу состояния.
Обозначим математическое ожидание через
Формулы (10)–(11), дополненные начальным условием CiMissing Mark : sub(θ,η)=Cov(φiMissing Mark : sub(θ), φiMissing Mark : sub(η)), образуют расчетную систему для среднего и двухвременной ковариации. При распределенном запаздывании уравнение для ΣiMissing Mark : sub(t) в общем случае не замыкается без CiMissing Mark : sub(t,s); поэтому для вычисления дисперсии состояния требуется совместно определять двухвременную ковариационную функцию.
Пусть область работоспособности подсистемы задается линейным ограничением DiMissing Mark : sub={x:hiMissing Mark : subTMissing Mark : supx<diMissing Mark : sub}. Предположим, что дисперсия проекции состояния на нормаль к границе положительна. Точечная вероятность нахождения в работоспособном состоянии равна
где Φ — функция распределения стандартного нормального закона. Величина (7) может увеличиваться после восстановления и поэтому не отождествляется с классической вероятностью безотказной работы.
Время первого отказа на интервале между техническими обслуживаниями определяется как
[LATEX_FORMULA]\vartheta_{i}=\inf \left\{t>0: X_{i}(t) \notin D_{i}\right\}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]S_{i}(t)=\operatorname{Pr}\left\{\vartheta_{i}>t\right\} .[/LATEX_FORMULA]
На сетке 0=u0Missing Mark : sub<u1Missing Mark : sub<⋯<uMMissing Mark : sub используется аппроксимация
[LATEX_FORMULA]\hat{S}_{i, h}\left(u_{j}\right)=\operatorname{Pr}\left\{Y_{i, 0}<d_{i}, \ldots, Y_{i, j}<d_{i}\right\} .[/LATEX_FORMULA]
Вектор значений в (16)–(17) многомерно нормален по лемме 1. Вероятность может вычисляться алгоритмом многомерного нормального интегрирования или моделированием совместных гауссовских траекторий. Для вложенных сеток события в (9б) образуют убывающую последовательность. При непрерывных траекториях и нулевой вероятности касательного достижения границы без последующего выхода предел совпадает с вероятностью первого выхода.
Обозначим через Si,kMissing Mark : sub(u) вероятность безотказной работы i-й подсистемы в течение времени u после начала k-го цикла в момент tk-1Missing Mark : sub. Предположим условную независимость подсистем при заданных профиле эксплуатации и расписании технического обслуживания, полное обновление начальной истории по формуле (5) и независимость приращений винеровских процессов на непересекающихся интервалах. Для последовательной структуры системы и момента t внутри k-го цикла накопленная вероятность безотказной работы определяется формулами (18)–(19).
[LATEX_FORMULA]\begin{aligned}\Pi_{i}^{(k-1)} & =\prod_{\ell=1}^{k-1} S_{i, \ell}\left(\Delta_{\ell}\right) \\\Delta_{\ell} & =t_{\ell}-t_{\ell-1}\end{aligned}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\begin{aligned}R_{\text {сист }}(t ; \mathcal{T}) & =\prod_{i=1}^{n} \Pi_{i}^{(k-1)} S_{i, k}(u) . \\u & =t-t_{k-1} .\end{aligned}[/LATEX_FORMULA]
При наличии общих причин отказов, общих источников питания или коррелированных эксплуатационных воздействий формула (19) неприменима. В этом случае необходимо использовать совместный гауссовский вектор состояний всех подсистем и его полную ковариационную матрицу
[20]
Пусть T=(t1Missing Mark : sub,…,tNMissing Mark : sub) — последовательность моментов планового технического обслуживания, t0Missing Mark : sub=0, tN+1Missing Mark : sub=TплMissing Mark : sub. Введем функционал дисконтированных затрат
где cТОMissing Mark : sub — стоимость одной плановой операции, cоткMissing Mark : sub — скорость накопления ожидаемых потерь после функционального отказа, выраженная в условных денежных единицах в час, r — часовой коэффициент дисконтирования. После первого функционального отказа рассматриваемый сценарий считается завершенным, а потери начисляются на оставшейся части горизонта планирования. Поэтому JоткMissing Mark : sub характеризует ожидаемые потери, связанные с отказом, а не неготовность восстанавливаемой системы.
