1. Введение

Проблема очистки сточных вод остаётся одной из ключевых задач современной экологии и санитарной инженерии. Традиционно предполагается, что часть загрязнений может удаляться за счёт естественного осаждения взвешенных частиц, включая бактериальные клетки [1]. Однако эффективность такого самоочищения зависит от множества факторов, в том числе от скорости оседания микроорганизмов. Например, широко распространенные и типичные для сточных вод кокковые бактерии, имеют микроскопические размеры (порядка микрометра) и низкую эффективную массу [2], [3]. Это определяет их кинетику движения в водной среде и скорость оседания под действием силы тяжести [4], [5]. Понимание этих процессов необходимо как для оценки потенциала самоочищения водных сред и проектирования очистных сооружений, так и для прогнозирования распространения патогенов и оптимизации режимов биологической очистки [6], [7]. Целью данного исследования являлся количественный анализ движения и оседания бактерий-кокков в сточной воде с использованием метода функции Лагранжа. В рамках исследования решались следующие задачи: определение сил, действующих на частицу‑кокк в водной среде; построение лагранжевой модели движения частицы; расчёт установившейся скорости оседания и времени разгона; оценка потенциальной энергии частицы на разных глубинах; анализ последствий низкой скорости оседания для процессов самоочищения сточных вод. За основу методологической базы был принят метод функции Лагранжа для описания движения бактериальной частицы в вязко-текучей среде [8], [9], [10]. Проведенное численное моделирование с учётом реальных параметров кокков (масса, объём, эффективная масса) и свойств сточной воды (вязкость, плотность) показало, что скорость оседания бактерий-кокков настолько мала (десятки нанометров в секунду), что за весь жизненный цикл их подавляющее большинство не успевает достичь дна водоёма. Это принципиально ограничивает возможности самоочищения сточных вод за счёт гравитационного осаждения бактериальных клеток.

2. Объекты и методы исследований

В качестве объектов исследования выступали образцы сточных вод, отобранные из центрального водотока дренажно-насосной станции, поступающие на аэрационные водоочистные сооружения (аэротенки). Лабораторно-аналитическими методами проводилось выделение типичных представителей сточных вод — кокковых бактерий на сорбенте-носителе, в качестве которого использовался березовый активированный уголь (БАУ). Сорбционное взаимодействие приводило к насыщению сорбента, с эффективным накоплением микроорганизмов на его пористой поверхности. Когда сорбент был полностью насыщен микроорганизмами производилась его подготовка к микроанализу способом быстрого (шокового) замораживания в жидком азоте с последующим взятием проб методом микросрезов. Затем, с помощью электронной криомикроскопии проводилась их морфометрия. Данные, полученные электронным микроанализом, убедительно указывают на то, что подавляющее число анализируемых микроорганизмов представляют собой сферические (шарообразные) частицы, относимые к бактериям-коккам [11], [12]. Представленная цепочка лабораторно-аналитических исследований (забор проб, выделение бактерий на носителе и их электронный микроанализ) приведена на рисунке 1.

3. Постановка задач моделирования и определение граничных условий

Основой моделирования является составление функции Лагранжа для элементарной шаровидной бактерии (кокка) как материальной точки (МТ) массой m (при ее плотности, известной из литературы и равной = 1100 кг/м3) [13], [14], [15] в однородном поле силы тяжести жидкости (сточные воды). Решением задачи является поиск уравнения, описывающего ее движения, принимая, что ось ОУ направлена вертикально вниз.

Рассмотрим движение кокка как МТ (рис. 2) с массой m в сточной воде в однородном поле силы тяжести. Ось ОУ направлена вертикально вниз по направлению силы тяжести [LATEX_FORMULA]\vec{g}[/LATEX_FORMULA].

3.1. Описание сил, действующих на уединенную бактериальную частицу (кокк)

На частицу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести (направлена вниз):

2. Архимедова сила (направлена вверх, против [LATEX_FORMULA]\vec{g}[/LATEX_FORMULA]):

где: — плотность сточной воды, V=4/3πr3 — объем кокка, r — его радиус.

3. Сила сопротивления (Стоксова сила трения, противоположная скорости [LATEX_FORMULA]\vec{V}[/LATEX_FORMULA]):

где: ɳ — динамическая вязкость жидкости, r — радиус кокка.

Из соотношения действующих сил находим результирующую силу, действующую вдоль направления ОУ:

где: [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{V_{y}}=\dot{y}[/LATEX_FORMULA] — проекция скорости на ось ОУ.

3.2. Составление функции Лагранжа для частицы (кокка)

Функция Лагранжа, L определяется как: L = T – U, где T — кинетическая энергия, U — потенциальная энергия.

1. Определяем кинетическую энергию для МТ (кокка):

2. Определяем потенциальную энергию с учетом только гравитационного поля (т.к. Архимедова сила уже «встроена» в эффективную массу):

где знак минус указывает на то, что ось ОУ направлена вниз (т.е. потенциал убывает при росте y).

