1. Введение

Современное строительство характеризуется ростом требований к качеству, долговечности и экономической эффективности строительных материалов, прежде всего бетона, как основного конструкционного материала в гражданском и промышленном строительстве. В условиях развития рынка недвижимости

[1, С. 56]

Традиционные эмпирические методы проектирования составов бетона, основанные на последовательных однофакторных экспериментах

[2, С. 57][3, С. 103][4, С. 157][5, С. 67]

Цель исследования — разработать математическую модель зависимости прочности цементного композита от параметров модифицированного вяжущего: содержания доломита, дисперсности доломита и количества диатомита, а также определить рациональные значения факторов на основе многофакторного планирования эксперимента.

Задачи исследования:

1. Сформировать математическое факторное пространство эксперимента, включающее три независимые переменные: x1 Missing Mark : sub— содержание доломита; x2 Missing Mark : sub— дисперсность доломита; x3 Missing Mark : sub— содержание диатомита.

2. Построить матрицу полного факторного эксперимента 33Missing Mark : sup и определить функции отклика: прочность при изгибе и сжатии в возрасте 1, 3, 7 и 28 суток.

3. Получить квадратичные регрессионные модели.

4. Оценить статистическую значимость и адекватность моделей по критериям Стьюдента, Фишера и коэффициенту детерминации R2Missing Mark : sup, а также определить рациональные сочетания факторов, обеспечивающие повышение прочности бетона.

Научная новизна исследования заключается в установлении математически описанных нелинейных зависимостей прочности цементных композитов от совместного влияния доломитовой и диатомитовой добавок с учетом дисперсности доломита. В отличие от традиционного эмпирического подбора состава, в работе предложен расчетно-статистический подход, позволяющий прогнозировать прочность бетона на разных сроках твердения по регрессионным моделям второго порядка.

Оригинальность исследования состоит в том, что для системы «цемент — доломит — диатомит» прочностные характеристики рассматриваются не как результат изолированного влияния отдельных компонентов, а как функция трех взаимосвязанных факторов. Это позволило учесть линейные, квадратичные и парные эффекты взаимодействия факторов, выявить экстремальные области факторного пространства и перейти от опытного подбора состава к математически обоснованной оптимизации модифицированного вяжущего.

2. Методы и принципы исследования

В системе МФПЭ план эксперимента представляется в виде матрицы планирования, строки которой соответствуют отдельным опытам, а столбцы отражают уровни контролируемых и управляемых параметров исследуемого процесса. В рамках настоящего исследования в качестве откликов процесса были приняты показатели прочности бетона при изгибе — RизгMissing Mark : sub и при сжатии RсжMissing Mark : sub, определенное в возрасте 1, 3, 7 и 28 суток твердения. Выбор минеральных добавок для данного исследования (доломит и диатомит) обусловлен успешным опытом применения аналогичных по механизму действия компонентов (диопсид и известняк)

[6, C. 2]

Современные исследования в области моделирования свойств бетона показывают, что наиболее информативными являются регрессионные модели, учитывающие не только линейный вклад факторов, но и эффекты их взаимодействия

[7, С. 30]

где Missing Mark : subY — функция отклика, случайная величина;

x1Missing Mark : sub, x2Missing Mark : sub,...,xnMissing Mark : sub — независимые переменные, факторы исследуемого эксперимента;

ε — случайная ошибка измерений.

3. Основные результаты

На первом этапе моделирования использован план первого порядка, обеспечивающий получение линейной аппроксимации с учетом взаимодействий исследуемых факторов:

где x1Missing Mark : sub, x2Missing Mark : sub, x3Missing Mark : sub — значение факторов;

b0Missing Mark : sub — свободный член уравнения регрессии, равный значению отклика при отсутствии влияния факторов;

b1Missing Mark : sub, b2Missing Mark : sub, b3Missing Mark : sub — коэффициенты регрессии, указывающие на влияние определенного фактора;

b12Missing Mark : sub, b13Missing Mark : sub, b23Missing Mark : sub — коэффициенты произведения факторов, свидетельствующие о наличии взаимодействия между ними.

Данный способ моделирования применяется для первичной оценки влияния каждого из исследуемых факторов на прочность системы. Коэффициенты biMissing Mark : sub позволяют количественно определить вклад содержания доломита, его дисперсности и количество диатомита в формировании прочности бетона в различные сроки твердения. Члены взаимодействия bijMissing Mark : sub, xiMissing Mark : sub, xjMissing Mark : sub отражают совместное влияние количества добавки и ее дисперсности, что принципиально важно, поскольку увеличение содержания добавки при недостаточной дисперсности может приводить к эффекту разуплотнения структуры. Таким образом, линейная модель используется для выявления доминирующих факторов и их парных взаимодействий, а также для предварительного отбора рациональных областей факторного пространства. Для построения линейного уравнения регрессии независимые факторы должны варьироваться не менее, чем на двух уровнях, при этом количество строк в матрице планирования вычисляется как 2nMissing Mark : sub.

На втором этапе моделирования использован план второго порядка, предназначенный для получения квадратичной регрессионной модели:

где bijMissing Mark : sub — коэффициенты регрессии i-го фактора, возведенные в степень квадрата.

Уравнение (3) вводится для учета нелинейного характера влияния минеральных добавок на прочностные характеристики бетонной смеси. Квадратичные члены регрессии - b11Missing Mark : subx1Missing Mark : sub2Missing Mark : sup Missing Mark : subи b22Missing Mark : subx2Missing Mark : sub2Missing Mark : sup позволяют определить предельные значения содержания доломита и его дисперсности, при повышении которых наблюдается снижение прочности вследствие ухудшения гранулометрического состава или роста водопотребности смеси. Квадратичный член — b33Missing Mark : subx3Missing Mark : sub2Missing Mark : sup отражает оптимальный диапазон содержания диатомита, при котором достигается максимальный эффект пуццоланической активности. Таким образом, квадратичная модель используется для поиска экстремума функции отклика и определения оптимальных сочетаний количества и дисперсности минеральных добавок.

Для построения регрессионной модели второго порядка независимые факторы должны варьироваться не менее чем на трех уровнях, что обусловлено необходимостью оценки квадратичных эффектов факторов. В данном случае использован трехуровневый план эксперимента, в котором реализуются все возможные сочетания n факторов на трех уровнях варьирования. такой план представляет собой полный факторный эксперимент с числом строк в матрице планирования, равным 3nMissing Mark : sup. При трех факторах количество опытов составляет 27, что обеспечивает возможность статически обоснованной оценки коэффициентов квадратичной регрессионной модели. Число неизвестных коэффициентов данной модели определяется уравнением:

где n — число факторов.

В целях упрощения построения регрессионной модели и повышения корректности анализа в работе осуществлен переход от натуральных значений факторов к кодированным безразмерным переменным, определяемым соотношением:

где xiMissing Mark : sub — натуральное значение i-го фактора;

xi0Missing Mark : sub — значение i-го фактора на нулевом уровне (центральный уровень варьирования);

ΔxiMissing Mark : sub — половина интервала варьирования фактора;

x'Missing Mark : supiMissing Mark : sub — кодированное (безразмерное) значение i-го фактора.

Кодированные факторы принимают значение +1 при верхнем уровне фактора: xiMissing Mark : sub = xiвMissing Mark : sub и -1 при нижнем уровне фактора xiMissing Mark : sub = xiнMissing Mark : sub, при этом нулевое значение соответствует центральному уровню варьирования. Использование кодированных факторов позволяет исключить влияние различий в размерностях и диапазонах изменения факторов, а также обеспечить сопоставимость их вкладов в формирование функции отклика.

Для определения интервала варьирования i-го фактора воспользуемся формулой:

Тогда обратный переход от кодированных переменных к натуральным значениям факторов осуществляется согласно уравнению:

Планы второго порядка формировались путем дополнения базового плана первого порядка 2nMissing Mark : sup, предназначенного для построения линейной регрессионной модели, дополнительными опытами. Эти опыты включали комбинации, в которых по меньшей мере один фактор принимал нулевой уровень, что позволило учесть нелинейный характер влияния факторов и обеспечить возможность оценки квадратичных членов регрессионного уравнения.

Натуральные значения факторов, соответствующие кодированным уровням приведены в таблице 1.

Матрица планирования полного факторного эксперимента 33Missing Mark : sup обладает рядом важных функциональных свойств, обеспечивающих корректность статистической обработки экспериментальных данных:

1. Симметричность — сумма элементов каждого столбца, соответствующего факторам x1Missing Mark : sub, x2Missing Mark : sub, Missing Mark : subx3Missing Mark : sub равна нулю. Данное свойство обеспечивает независимость оценки свободного члена регрессионного уравнения от влияния факторов и позволяет получить несмещенные оценки средних значений прочности бетона при изгибе и сжатии.

2. Ортогональность — сумма произведений соответствующих элементов любых двух столбцов различных факторов равна нулю. Это свойство гарантирует статистическую независимость оценок коэффициентов регрессии, что особенно важно при анализе совместного влияния содержания доломита, его дисперсности и количества диатомита на прочностные характеристики бетона.

Матрица планирования полного факторного эксперимента 33Missing Mark : sup приведена в таблице 2.

На основании сформированной матрицы планирования и экспериментальных данных были выполнены расчеты коэффициентов регрессии квадратичных моделей для показателей прочности бетона при изгибе и сжатии в возрасте 1, 3, 7, 28 суток твердения. Определение коэффициентов регрессии осуществлялось методом наименьших квадратов и использованием кодированных значений факторов. С учетом ортогональности плана оценки коэффициентов регрессии вычислялись независимо друг от друга, согласно уравнению:

где yjMissing Mark : sub — значения отклика, полученные экспериментально;

y'jMissing Mark : sub — значения отклика, вычисленные по уравнению регрессии;

k — число строк в матрице планирования, равное числу опытов.

В рамках принятой статистической модели погрешностей, учитываю щей некоррелированность и равноточность результатов измерений отклика, задача минимизации функции приводит к системе линейных алгебраический уравнений вида:

где y = {y1Missing Mark : sub, y2Missing Mark : sub,...ynMissing Mark : sub}TMissing Mark : sup — вектор экспериментальных значений отклика;

X — матрица планирования эксперимента размерностью k(n+1), включающая столбец единиц, столбцы значений факторов и их комбинаций;

b = {b0Missing Mark : sub, b1Missing Mark : sub,...,bdMissing Mark : sub}TMissing Mark : sup — вектор искомых значений коэффициентов регрессии.

Решение системы (9) методом наименьших квадратов при использовании обратной матрицы имеет вид:

Данное выражение справедливо для случая однократных опытов. В условиях настоящего исследования, когда в каждой точке плана, соответствующей определенной комбинации значений факторов, проводилось n параллельных испытаний образцов, в качестве элементов вектора y использовались средние значения отклика. Такой подход позволяет снизить влияние случайных погрешностей, обусловленных технологической неоднородностью бетонной смеси и разбросом прочностных характеристик образцов, и обеспечивает повышение достоверности оценки коэффициентов регрессии.

На основании результатов испытаний на прочность при продолжительности твердения 1 сутки построено семейство регрессионных моделей второго порядка для:

1. Определения прочности при изгибе после 1, 3, 7, 28 суток:

2. Определения прочности при сжатии после 1, 3, 7, 28 суток:

В уравнениях (11–18) коэффициенты представлены в натуральных единицах, что необходимо для прямой интерпретации результатов в контексте экспериментов. Использование натуральных значений позволяет оценить влияние конкретного количества добавки доломита или диатомита и их дисперсности на прочностные характеристики бетонной смеси, измеряемые в экспериментах. Это обеспечивает практическую применимость моделей: прямой использование полученных коэффициентов для корректировки состава смеси без дополнительных пересчетов. Для оценки статической значимости коэффициентов использовалась стандартная Т-статистика:

где SbiMissing Mark : sub2Missing Mark : sup — выборочная дисперсия коэффициента;

S2Missing Mark : sup — оценка обобщенной дисперсии;

Сравнение рассчитанных ТbjMissing Mark : sub с критическим значением t1-2, k-dMissing Mark : sub = 2,11 при α = 0,05, позволило определить какие коэффициенты являются статистически значимыми. В ходе анализа экспериментальных данных было выявлено, что для некоторых коэффициентов линейных и квадратичных членов условие TbjMissing Mark : sub > tкритMissing Mark : sub не выполняется. Эти коэффициенты были исключены их окончательной версии уравнений (11–18), так как их влияние на отклик в рамках проведенного эксперимента статистически не подтверждено. Данный подход обеспечивает простоту и адекватность моделей, исключая малозначимые параметры и снижая вероятность переобучения модели на экспериментальных данных. Выбор уровня значимости α = 0,05 обусловлен практическими данными, применяемыми в инженерных и строительных исследованиях

[8, С. 9][9, С. 98]

Также для определения качества предложенных моделей для каждого из уравнений (11-18) был вычислен множественный коэффициент детерминации R2Missing Mark : sup, который отражает долю вариации отклика, объясненную изменением факторов (0 ≤ R2Missing Mark : sup ≤ 1). Для проверки статистической значимости всей регрессионной модели применялся критерий Фишера:

Значения множественного коэффициента детерминации и критерия Фишера для уравнений (11–18) приведены в таблице 3.

Рассчитанные значения критерия Фишера сравнивались с квантилем распределения Фишера F1-α; 2; k-3Missing Mark : sub. Для выбранного уровня значимости α = 0,05 критическое значение составило 3,403. Сравнение показало, что все уравнения нелинейной множественной регрессии являются статически значимыми на данном уровне доверия. Анализ данных, представленных в таблице 3, свидетельствует о том, что построенные уравнения адекватно описывают зависимость прочностных свойств бетонной смеси от состава и дисперсности минеральных добавок и хорошо согласуются с экспериментальными результатами.

Для наглядной иллюстрации влияния факторов на отклик были построены тернарные графики (Рис. 1) и (Рис. 2) представляющие собой поверхность отклика, зависящего от трех факторов. Каждая точка графика соответствует расчетам по формулам (11–18) для конкретного набора значений x1Missing Mark : sub, x2Missing Mark : sub, x3Missing Mark : sub. Тернарные графики построены с использованием программного пакета STATISTICA

[10]

[11][12]

В рамках настоящего исследования воспроизводимость оценивалась на основе серийных испытаний образцов, выполненных в каждой точке плана эксперимента. Для определения прочности при изгибе использовались серии из трёх образцов, а для прочности при сжатии — из шести образцов, что соответствует общепринятым требованиям к испытаниям строительных материалов.

Для каждой точки плана вычислялось среднее значение отклика и выполнялась оценка результатов с использованием выборочной дисперсии.

Для сопоставления степени разброса результатов при различных уровнях отклика рассчитывался коэффициент вариации. Анализ полученных значений показал, что коэффициент вариации для прочности при изгибе находится в пределах 2,8–4,6%, а для прочности при сжатии — в пределах 3,5–5,8%, что соответствует высокой степени воспроизводимости результатов для материалов на основе цементных вяжущих.

Для проверки однородности дисперсий, являющейся необходимым условием корректности применения методов регрессионного анализа, использовался критерий Кохрена

[13]

где k — число точек плана эксперимента.

В результате расчётов получено значение критерия G = 0,21.

Критическое значение критерия Кохрена при уровне значимости α = 0,05, числе опытов k = 27 и числе повторностей r = 3-6 составляет GкрMissing Mark : sub — 0,35. т.к условие G < GкрMissing Mark : sub выполняется можно сделать вывод об однородности дисперсий экспериментальных данных.

Однородность дисперсий является необходимым условием корректного применения метода наименьших квадратов при оценке коэффициентов регрессионных моделей. Выполнение данного условия свидетельствует об отсутствии систематического увеличения разброса отклика при изменении факторов и обеспечивает статистическую состоятельность полученных моделей.

4. Заключение

Таким образом, проведенное исследование демонстрирует, что методы МФПЭ и регрессионного моделирования второго порядка являются эффективным инструментом для оптимизации состава бетонных смесей, позволяя:

1. Оценить индивидуальное и совместное влияние минеральных добавок на прочностные свойства бетона.

2. Построить адекватные математические модели, пригодные для практического использования в проектировании составов.

3. Обеспечить достоверность прогнозов и снизить неопределенность, связанную с технологической вариабельностью компонентов смеси.

4. Визуализировать влияние факторов на свойства смеси, что облегчает принятие решений при разработке составов бетона.

Полученные результаты имеют прямое практическое применение в гражданском и промышленном строительстве и могут быть использованы при разработке технологических регламентов производства бетонных смесей с повышенной прочностью и стабильностью свойств, что соответствует современным требованиям к качеству, долговечности и экономической эффективности строительных материалов.

The additional file for this article can be found as follows: