1. Введение
Конвективные процессы играют важную роль в различных природных явлениях и технических приложениях, таких как атмосферные движения, океанские течения и теплообменные процессы. Они возникают из-за неравномерного распределения температуры и плотности в жидкостях и газах, вызывая движение вещества под воздействием гравитации. Понимание этих процессов необходимо для прогнозирования погодных условий, улучшения эффективности теплообменников и других инженерных устройств.
Моделирование конвекционных течений традиционно осуществляется с помощью уравнений Навье-Стокса и уравнения теплопроводности. Однако в случаях сложных течений, особенно при воздействии внешних факторов, таких как ветер, получение точного аналитического решения становится затруднительным. В связи с этим возрастает значимость численных методов для анализа таких задач.
Данная статья посвящена численному решению краевой задачи, описывающей конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном слое. Особое внимание уделено влиянию стратификации и сдвиговых течений на структуру потока и распределение полей скорости.
Ранее проведённые исследования показали важность учета стратификации и сдвиговых эффектов в моделях конвективных течений [1], [2]. В работах [3], [4] обсуждаются различные подходы к численному решению уравнений Навье-Стокса [5], [6], [7], а также рассматриваются точные решения для специальных классов течений [8], [9].
Цель настоящего исследования заключается в сравнении численной методики для решения краевых задач, связанных с конвективными течениями в горизонтальных слоях жидкости, с ранее полученными аналитическими решениями. Результаты этой работы будут полезны для дальнейшего развития теории гидродинамики и её практических применений.
2. Постановка задачи
Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном слое постоянной толщины h. В отличие от изотермического случая [10], конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости описывается классической системой уравнений [1], [2]:
- уравнение Навье-Стокса в приближении Буссинеска:
- уравнение теплопроводности:
- уравнение несжимаемости жидкости:
Здесь Vx, Vy, Vz — компоненты скорости, параллельные соответствующим осям координат прямоугольной декартовой системы Oxy. Система координат введена так, что ось Oz направлена строго вверх. P = P(x, y, z)— отклонение давления от гидростатического, отнесённое к постоянной средней плотности жидкости ρ, T = T(x, y, z) отклонение температуры от средней,β— температурный коэффициент объемного расширения, [LATEX_FORMULA]$v$[/LATEX_FORMULA] — коэффициент кинематической вязкости, [LATEX_FORMULA]$\chi$[/LATEX_FORMULA] — коэффициент температуропроводности рассматриваемой жидкости.
Имеются пять уравнений (1)-(3) и 4 неизвестных Vx, Vy, P, T. Такая система является переопределенной. Будем искать решение для ненулевых компонент вектора скорости (Vx, Vy) в виде [4], [5], [6], [11], [12]:
При подстановке представления (4) в уравнение несжимаемости (3) последнее удовлетворяется тождественно. Проблема с переопределением разрешена.
После несложных преобразований получаем итоговую систему уравнений:
В итоге система уравнений в частных производных (1)-(3) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5) для нахождения неизвестных функций [LATEX_FORMULA]$u, a, v, P_0, P_1, P_2, T_0, T_1, T_2$[/LATEX_FORMULA].
Общее решение системы (5) представляет собой набор полиномиальных функций не выше четырнадцатой степени.
3. Краевая задача
В решение системы (5) входят пятнадцать постоянных интегрирования, для их определения потребуются граничные условия. Будем рассматривать течение в слое жидкости толщины h, нижней границе которого соответствует значение z=0 вертикальной координаты. Положим, что на нижней границе выполняется условие прилипания, а также известно распределение температуры:
[LATEX_FORMULA]$\begin{gathered}u(0)=v(0)=a(0)=0, \\ T_0(0)=\theta_0, T_1(0)=A, T_2(0)=B\end{gathered}$[/LATEX_FORMULA]
На верхней же границе (при z=h) положим известными распределение поля скорости, температуры и давления:
Здесь W — значение фоновой скорости течения жидкости на верхней поверхности слоя, угол характеризует направление вектора скорости по отношению к координатным осям Oxy, [LATEX_FORMULA]$\Omega$[/LATEX_FORMULA] — завихренность.
Численное решение задачи будет построено с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка [13], [14].
4. Основные результаты
Подробный анализ точного решения системы дифференциальных уравнений (5) для поля скорости был проведен и опубликован ранее [15]. Воспользуемся теперь полученными аналитическими результатами, сравнивая с ними приведенные ниже в данной работе численные решения [16], [17]. Численное решение представляет собой набор точек. Для наглядности эти точки будут наложены на кривые, отвечающие точному решению сформулированной краевой задачи.
Для удобства дальнейшего анализа нормируем вертикальную координату [LATEX_FORMULA]$Z$[/LATEX_FORMULA] на толщину слоя h, произведя замену [LATEX_FORMULA]$Z=\frac{z}{h}$[/LATEX_FORMULA]. Поскольку [LATEX_FORMULA]$z \in[0, h]$[/LATEX_FORMULA], тогда [LATEX_FORMULA]$Z \in[0,1]$[/LATEX_FORMULA]. Численное решение также ищется на этом промежутке.
Начнем сравнительный анализ со свойств скорости [LATEX_FORMULA]$V_y$[/LATEX_FORMULA]. Точное решение для скорости имеет вид:
где
а индекс i коэффициента [LATEX_FORMULA]$a_i$[/LATEX_FORMULA] соответствует члену i-ой степени (по вертикальной координате Z).
Ранее при анализе точного решения были рассмотрены различные комбинации значений констант [LATEX_FORMULA]$a_i$[/LATEX_FORMULA] в выражении (6). Для верификации численного решения рассмотрим только два случая – частный случай, когда коэффициент при старшей степени полинома (6) равен нулю, и самый общий случай, когда ни один из коэффициентов в (6) не равен нулю.
Случай I. Пусть [LATEX_FORMULA]$a_5=0, a_0 a_1 a_2 \neq 0$[/LATEX_FORMULA]
Этот случай возможен, в частности, при [LATEX_FORMULA]$\Omega=0$[/LATEX_FORMULA] и/или [LATEX_FORMULA]$B=0$[/LATEX_FORMULA] (см. краевые условия на нижней границе слоя). В рассматриваемом случае функция [LATEX_FORMULA]$f$[/LATEX_FORMULA] примет вид:
Анализ аналитического решения показал, что наибольшее число внутренних (т. е. принадлежащих слою) застойных точек равняется двум, что проиллюстрировано на рис. 1. Как видно из графика, численное решение с такими краевыми параметрами дает хорошее совпадение с аналитическим решением (рис. 1).
Профиль скорости v при a5 = 0, a0a1a2 ≠ 0
Случай II. Ни один из коэффициентов [LATEX_FORMULA]$a_i(i=0,1,2,5)$[/LATEX_FORMULA] не равен нулю.
Это наиболее общий случай из исследуемых. Он возможен, в частности, при [LATEX_FORMULA]$A \neq 0, B \Omega \neq 0, S_1 \neq 0, W \sin \varphi \neq 0$[/LATEX_FORMULA]. Тогда функция [LATEX_FORMULA]$f$[/LATEX_FORMULA] описывается полиномом (6). По аналогии с предыдущим вспомним результаты анализа аналитического решения. Компонента скорости имеет внутри рассматриваемого слоя [LATEX_FORMULA]$Z \in[0,1]$[/LATEX_FORMULA] не более трех точек застоя [12]. Данный факт проиллюстрирован на рис. 2. Решение краевой задачи с теми же выбранными граничными условиями при помощи метода Рунге-Кутты [13], [14] дает аналогичный результат, и кривые совпадают (рис. 2).
Профиль скорости v при a0a1a2a5 ≠ 0
Рассмотрев различные вариации значений параметров в аналитическом и численном решении для скорости [LATEX_FORMULA]$v$[/LATEX_FORMULA], было показано, что компонента v вектора скорости может как не иметь нулей в рассматриваемом слое, так и иметь несколько (но не более трех) застойных точек внутри слоя, таким образом, разделяя его на четыре подслоя с возможной сменой направления течения (рис. 2). Метод Рунге-Кутты четвертого порядка [13], [14] оказался достаточно точным, что подтверждается полным совпадением проиллюстрированных результатов.
Перейдем к анализу компоненты u скорости [LATEX_FORMULA]$V_x$[/LATEX_FORMULA], описываемой решением системы (5). Для скорости u ранее было получено точное полиномиальное решение:
Здесь введены следующие обозначения:
Рассмотрим общий случай выражения, когда все коэффициенты отличны от нуля [LATEX_FORMULA]$\left(b_0 b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_8 \neq 0\right)$[/LATEX_FORMULA]. После проведенного ранее анализа точного решения системы (11) был сделан вывод, что компонента скорости u может иметь внутри слоя [LATEX_FORMULA]$Z \in[0,1]$[/LATEX_FORMULA] не более шести застойных точек [12], [17] (рис. 3). Использование численного метода для решения этой системы приводит к аналогичному результату (рис. 3).
Профиль скорости u при b0b1b2b3b4b5b8 ≠ 0
5. Заключение
В заключении отметим, что в данной работе был проведен комплексный анализ краевой задачи, описывающей конвективное течение вязкой несжимаемой вертикально завихренной жидкости в горизонтальном слое. Ранее в исследовании уже было детально изучено аналитическое решение данной задачи. В настоящей статье основное внимание уделено численному решению, полученному методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Этот метод продемонстрировал высокую точность при решении исследуемой системы дифференциальных уравнений.
Было установлено, что в слое жидкости могут формироваться зоны с обратным течением, причем количество таких зон ограничено четырьмя подслоями с различным направлением течения. Важно отметить, что число застойных точек и, следовательно, количество подслоев, зависит от конкретных значений параметров краевой задачи.
Проведенное сравнение численного и аналитического решений показало согласованность результатов, что подтверждает надежность использованного численного метода для решения подобных задач. Таким образом, полученные результаты представляют собой важный вклад в изучение конвективных течений и могут служить основой для дальнейших исследований в этой области.