1. Введение

Основным методом томографической реконструкции является метод обратного проецирования фильтрованных проекций с использованием быстрого преобразования Фурье

[1][2][3][4]с ограниченным набором проекций с целью снижения лучевой нагрузки.

Альтернативой реконструкции методом обратного проецирования является использование итерационных алгебраических методов

[5][6][7][8][10][13][16]

2. Новизна работы

Метод сглаживания изображений, основанный на минимизации L0 градиента, был опубликован в 2011 г. в работе

[17][18]

Предложенная нами фильтрация синограмм в процессе итерации дает возможность усилить края реконструируемого изображения и тем самым делать более эффективным регуляризацию по L0 норме. Другим важным шагом является использование метода моментов, который существенно ускоряет итерационный процесс. В ходе численного моделирования нами также было установлено, что оптимальное убывание величины порога сглаживания в процессе итерации осуществляется по степенному закону.

Используемый нами алгоритм L0 сглаживания характеризуется также высокой скоростью обработки изображений мегапиксельного формата со скоростью в сотни кадров в секунду при использовании графического процессора. Это позволяет применять быстрое послойное сглаживание трехмерного изображения непосредственно в итерационном процессе реконструкции, обеспечивая высокую скорость и качество малоракурсной реконструкции трехмерных объектов.

3. Описание алгоритма

Типичная алгебраическая реконструкция осуществляется последовательным сравнением преобразования Радона текущей реконструкции с синограммой данных. Разница синограмм проецируется обратно в пространство изображений при помощи оператора обратного проецирования. В результате этой операции получается корректирующее изображение, которое с определенным весовым коэффициентом, определяющим шаг итерации, добавляется к текущему изображению (рис. 1).

Чтобы получить однозначное решение в виде точки х_true необходимо либо добавить проекционные данные, которые дают другую гиперплоскость, пересечение которой с исходной дает решение, либо использовать многообразие, составленное из изображений, удовлетворяющих определенным априорным условиям, например, условию кусочной постоянности, которое математически выражается условием минимизации L1 или L0 нормы градиента. Применительно к более сложным объектам определенного типа, например для исследований медицинских и биологических объектов, многообразие дополнительных данных определяется методами сбора статистических данных с явным выделением главных компонент аналитическими методами

[19][20][21]

Оператор обратного проецирования AT является оператором, сопряженным к оператору проецирования, и его действие заключается в том, чтобы пошагово проецировать текущую разницу синограмм на ядро оператора проецирования, задаваемое уравнением Ax=0 (рис. 2). Наряду с сопряженным оператором, в алгоритмах SIRT и SART в качестве оператора обратного проецирования используются транспонированные операторы с весовыми коэффициентами.

В случае томографии с параллельными пучками, в качестве оператора, обратному к оператору А, используется комбинация частотной фильтрации синограммы с последующим обратным проецированием при помощи транспонированной матрицы. В этом случае при шаге итерации с t=1 итерационный алгоритм, представленный на рис. 1 уже на первом шаге итерации дает точное решение.

В случае постепенного перехода от параллельного пучка к веерному или конусному или при переходе от полного к разреженному набору данных, резонно ожидать, что фильтрация проекций с обратным проецированием в веерном пучке дает более точное приближение, чем простое обратное проецирование. Поэтому итерационную процедуру можно выполнять с большим шагом и с большей точностью за меньшее число операций (рис. 3).

4. Результаты численного моделирования и их обсуждение

Вышеизложенный алгоритм был протестирован в среде MATLAB (R2023a)

применительно к 2D и 3D реконструкции цифровых фантомов в круговой геометрии сканирования веерным и конусным пучками.

В первом тесте была промоделирована малоракурсная реконструкция цифрового фантома Форбильда размером 500×500 в веерно-лучевой геометрии при различном числе проекций. Использовались синограммы, полученные для радиального расстояния источник–объект равного 700 мм и веерного пучка с высокой расходимостью в 60° и числом лучей в веерном пучке равном 750, что обеспечивало прохождение каждого пиксела в среднем 1 лучом. Такая экстремальная геометрия была выбрана для обеспечения минимизации эффекта криминальной инверсии, обусловленной пиксельной дискретизацией поля реконструкции. Во втором тесте реконструкция аналогичного фантома производилась для геометрии с ограниченным угловым

сканированием, используемой в ламинографии.[22]

Далее в масштабе натурального логарифма показана разница исходного и реконструированного фантомов.

В качестве меры точности реконструкции использовалась нормированная среднеквадратичная погрешность d, определяемая как отношение евклидового расстояния между векторными представлениями исходного и реконструированного цифрового фантома к евклидовой норме исходного фантома:

где буквами t и h обозначены векторные представления реконструированного и исходного фантомов длиной N c индексами i.

Более информативным является попиксельное представление точности реконструкции в виде карты разницы объектов (рис. 4-7) с псевдоцветной шкалой в логарифмическом масштабе. Данное представление позволяет оценить качество реконструкции на разных пространственных частотах. Сравнение 2D реконструкций для малоракурсной и малоугловой съемки показывает, что малоракурсная реконструкция точнее малоугловой. Это отражает тот факт, что в первом случае происходит фактически интерполяция изображения объекта в пределах шага углового сканирования, в то время как во втором случае замещение отсутствующих данных вне углового диапазона сканирования происходит за счет экстраполяции.

Для проведения численных экспериментов по 3D реконструкции нами использовался 3D фантом Шепп-Логана и программный модуль реконструкции методом Фельдкампа из томографического пакета TIGER c открытым исходным кодом. В данном пакете прямое и обратное проецирование осуществляется без использования системных матриц посредством параллельной трассировки лучей на графическом процессоре (ГП). Исходный код написан на языке С++ с расширением CUDA и обмен данных между оперативной памятью центрального процессора (ЦП) и памятью ГП организуется в MATLAB через MEX (MATLAB Executable) интерфейс. Непосредственный доступ к памяти ГП в процессе исполнения кода из среды MATLAB был невозможен, поскольку код MATLAB и код, собранный в MEX файле, работают в разных адресных пространствах. Чтобы циклически запускать алгоритм Фельдкампа и затем использовать его результат для сглаживания в среде MATLAB с использованием ГП в другом адресном пространстве, использовался обмен данными между ЦП и ГП, что снизило скорость реконструкции из-за простоя ГП. Вычисления для 3D реконструкции производились с использованием одинарной 32-битной точности. Геометрия численного эксперимента была задана в формате структуры geo из пакета TIGER

[23]

Угловые положения (для 20 и 40 проекций) были распределены равномерно в интервале от 0 до 220º.

Для референсной оценки качества и скорости реконструкции нашим алгоритмом была произведена реконструкция фантома с аналогичными параметрами съемки методом ASD-POCS, реализованном в пакете TIGER (рис. 10). В алгоритме ASD-POCS с использованием графического процессора осуществляются шаги алгебраической реконструкции со сглаживанием изображений TV нормой. Среди алгоритмов реконструкции, представленных в пакете TIGER, реконструкция с использованием TV нормы оптимальна для решения задач малоракурсной томографии

[23]

5. Заключение

Полученные нами результаты показывают, что малоракурсная реконструкция объектов в формате 512x512x512 может осуществляться за разумное время в несколько минут, а также в формате 1500x1500x50 применима для многослойных планарных объектов, например печатных плат. По данным работы

[23][24][25]

The additional file for this article can be found as follows: