1. Введение
Среди структур в магнитосферной, лабораторной и космической плазме довольно часто наблюдаются направленные струи – джеты [1], [2]. Подобные локализованные нестационарные объекты представляют собой вытянутые вихревые структуры, в которых наблюдается спиральное движение. При этом скорость движения плазменного выброса и поля достигают максимальных значений в определённой области и убывают на периферии структуры. Наблюдаемый в природе широкий класс джетов включает в себя астрофизические джеты [3], [4], [5], солнечные корональные джеты и петли [6], [7], [8] и магнитосферные джеты [9], [10], [11], [12]. Исследование возникающих в плазме динамических структур является одной из фундаментальных задач физики и представляет большой теоретических и практический интерес.
Многочисленные работы посвящены развитию теории плазменных джетов [13], [14], [15], [16], исследованию их динамики, в том числе учитывающей циклотронное движение вещества, [17], [18], [19], [20]. В связи с явными ограничениями существующих моделей (см., например, [1], [2], [4], [20]), отыскание новых решений является актуальной задачей. Создание моделей генерации джетов открывает наиболее простой и корректный путь к получению ряда теоретически и практически интересных результатов. В работе [21] построена малопараметрическая магнитогидродинамическая модель описания начальной стадии развития нерелятивистских джетов, основанная на механизме конвективной неустойчивости. Новая аналитическая модель позволяет описывать структуру магнитного поля и скорости локализованного в пространстве джета в приполярных областях при всех значениях координат и представляет собой точное решение в виде комбинаций функций Бесселя.
Целью настоящей работы является обобщение предложенной аналитической модели на случай неоднородной плазмы.
Основной метод исследования – теоретический анализ возникающих в плазме структур в рамках идеальной магнитной гидродинамики. Описание использует понятие функции тока. Основной математический метод получения точных решений – метод разделения переменных. Для приближённых оценок используется метод последовательных приближений. Визуализация решений в виде графиков и численный счёт осуществляется с помощью программы Wolfram Mathematica.
2. Основные результаты
2.1. Основное уравнение для функции тока
В работе
[21]
[LATEX_FORMULA]p=p_0 (z)+\tilde{p}(t,r,z),\;\rho=\rho_0 (z)+\tilde{\rho}(t,r,z),\;\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_0+\boldsymbol{\tilde{B}}[/LATEX_FORMULA]
где
[LATEX_FORMULA]\frac{dp_0}{dz} =-\rho_0 (z)g,\;\frac{d}{dr}\bigg(p_0+\frac{B_0^2}{2\mu_0}\bigg)=0[/LATEX_FORMULA]
где μ0Missing Mark : sub – магнитная проницаемость вакуума,
[LATEX_FORMULA]v_r=-\frac{1}{r} \frac{∂\psi}{∂z},\;v_z=\frac{1}{r} \frac{∂\psi}{∂r}[/LATEX_FORMULA]
для которой в [21], [22] из системы МГД-уравнений было получено следующее уравнение:
[LATEX_FORMULA]\big(\frac{∂^2}{∂t^2}+\omega_g^2\big) \Delta^*\psi+\frac{1}{r}\frac{∂}{∂t}J(\psi,\Delta^*\psi)=0[/LATEX_FORMULA]
В данном уравнении введены обозначения для Якобиана
[LATEX_FORMULA]J(a,b)=\frac{∂a}{∂r}\frac{∂b}{∂z}-\frac{∂a}{∂z}\frac{∂b}{∂r}[/LATEX_FORMULA]
для оператора Грэда–Шафранова (в приближении вытянутых структур ∂/∂r>>∂/∂z):
[LATEX_FORMULA]\Delta^*=r\frac{∂}{∂r}\big(\frac{1}{r}\frac{∂}{∂r}\big)[/LATEX_FORMULA]
и для квадрата частоты Брента–Вяйсяля:
[LATEX_FORMULA]\omega_g^2=g\big(\frac{\gamma_a-1}{\gamma_aH}+\frac{1}{T}\frac{dT}{dz}\big)[/LATEX_FORMULA]
где
[21]
В случае ωgMissing Mark : sub2Missing Mark : sup>0 уравнение (4) описывает внутренние гравитационные волны. Мы рассматриваем противоположную ситуацию, когда в момент t = 0 возникает неустойчивость, т.е. в (4) имеем ωgMissing Mark : sub2Missing Mark : sup→-γ2Missing Mark : sup. В этом случае уравнение (4) описывает растущие со временем локализованные динамические структуры. Такая ситуация возникает, если внутренние области плазмы (Солнца, звезды, или магнитосферы) более горячие, чем более высокие слои плазмы: если вертикальный градиент температуры (второй член в (7)) отрицателен, и его величина превышает первый член.
Решение в работе
[21]
[LATEX_FORMULA]\psi(t,r,z)=v_0r^2f(Z)sinh(\gamma t)\Psi(R)[/LATEX_FORMULA]
где Z=z/L, R=r/r0Missing Mark : sub, а v0Missing Mark : sub, r0Missing Mark : sub, L – некоторые характерные скорость, радиальный и вертикальный пространственные масштабы. Для внутренней и внешней области соответственно были выбраны следующие решения:
[LATEX_FORMULA]\Psi_{int}(R)=\frac{J_1(\delta_0 R)}{RJ_1(\delta_0)}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Psi_{ext}(R)=m\frac{K_1(\delta R)}{RK_1(\delta)}[/LATEX_FORMULA]
где δ0Missing Mark : sub≈1.841184, параметр δ произволен, а величина m определяется из условия гладкой стыковки функции и её производных на границе внутренней и внешней области.
Для определения азимутальной скорости в
[21]
[LATEX_FORMULA]\frac{∂ v_\varphi}{∂ t}+\frac{v_r}{r}\frac{∂}{∂ r}(rv_\varphi)+v_z\frac{∂ v_\varphi}{∂ z}=0[/LATEX_FORMULA]
Оно допускает решение методом разделения переменных
[LATEX_FORMULA]v_\varphi=v_{\varphi0}y(t)f_0(Z)V_{\varphi r}(R)[/LATEX_FORMULA]
если выбрать линейную функцию f(Z). В таком случае получаем
[LATEX_FORMULA]y(t)=exp\{c_0(cosh(\gamma t)-1)\}[/LATEX_FORMULA]
а координатная зависимость определяется уравнением
[LATEX_FORMULA]f'(Z)\bigg(\frac{\hat{V}_r(R)}{R}+\frac{\hat{V}_r(R)}{V_{\varphi r}(R)}\frac{dV_{\varphi r}(R)}{dR}+\frac{f(Z)f_0'(Z)\hat{V}_Z(R)}{f'(Z)f_0(Z)}\bigg)=-\frac{\gamma c_0L}{v_0}[/LATEX_FORMULA]
В работе
[21][21]
Для срабатывания метода разделения переменных можно выбрать следующее более общее линейное выражение для функции
[LATEX_FORMULA]f(Z)=\bigg[\begin{array}{c} k_1 Z, 0 \leq Z \leq Z_1 \\ \frac{k_1 z_1}{1-z_1}(1-Z), \mathrm{Z}_1<\mathrm{Z} \leq 1 \end{array}[/LATEX_FORMULA]
где Z1Missing Mark : sub определяет координату максимума, а k1Missing Mark : sub определяет скорость изменения с высотой. При этом наиболее общим выражением для функции f0Missing Mark : sub(Z), которое допускает радиальное решение в квадратурах, будет следующее:
[LATEX_FORMULA]f_0(Z)=\bigg[\begin{array}{c} k_2 Z^n, 0 \leq Z \leq Z_1 \\ \frac{k_2 Z_1^n}{(1-Z_1)^n}(1-Z)^n, \mathrm{Z}_1<\mathrm{Z} \leq 1 \end{array}[/LATEX_FORMULA]
с произвольным показателем степени n. В результате будет наблюдаться различное дифференциальное вращение. Азимутальная скорость определяется квадратурами:
[LATEX_FORMULA]\mathrm{V}_{\varphi r}^{\text {int }}(R)=\mathrm{v}_{0 \varphi} exp \left\{\int_1^R \frac{-\alpha x-n x \hat{V}_Z^{\text {int }}(x)-\hat{V}_r^{\text {int }}(x)}{x \hat{V}_r^{\text {int }}(x)} d x\right\}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\mathrm{V}_{\varphi r}^{\text {ext}}(R)=C\mathrm{v}_{0 \varphi} exp \left\{\int_1^R \frac{-\alpha x-n x \hat{V}_Z^{\text {ext}}(x)-\hat{V}_r^{\text {ext}}(x)}{x \hat{V}_r^{\text {ext}}(x)} d x\right\}[/LATEX_FORMULA]
Полученную радиальную зависимость легко рассчитать численно (мы взяли α = 0,01) и изобразить графически с помощью программы Wolfram Mathematica (функция Plot). При n < 1 быстрое возрастание азимутальной скорости по радиусу начинается сразу от оси джета, как это видно из Рис. 1, а при n > 1 мы видим вращение полого цилиндра (см. Рис. 2), т.е. вблизи оси наблюдается область относительного затишья.
Радиальная зависимость относительной азимутальной скорости vφ/v0 при z/L=0,1 и n = 0,75: пунктирная линия - момент времени γt = 3; штриховая - γt = 4; сплошная - γt = 5
Радиальная зависимость относительной азимутальной скорости vφ/v0 при z/L=0,1 и n = 2: пунктирная линия - момент времени γt = 3; штриховая - γt = 4; сплошная - γt = 5
Поле скоростей джета, который сконструирован по высоте с помощью семи линейных участков функции f(Z), в зависимости от безразмерных координат R и Z: a - vr(R,Z); б - vz(R,Z); c - vφ(R,Z)
Пример разнонаправленной азимутальной скорости джета vφ(R,Z), зависящей от безразмерных координат R и Z, для случая нелинейной зависимости f(Z)
Для реальной системы частота Брента – Вяйсяля всегда зависит от высоты. Заметим следующий важный момент, связанный со структурой уравнения (4). При произвольной z-зависимости частоты Брента – Вяйсяля ωgMissing Mark : sub(z) решением останется та же самая функция тока ψ. Дело в том, что последнее слагаемое в (4) удовлетворяется только за счёт радиальной зависимости, а первое слагаемое удовлетворяется только за счёт зависимости от времени. Таким образом, в выражении для функции тока произойдёт единственная замена: γ→γ(Z), т.е. скорость роста всех величин будет дифференциальной по z. В результате, в выражении для вертикальной компоненты скорости произойдёт единственная замена: γ→γ(Z). Однако в выражении для радиальной компоненты скорости кроме замены γ→γ(Z) также произойдёт следующая замена: f'(Z)→f'(Z)+f(Z)γ'(Z)tCoth[γ(Z)t]. Как следствие, уравнение (11) уже нельзя решить методом разделения переменных, и зависимость от всех трёх переменных нужно искать численно.
Генерируемое магнитное поле можно найти из следующего уравнения (условия вмороженности магнитного поля в плазму):
[LATEX_FORMULA]\frac{∂B}{∂t}=∇\times (\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B})[/LATEX_FORMULA]
На начальном этапе генерации итоговое поле можно найти методом последовательных приближений:
[LATEX_FORMULA] \begin{gathered} B_z=B_0+B_{z 1}+B_{z 2}+\cdots, B_0>B_{z 1}>B_{z 2} \\ B_{\varphi}=B_{\varphi 1}+B_{\varphi 2}+\cdots, B_0>>B_{\varphi 1}>B_{\varphi 2} \\ B_r=B_{r 2}+\cdots, B_0>>B_{r 2} \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
где уравнения для соответствующих поправок имеют следующий вид:
[LATEX_FORMULA]\frac{\partial B_{z 1}}{\partial t}=B_0 \frac{\partial v_z}{\partial z}, \frac{\partial B_{z 2}}{\partial t}=B_{z 1} \frac{\partial v_z}{\partial z}-v_r \frac{\partial B_{z 1}}{\partial r} [/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\frac{\partial B_{\varphi_1}}{\partial t}=B_0 \frac{\partial v_{\varphi}}{\partial z}, \frac{\partial B_{\varphi 2}}{\partial t}=B_{z 1} \frac{\partial v_{\varphi}}{\partial z}-v_r \frac{\partial B_{\varphi_1}}{\partial r}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\frac{\partial B_{r 2}}{\partial t}=B_{r 2} \frac{\partial v_r}{\partial r}-v_r \frac{\partial B_{r 2}}{\partial r}-v_z \frac{\partial B_{r 2}}{\partial z}[/LATEX_FORMULA]
при этом начиная со вторых поправок возможен только численный счёт, а для первых поправок решения можно записать в квадратурах:
[LATEX_FORMULA]\tilde{B}^{int}_{z1}=\frac{B_0v_0}{\gamma L}f'(Z)(cosh(\gamma t)-1)\delta_0\frac{J_0(\delta_0R)}{J_1(\delta_0)}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\tilde{B}^{ext}_{z1}=\frac{B_0v_0}{\gamma L}f'(Z)(cosh(\gamma t)-1)m\delta_0\frac{K_0(\delta_R)}{K_1(\delta)}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\tilde{B}_{\varphi 1}^{int}=\frac{B_0v_{\varphi 0}}{L} f'(Z) exp \left\{-\int_R^1 \frac{\alpha_{1,2}+V_z^{int}(x)-V_r^{int}(x)}{R V_r^{int}(x)} d x\right\} \int_0^t exp \left\{c_0(cosh (\gamma \tau)-1)\right\} d \tau[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\tilde{B}_{\varphi 1}^{ext}=\frac{B_0v_{\varphi 0}}{L} f'(Z)C\; exp \left\{\int_R^1 \frac{\alpha_{1,2}+V_z^{ext}(x)-V_r^{ext}(x)}{R V_r^{ext}(x)} d x\right\} \int_0^t exp \left\{c_0(cosh (\gamma \tau)-1)\right\} d \tau[/LATEX_FORMULA]
Генерируемая вертикальная компонента магнитного поля начинает экспоненциально расти по модулю, (затем рост постепенно перейдёт в сверх экспоненциальный). Азимутальная компонента магнитного поля растёт по сверхэкспоненциальному закону, но вначале медленнее, чем вертикальная компонента. Радиальная компонента магнитнго поля растёт ещё медленнее и всегда остаётся меньшей из этих трёх компонент поля. Для случая семи линейных участков функции f(Z) распределение итоговой вертикальной компоненты и азимутальной компоненты магнитного поля показаны на Рис. 5 а) и б) соответственно. Графическое изображение получено с помощью программы Wolfram Mathematica (функция DensityPlot).
Итоговое безразмерное магнитное поле на начальном этапе роста в зависимости от безразмерных координат R и Z: a - Bz(R,Z)/B0; б - Bφ(R,Z)/B0
Через некоторое время, генерируемое неоднородное магнитное поле может превзойти первоначальное однородное поле. Разумеется, на более поздних временах при переходе к квазистационарной стадии необходимо учитывать диссипативные процессы и влияние генерируемого поля на процесс генерации джета.
3. Заключение
В настоящей работе в рамках идеальной МГД приведено нелинейное уравнение для функции тока, которое в неустойчивой стратифицированной плазме описывает образование аксиально-симметричных структур, растущих во времени. Полученное уравнение можно решить методом разделения переменных, что позволяет для радиальной части получить в качестве решений функции Бесселя первого порядка. Для удовлетворения всем условиям вблизи оси джета и на его периферии, найденные решения гладко стыкуются в промежуточной области. В результате получается аналитическое решение для поля скорости применимое для всех значений безразмерных координат R и Z. Модель джета характеризуется рядом свободных параметров: характерной радиальной скоростью v0Missing Mark : sub и начальной азимутальной скоростью v0φMissing Mark : sub; характерным радиальным масштабом джета r0Missing Mark : sub и вертикальным масштабом L; параметром m, который характеризует радиальную структуру джета; однородным внешним магнитным полем B0Missing Mark : sub и инкрементом конвективной неустойчивости γ. Джет может быть сконструирован по вертикали из ряда участков. В данной работе рассчитано поле скорости для джета, который составлен из семи линейных участков. Полоидальная скорость нарастает примерно по экспоненциальному закону, а азимутальная скорость – по сверхэкспоненциальному закону. Вращение джета оказывается дифференциальным, причём для получения решения в квадратурах для азимутальной скорости можно использовать не только линейные, но и степенные зависимости по высоте ZnMissing Mark : sup. При n < 1 быстрое возрастание азимутальной скорости по радиусу начинается сразу от оси джета, а при n > 1 вблизи оси наблюдается область относительного затишья. Модель джета обобщена на случай произвольной z-зависимости частоты Брента – Вяйсяля ωgMissing Mark : sub(z). Найдены соответствующие решения для радиальной и вертикальной компонент скорости. В случае произвольной зависимости от высоты уравнение для азимутальной скорости нельзя решить методом разделения переменных, и зависимость от всех трёх переменных нужно искать численно. В этом случае могут получаться решения с разнонаправленными вращениями. Для начальной стадии развития в работе также найдены вертикальная и азимутальная компоненты генерируемого магнитного поля джета, который составлен из семи линейных участков.
Таким образом, в конвективно-неустойчивой плазме чрезвычайно быстро формируются интенсивные джеты. Обобщённая модель описывает генерацию поля скорости и магнитного поля, величина которых нарастает со временем.