Оптимизация выполняется при ограничении RсистMissing Mark : sub(TплMissing Mark : sub;T)≥RminMissing Mark : sub. Поскольку функция (19) не возрастает на горизонте, для принятой модели первого отказа достаточно проверить конечную точку. Множество допустимых расписаний задается нестрогими неравенствами и является замкнутым:
Дискретизированная задача решается полным перебором множества
Для демонстрации используется скалярная версия (1)–(2) с безразмерным индексом деградации XiMissing Mark : sub(t) и порогом отказа diMissing Mark : sub=1:
Начальная история равна xi,0Missing Mark : sub=0,05. После каждого обслуживания история подсистемы задается заново этим постоянным значением. На сетке с шагом Δt интеграл вычисляется по составной формуле трапеций, а состояние — методом Эйлера–Маруямы:
где
3. Результаты численного эксперимента
Параметры выбраны так, чтобы воспроизвести различающиеся скорости деградации трех условных подсистем. Они не идентифицированы по данным конкретного воздушного судна. Размерности параметров следуют из (23)–(24): viMissing Mark : sub имеет размерность ч-1Missing Mark : sup, ciMissing Mark : sub — ч-2Missing Mark : sup, βiMissing Mark : sub — ч-1Missing Mark : sup, σiMissing Mark : sub — ч-1/2Missing Mark : sup.
Параметры стохастической модели с распределенным запаздыванием
| Подсистема | viMissing Mark : sub, ч-1Missing Mark : sup | ciMissing Mark : sub, ч-2Missing Mark : sup | βiMissing Mark : sub, ч-1Missing Mark : sup | τiMissing Mark : sub, ч | σiMissing Mark : sub, ч-1/2Missing Mark : sup |
| 1 | 0,00098 | 5,2⋅10-6Missing Mark : sup | 0,012 | 100 | 0,0042 |
| 2 | 0,00107 | 6,0⋅10-6Missing Mark : sup | 0,015 | 80 | 0,0048 |
| 3 | 0,00090 | 4,8⋅10-6Missing Mark : sup | 0,010 | 120 | 0,0040 |
Параметры оптимизации: TплMissing Mark : sub=2000 ч, RminMissing Mark : sub=0,95, ΔminMissing Mark : sub=200 ч, cТОMissing Mark : sub=50 000 у. е., cоткMissing Mark : sub=5000 у. е./ч. Непрерывная годовая ставка дисконтирования принята равной 0,05; часовой коэффициент вычисляется по формуле r=0,05/8760.
На рисунке 1 показана вероятность безотказной работы последовательной трехкомпонентной системы на одном интервале между техническими обслуживаниями. При учете ядра запаздывания уровень 0,95 пересекается между 610 и 620 ч. При исключении запаздывающей составляющей пересечение происходит между 680 и 690 ч. Для принятых значений параметров исключение интегрального слагаемого увеличивает расчетную допустимую длительность интервала приблизительно на 70 ч.
Вероятность безотказной работы системы на одном интервале между техническими обслуживаниями
При N=0,1,2 допустимых расписаний нет: на 50-часовой сетке хотя бы один из интервалов имеет длительность не менее 700 ч, тогда как уже после 620 ч вероятность безотказной работы одного цикла ниже 0,95. Для N=3 минимальное значение функционала равно 154 577 у. е. и достигается при моментах обслуживания 450, 950 и 1450 ч. При N=4 наименьшая возможная сумма только плановых затрат достигается при максимально поздних допустимых моментах 1200, 1400, 1600 и 1800 ч и составляет 198 295 у. е., что превышает найденное значение функционала. При дальнейшем увеличении N эта нижняя граница возрастает. Следовательно, найденное расписание является глобально оптимальным для принятой 50-часовой сеточной задачи.
Полученные интервалы составили 450, 500, 500 и 550 ч. Сводные результаты приведены в таблице 2. В качестве базовой принята схема с обслуживанием в моменты 600, 1200 и 1800 ч; она не удовлетворяет ограничению по надежности.
Сравнение расписаний технического обслуживания
| Расчетный вариант | Моменты ТО, ч | Плановые затраты, у. е. | Плановые затраты, у. е. | Ожидаемые потери от отказа, у. е. | J, у. е. |
| Предлагаемая схема | 450; 950; 1450 | 0,9931 | 149 189 | 5 388 | 154 577 |
| Равные интервалы 500 ч | 500; 1000; 1500 | 0,9978 | 149 147 | 8 268 | 157 415 |
| Базовая схема 600/600/600/200 ч | 600; 1200; 1800 | 0,9127 | 148 977 | 364 604 | 513 581 |
| Без запаздывания | 450; 950; 1450 | 0,9989 | 149 189 | 1 079 | 150 268 |
По сравнению с равными интервалами 500 ч функционал уменьшился на 1,8 %, хотя конечная вероятность безотказной работы для равных интервалов выше. Это объясняется более ранним первым обслуживанием оптимизированной схемы: снижение риска в начале горизонта сильнее уменьшает интегральные дисконтированные потери, чем увеличение последнего интервала с 500 до 550 ч их повышает. Приближенный 95%-ный интервал для RсистMissing Mark : sub(2000), рассчитанный дельта-методом с учетом ковариаций вложенных индикаторов безотказности, равен [0,9922; 0,9940]. Нижняя граница превышает требуемый уровень 0,95. Интервал характеризует только имитационную погрешность при фиксированных параметрах и не включает погрешность временной дискретизации и параметрическую неопределенность.
Повторный полный перебор сеточных расписаний не изменил найденные моменты обслуживания. При уменьшении шага до 5 ч получены RсистMissing Mark : sub(2000)=0,9927 и J=155 751 у. е.; при 100 000 траекторий и шаге 10 ч — соответственно 0,9934 и 154 254 у. е. Отличие значения функционала от основного расчета не превышает 0,8%.
Для той же последовательности моментов модель без запаздывающей составляющей дает ожидаемые потери, связанные с отказом, 1079 у. е., тогда как полный расчет — 5388 у. е. Следовательно, при выбранных параметрах исключение предыстории занижает эту часть функционала приблизительно в пять раз. Оптимальное расписание на сетке в обоих расчетах совпало, но оценки риска и итогового функционала существенно различаются.
Траектории системной вероятности безотказной работы для сравниваемых расписаний; вертикальные линии отмечают оптимальные моменты обслуживания
4. Обсуждение
Среднее μiMissing Mark : sub(t) и двухвременная ковариация CiMissing Mark : sub(t,s) определяют конечномерные распределения гауссовского процесса, используемые при вычислении вероятности первого выхода. Поэтому вероятность безотказной работы и функционал затрат рассчитываются по той же модели состояния, которая описывает деградацию и влияние предыстории.
Результат о гауссовости является точным только для линейных коэффициентов, гауссовской начальной истории, аддитивного гауссовского шума и аффинного восстановления. Для нелинейной правой части допустима локальная линеаризация, но тогда распределение следует называть гауссовской аппроксимацией, а не точным решением. При сильной нелинейности, пороговых скачках и асимметричных возмущениях необходимы методы частиц или прямое имитационное моделирование нелинейной системы.
Ограничения демонстрационного примера связаны с предположениями о полном восстановлении после технического обслуживания, независимости подсистем, одном линейном пороге отказа и экспертном выборе коэффициентов. Повторные расчеты с шагом 5 ч и со 100 000 траекторий не изменили сеточное расписание, однако эти проверки характеризуют только численную чувствительность результата. Для применения модели к конкретному типу оборудования необходимо идентифицировать ядро запаздывания, ковариацию шумов и оператор восстановления по эксплуатационным данным.
В работе
[19]
5. Заключение
Разработана расчетная схема прогнозирования надежности и выбора моментов технического обслуживания на основе линейного стохастического функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием.
Доказаны существование и единственность сильного решения на конечном горизонте и гауссовость конечномерных распределений при гауссовской начальной истории и аффинном операторе восстановления. Получены уравнения для среднего состояния и двухвременной ковариации. Вероятность безотказной работы определена через первое достижение границы области работоспособности, что исключает ее смешение с вероятностью работоспособного состояния в фиксированный момент.
В трехкомпонентном примере оптимальной для принятой 50-часовой сеточной задачи оказалась последовательность обслуживаний 450, 950 и 1450 ч. Расчетная системная вероятность безотказной работы на горизонте 2000 ч составила 0,9931 при требовании 0,95. По сравнению с равными 500-часовыми интервалами функционал уменьшился на 1,8%, а исключение запаздывающей составляющей занизило ожидаемые потери, связанные с отказом, приблизительно в пять раз. Повторный перебор при уменьшенном шаге интегрирования и увеличенном числе траекторий не изменил найденное расписание.
Дальнейшее развитие связано с идентификацией параметров по деидентифицированным эксплуатационным данным, учетом неполного восстановления, общих причин отказов и нелинейной деградации, а также с построением доверительных областей для оптимального расписания.