Тогда итоговая функция Лагранжа, L принимает следующий вид:

Определив функцию Лагранжа переходим к составлению уравнения движения.

3.3. Составление уравнения движения (уравнение Лагранжа)

В расчетах используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

где: – непотенциальные силы (в случае данного расчета сила Стокса).

Производим составление координат и уравнений:

· [LATEX_FORMULA]\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\mathrm{m} \dot{x}[/LATEX_FORMULA]

· [LATEX_FORMULA]\frac{\partial L}{\partial x}=0[/LATEX_FORMULA]

· непотенциальная сила: [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{F_{x}}=-6 \pi \eta r \dot{x}[/LATEX_FORMULA]

· соответствующее уравнение [LATEX_FORMULA]\mathrm{m} \ddot{x}=-6 \pi \eta r \dot{x}[/LATEX_FORMULA]

· [LATEX_FORMULA]\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=\mathrm{m} \dot{\mathrm{y}}[/LATEX_FORMULA]

· [LATEX_FORMULA]\frac{\partial L}{\partial \mathrm{y}}=\left(\mathrm{m}-\rho_{ж} \mathrm{V}\right) \mathrm{g}[/LATEX_FORMULA]

· непотенциальная сила: [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{F_{\mathrm{y}}}=-6 \pi \eta r \dot{\mathrm{y}}[/LATEX_FORMULA]

· соответствующее уравнение [LATEX_FORMULA]m \ddot{y}=-6 \pi \eta r \dot{y}[/LATEX_FORMULA]

Аналогичная координате X

· соответствующее уравнение [LATEX_FORMULA]\mathrm{m} \ddot{z}=-6 \pi \eta \mathrm{r} \dot{z}[/LATEX_FORMULA]

Составив координаты и получив соответствующие им уравнения, переходим к составлению итоговых уравнений движения бактерии-кокка.

3.4. Составление итоговых уравнений движения кокка

Итоговое уравнение примет вид системы линейных уравнений:

3.5. Проведение анализа полученных уравнений

1. Горизонтальные движения (x, z):

Данные движения — затухающие колебания без внешней силы.

Решение —в виде уравнения: [LATEX_FORMULA]\dot{q_{t}}=\dot{q_{0}} e^{-t / \tau}[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA]\tau=\frac{m}{6 \pi \eta r}[/LATEX_FORMULA] — время релаксации скорости. При [LATEX_FORMULA]t \rightarrow \infty: \dot{x}[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\dot{z} \rightarrow 0 [/LATEX_FORMULA].

2. Вертикальное движение (у):

В данном движении есть постоянная «движущая» сила: [LATEX_FORMULA]\left(m-\rho_{\text {ж }} V\right) g[/LATEX_FORMULA]. Поэтому частица разгоняется до установившейся скорости [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{V_{\text {yст }}}[/LATEX_FORMULA], когда [LATEX_FORMULA]\ddot{\mathrm{y}}=0[/LATEX_FORMULA]:

Находим общее решение: [LATEX_FORMULA]\vec{V}_{y}(\mathrm{t})=\overrightarrow{V_{\text {уст }}}\left(1-e^{-t / \tau}\right)[/LATEX_FORMULA], где [LATEX_FORMULA] \tau=\frac{m}{6 \pi \eta r}[/LATEX_FORMULA].

3.6. Численное решение (реализация модели)

Приводим числовые данные (справочная информация из микробиологии):

1. Усредненный диаметр шаровидных бактерий (кокков) .

2. Усредненная плотность шаровидных бактерий (кокков)

3. Усредненная динамическая вязкость сточных вод ≈ природным водам .

4. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.

Оперируя представленными данными получаем:

Объем бактериальной частицы (кокк) равен: .

Масса бактериальной частицы (кокк) равна: .

Из найденной массы за вычетом плотности жидкости и объема частицы находим т.н. эффективную массу кокка (массу его стенок или «скелета»): .

Из полученного ранее (пункт V) соотношения вычисляем [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{V_{\text {уст }}}[/LATEX_FORMULA]:

[LATEX_FORMULA]\overrightarrow{V_{\mathrm{ycт}}}=\frac{\left(m-\rho_{ж} V\right) g}{6 \pi \eta r}=\frac{m_{эфф} g}{6 \pi \eta r}=\frac{0,53 * 10^{-16} * 9,81}{6 * 3,14 * 10^{-3} * 0,5 * 10^{-6}}=\frac{5,1993 * 10^{-16}}{9,42 * 10^{-9}}=0,552 * 10^{-7} \text{ м/с}=55,2 \text{ нм/с}[/LATEX_FORMULA].

Определяем силу тяжести заставляющую частицу-кокк оседать:

[LATEX_FORMULA]\overrightarrow{F_{g}}=\overrightarrow{F_{\text {тяж }}}=\mathrm{m} \vec{g}=5,76 * 10^{-16} * 9,81=5,65 * 10^{-15} \text{ H} [/LATEX_FORMULA].

Определяем Архимедову силу заставляющую частицу-кокк всплывать:

[LATEX_FORMULA]\overrightarrow{F_{A}}=\rho_{\text {ж }} \mathrm{Vg}=1000 * 5,23 * 10^{-19} * 9,81=5,14 * 10^{-15} \text{ H} [/LATEX_FORMULA].

Из проделанных расчетов видим, что сила тяжести преобладает – кокк опускается, поэтому определяем результирующую силу оседания:

[LATEX_FORMULA]\overrightarrow{F_{\mathrm{рез}}}=\overrightarrow{F_{g}}-\overrightarrow{F_{A}}=5,65 * 10^{-15}-5,14 * 10^{-15}=5,1 * 10^{-16} \text{Н}[/LATEX_FORMULA].

Определив результирующую силу [LATEX_FORMULA]\underset{F_{\mathrm{рез}}}{\longrightarrow}[/LATEX_FORMULA] и зная Стоксову силу трения (противоположную скорости) можно опять же определить [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{V_{\text {уст}}}[/LATEX_FORMULA] по следующему соотношению:

Сопоставляя полученные значения [LATEX_FORMULA]\overrightarrow{V_{\text {уст }}}[/LATEX_FORMULA] замечаем, что расхождение между ними минимальное, составляющее ≈ 2% т.е. цифры почти равные.

Зная установившуюся скорость легко определить и время разгона τ (время скоростной релаксации) [LATEX_FORMULA]\tau=\frac{m_{эфф}}{\overline{F_{s t}}}=\frac{0,53 * 10^{-16}}{9,42 * 10^{-9}}=5,63 * 10^{-9} \mathrm{c}=5,63 \mathrm{нc}[/LATEX_FORMULA].

Из полученных численных соотношений также легко определить потенциальную энергию частицы, действующую в направлении оси ОУ:

Таким образом, математическая модель, составленная на основе уравнений Лагранжа, показывает, что в сточной воде типичная уединенная кокковая бактерия очень медленно оседает (десятки нанометров в секунду), причем ее разгон (скоростная релаксация) до установившейся скорости почти мгновенный (5,63 нс), опосредованный малой разницей плотностей жидкости (сточная вода) и частицы, а также сильным вязкостным сопротивлением. Потенциальная энергия частицы, в общем случае не влияет на физику процесса (силы определяются градиентом U, а не ее абсолютным значением). Однако, потенциальная энергия задает «тенденцию» движения частицы (оседать или всплывать в зависимости от соотношения плотностей) но не ее точную траекторию [16]. Также расчеты показывают, что среднее время необходимое для прохождения частицы-кокка на глубину всего 1 мм в жидкости (сточной воде) составляет около 5 часов. Если принять за допущение справочное время деления частицы надвое, составляющее в среднем 25 минут [17], то рассмотренная частица-кокк в своем первозданном виде никогда не достигает дна (обречена на «вечное» деление и «витание»). Моделирование указывает на то, что из-за разницы плотностей и вязкостного сопротивления представленные микроорганизмы скорее не оседают, а «витают» и размножаются. Этот наглядный пример показывает, почему очистка сточных вод не роскошь, а жизненная необходимость, ведь без надлежащей очистки сточных вод представленные микроорганизмы накапливаются, создавая риск биологического загрязнения водоемов и распространения инфекций, угрожая экосистеме и здоровью людей [18].

4. Заключение

Проведённое численное моделирование движения бактерий-кокков методом механики Лагранжа позволило получить количественные оценки о кинетике их оседания в сточной воде, основными результатами которой явились определения как скорости оседания кокков, составляющей десятки нанометров в секунду, так и времени разгона до установившейся скорости (практически мгновенной в масштабе биологических процессов). Расчётным путем было установлено, что для оседания на глубину всего в 1 мм требуется около 5 часов, т.е. за время жизни представленная бактерия-кокк не успевает достичь дна водоёма, успевая либо погибнуть, либо разделиться. Полученные результаты имеют практическое значение, подтверждая, что сточные воды не могут самостоятельно эффективно очищаться за счёт осаждения бактерий, т.е. отсутствует т.н. «эффект отстаивания». Это обстоятельство обосновывает необходимость применения искусственных методов очистки (фильтрация, флокуляция, биологическая очистка и проч.). Кроме того, представленные результаты намечают количественную основу для проектирования очистных сооружений с учётом кинетики движения микроорганизмов. Дальнейшие исследования могут быть направлены на изучение влияния турбулентности и потоков воды на движение бактерий, моделирование движения других бактериальных морфотипов (например, кишечных палочек, спирилл и т.д.), а также на взаимодействия бактерий с иными частицами-загрязнителями (эффект конденсации).

The additional file for this article can be found as follows: