1. Введение

Из-за сложности проведения контролируемых экспериментов основным инструментом анализа социально-экономических процессов является моделирование

[1, C. 95].[2, C. 67].

Для трендового моделирования наиболее востребованы полиномиальные модели первой, второй и третьей степени, экспоненциальные модели и S-образные кривые с пределом роста (кривая Гомперца и логистическая кривая) [3, C. 113–115].

Результатом экстраполяции трендовой модели является некое прогнозное значение, например «наиболее вероятная численность постоянного населения региона в следующем году составит 2322292 человек». Однако вероятность такого точечного прогноза крайне мала [4, C. 47]. Современные методы прогнозирования не позволяют предсказать численность населения с точностью до каждого человека.

Чтобы сгладить очевидную неточность точечного прогноза, его можно округлить, например, до тысячи человек [5, C. 75] — «прогноз численности населения — 2322 тысячи человек». В этом случае неявно обозначается допустимая величина погрешности прогноза как половина цены последней значащей цифры, т.е. ±500 человек [6, C. 13].

Если уравнение тренда рассматривать как выборочное, то есть подверженное ошибкам репрезентативности своих параметров, то можно вычислить доверительные интервалы, внутри которых с заданной высокой вероятностью проходит линия тренда в генеральной совокупности [7, C. 46]. Например, «с вероятностью 90% численность населения составит 2322292 ±15487 человек».

Методики оценки предельной ошибки прогноза основаны на полиномиальных моделях первой, второй и третьей степени. Но такие модели не подходят для описания процессов с постоянным темпом прироста или убыли, характерных для экспоненциальной модели

где

—

—

Экспоненциальная модель легко приводится к линейному виде при логарифмировании:

Логарифмированная форма модели удобна для регрессионного анализа и оценки предельной ошибки прогноза, а для самого прогноза применяется обратное преобразование (восстановление):

Такой подход позволяет включить экспоненциальную модель в конкурс моделей при интервальном прогнозировании, однако существующие исследования не дают конкретных рекомендаций по этому вопросу.

В исследовании использовались метод регрессионного анализа, принцип вариативности интервалов наблюдения, метод логарифмического преобразования, статистические методы оценки значимости.

2. Основные результаты

Для выявления специфики участия

логарифмированных моделей в конкурсе моделей интервального прогнозирования р—[8]

Выбран интервал наблюдения с 2011 по 2025 год, что составляет 15 лет (данные приведены в табл. 1).

В исследовании применялись четыре математические модели: линейная, квадратичная, кубическая и экспоненциальная.

Коэффициенты для этих моделей были определены с помощью регрессионного анализа. Коэффициенты регрессии логарифмированных моделей рассчитывались на основе логарифмированных исходных данных.

Для линейной и экспоненциальной функции с учетом с учетом количества степеней свободы использован переменный интервал наблюдения от 3 до 15 лет, что позволило получить по 13 вариантов регрессионных моделей Для квадратичной и кубической моделей число вариантов составило 12 и 11 соответственно.

Все 49 моделей достаточно хорошо описывают исходные данные: коэффициент детерминации R2Missing Mark : sup меняется в пределах от 0,86 до 0,99 (среднее значение 0,96).

По результатам проверки статистической значимости параметров уравнения регрессии с уровнем значимости α = 0,1 исключены из рассмотрения по 6 вариантов квадратичной и кубической моделей.

Для оставшихся вариантов моделей проведена оценка предельных значений ошибок прогноза

D [9, С. 137–138]В.Н. Наумова [10, С. 64–65]

Непосредственное сопоставление оценок ошибок прогноза полиномиальных и логарифмированных моделей некорректно, поэтому дополнительно:

1. Проверены значения коэффициентов детерминации R2Missing Mark : sup восстановленных после логарифмирования моделей (выявлены незначительные изменения в пределах 0,5%).

2. Из-за мультипликативности экспоненциальной функции ошибки прогноза восстановленных моделей

Dв

Dв ¹ exp(D),

Dв = 0,5(ymax – ymin) = 0,5(exp(yk + Dв) – exp(yk – Dв)),

где yk — точечный прогноз по логарифмированной модели.

Полученные результаты представлены в табл. 2 (минимальные значения выделены полужирным шрифтом).

Нетрудно заметить существенную вариацию результатов моделирования: оценки ошибки прогноза модели изменяются в широких пределах от 4113 до 27715 (без учета логарифмированной модели).

Восстановленная модель оказалась лучше линейной: ошибка варианта модели для шестилетнего интервала наблюдения

Лучшей в конкурсе оказалась квадратичная модель для четырехлетнего интервала наблюдения

В нашей работе мы столкнулись с интересным методологическим парадоксом, который можно назвать эффектом «смены лидера»

—

– в логарифмированном виде лучший вариант – для 15-ти летнего интервала наблюдения (

D = 1,78);

– в восстановленном виде Dв = 27512)

– вариант модели для шестилетнего интервала наблюдения в логарифмированном виде занимал 10 место (

D = 2,14), а в восстановленном виде поднялся на первое Dв = 9649).

Этот эффект имеет принципиальное значение для решения практических задач, особенно в контексте социологических исследований. Если на этапе анализа логарифмированных моделей выбрать кажущийся очевидным вариант для 15-летнего интервала, то оценка ошибки прогноза окажется в три раза больше, чем ошибка оптимального после восстановления варианта. Это приведет к неверной интерпретации демографической ситуации: исследователь сделает вывод о высокой неопределенности прогноза (высокой вариативности численности населения), хотя объективно (по восстановленной модели) динамика процесса более определенна.

Данный эффект обусловлен нелинейностью логарифмического преобразования (сжимает шкалу для больших значений и растягивает для малых).

Рассчитаем доверительный интервал прогноза по

D411323193904113.

Поучается, что численность населения на следующий год с вероятностью 90% окажется в диапазоне от 2315277 до 2323503 человек. Это уже не просто абстрактные цифры, а конкретный социальный факт, имеющий значение для планирования бюджетных расходов, социальных программ и т.д.

Таким образом, конкурс моделей в интервальном прогнозировании — не просто техническая процедура, а содержательный методологический этап, от которого зависит достоверность социологических выводов. Использование логарифмированных моделей требует от исследователя глубокого анализа: красивые цифры на промежуточных этапах могут быть обманчивыми. Только восстановленная модель, «возвращенная» в реальность исходных показателей, имеет право на участие в конкурсе и последующую интерпретацию.

3. Заключение

В математическом аспекте: в ходе исследования выявлен и экспериментально подтвержден методологический эффект «смены лидера». Он заключается в том, что модель, демонстрирующая наилучшие показатели точности в логарифмированном виде, после обратного преобразования в исходную шкалу может значительно ухудшить свои прогнозные характеристики и уступить лидерство другим моделям. Доказана необходимость проведения окончательного отбора моделей для интервального прогнозирования исключительно по восстановленным значениям, так как использование только логарифмированных моделей может привести к выбору заведомо неоптимального варианта.

В социологическом аспекте: корректный отбор математической модели имеет прямое влияние на достоверность выводов о социальных и демографических процессах. В применении к прогнозированию численности населения Иркутской области, наилучший результат (минимальная ошибка прогноза) показала квадратичная модель, что позволяет с наибольшей точностью определить границы доверительного интервала для планирования. Игнорирование эффекта «смены лидера» (выбор модели на основе логарифмированных данных) привело бы к трёхкратному завышению оценки неопределенности прогноза, что исказило бы представление о стабильности развития демографической ситуации. Следовательно, для получения объективных социальных данных необходим не просто расчет, а содержательный методологический контроль за процедурой преобразования моделей.

The additional file for this article can be found as follows: