1. Введение
В теории динамических систем задачами управляемости принято называть задачи приведения динамической системы к заданному состоянию при наличии некоторого управляющего воздействия
[1][2][3]
Статья
[1][12][12]
Из более современных источников следует отметить монографию
[3][11][13]
Мы будем рассматривать задачу об остывании тонкого однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, считая управляющим воздействием плотность распределения источников тепла по всему стержню. При этом нужно учитывать ограниченность имеющихся ресурсов, потому функция управления не должна принимать сколь угодно больших значений. В качестве исходных данных примем известное ненулевое начальное распределение температуры по всей длине стержня, а также будем считать, что температура концов стержня поддерживается равной нулю.
Хорошо известно, что процесс теплопроводности (диффузии) при отсутствии источников диссипативен и нетрудно доказать, что охлаждение стержня до нулевой температуры при описанных выше условиях происходит всегда, но за бесконечное время (см.
[4, С. 209]
Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что требуется охладить стержень до нулевой температуры за конечное (необязательно минимальное) время. Ясно, что в такой постановке единственности решения задачи ожидать не следует.
Основной целью настоящей работы является простое обоснование разрешимости рассматриваемой задачи с использованием метода разделения переменных, не совпадающее со встречающимися в более ранних исследованиях. При этом должны быть получены явные эффективные оценки управляющего воздействия и времени этого воздействия. Оценка считается явной, если все присутствующие в ней константы выражаются явным образом. Оценка считается эффективной, если она обеспечивает эффективный вычислительный процесс в следующем смысле: в пределах заданной точности, после замены бесконечной суммы на конечную, в последней должно оставаться как можно меньше слагаемых. Кроме того, по возможности необходимо избежать численного интегрирования быстро осциллирующих функций. Результаты теоретических выкладок должны быть проиллюстрированы на модельном примере.
2. Постановка задачи и аналитические результаты
Пусть
[LATEX_FORMULA]u_t=u_{xx}+f(x,t),\;(x,t)\in Q,[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]u(x,0)=\varphi(x),\;x\in[0,1],[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]u(0,t)=u(1,t)=0,\;t\ge0.[/LATEX_FORMULA]
Здесь
Хорошо известно
[5]
Применяя метод разделения переменных
[4, С. 209]
Здесь
Подберём функцию
Будем искать непрерывные коэффициенты
Таким образом в качестве искомого управления можно взять
[6]
Осталось выбрать такое
Здесь
[LATEX_FORMULA]T\ge\sqrt{\dfrac{L}{C}}.[/LATEX_FORMULA]
При практических вычислениях значений функции
[LATEX_FORMULA]R(K)=\dfrac{L}{T}\displaystyle\sum\limits_{k=K+1}^\infty\dfrac{\pi^4k^4T^2}{e^{\pi^2k^2T}-1-\pi^2k^2T}.[/LATEX_FORMULA]
Легко видеть, что при
[LATEX_FORMULA]\pi^2(K+1)^2T\ge2,[/LATEX_FORMULA]
из (5) получаем оценки:
где
Отметим, что при численной реализации достаточно решить задачу только при
[4][5]
3. Численное моделирование с использованием вычислительного блока Given/Pdesolve
Выполним численное моделирование в среде Mathcad решения задачи (1)-(3) на прямоугольнике
[7, С. 337][8, С. 530]
Использование вычислительного блока интуитивно понятно и приведено в листинге на рис. 1.
Листинг вычислительного блока Given/Pdesolve
Результатом работы функции является интерполированная зависимость
Для начала вычислений необходимо определить момент
[9]
Далее, найдём наименьшее целое значение
Листинг нахождения K
В таблице 1 приведены результаты работы вычислительного блока при различных соотношениях количеств шагов по координате (
Результаты работы модуля Given/Pdesolve
| M | 5 | 10 | 100 | 100 | - |
| N | 5 | 5 | 5 | 100 | - |
| ||u(x,T)|| | 1,893х10-5Missing Mark : sup | 8,614х10-7Missing Mark : sup | 5,979х10-8Missing Mark : sup | 5,979х10-8Missing Mark : sup | 8,614х10-7Missing Mark : sup |
Очевидными достоинствами использования вычислительного блока являются получение интерполированных значений решения задачи, а также достижение приемлемой точности уже при небольшом количестве шагов дискретизации. Однако с увеличением числа шагов дискретизации скорость вычислений заметно снижается, а попытка рассчитать задачу при
В следующем разделе будут приведены варианты явных вычислений на основе построения разностных схем.
4. Численное моделирование на основе разностных схем
Введём в прямоугольнике
[9, С. 272]
[LATEX_FORMULA]\dfrac{u_m^{n+1}-u_m^n}{\tau}=\dfrac{u_{m+1}^n-2u_m^n+u_{m-1}^n}{h^2}+f(mh,n\tau),m=\overline{1,M-1},n=\overline{0,N-1},[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]u_0^n=u_M^n=0, n=\overline{0,N},[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]u_m^0=\varphi(mh), m=\overline{1,M-1}.[/LATEX_FORMULA]
Как известно
[9, С. 275][9, С. 290]
Примем
[LATEX_FORMULA]u_{m}^{n+1}=\dfrac{u_{m+1}^n+u_{m-1}^n}{2}+\tau f(mh,n\tau), m=\overline{1,M-1},n=\overline{0,N-1}.[/LATEX_FORMULA]
Листинг программы в среде Mathcad, решающей по явной разностной схеме тот же самый модельный пример, что был рассмотрен в предыдущем разделе, приведен на рис. 3.
Решение задачи при помощи явной разностной схемы
[7, С. 436]
Решение с использованием явной разностной схемы
Листинг оптимизированной программы, реализующей явную разностную схему
«Максимальная» оптимизация расчётов по явной разностной схеме
Результаты решения задачи по явной разностной схеме
| h | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
| ||u(x,T)|| | 7,831х10-5Missing Mark : sup | 8,01х10-7Missing Mark : sup | 8,011х10-9Missing Mark : sup | неприемлемо большое время вычислений |
Очевидным преимуществом явной разностной схемы является простота её реализации и скорость вычислений. Однако существенным недостатком является наличие условия устойчивости, заставляющего для достижения приемлемой точности решения рассчитывать большое количество временных слоёв сетки. Вычисления с шагом
Чтобы избавиться от условия устойчивости, рассмотрим неявную шеститочечную разностную схему Кранка-Николсон
[9, С. 277]
[LATEX_FORMULA]\dfrac{u_m^{n+1}-u_m^n}{\tau}=\dfrac{u_{m+1}^{n+1}-2u_m^{n+1}+u_{m-1}^{n+1}}{2h^2}+\dfrac{u_{m+1}^n-2u_m^n+u_{m-1}^n}{2h^2}+f(mh,n\tau+0,5\tau).[/LATEX_FORMULA]
Разностная схема (11), (8), (9) аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком
[9, С. 45]
На рис. 7 представлена реализация решения задачи при помощи неявной разностной схемы Кранка-Николсон (сразу в варианте без использования двумерных массивов). Алгоритм метода прогонки реализован в листинге на рис. 8.
Решение задачи по схеме Кранка-Николсон
Метод прогонки (алгоритм Томаса)
Результаты решения задачи по схеме Кранка-Николсон
| h | 0,1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
| tau | 0,1 | 0,001 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 |
| ||u(x,T)|| | 1,176х10-3Missing Mark : sup | 1,199х10-5Missing Mark : sup | 1,947х10-7Missing Mark : sup | 1,947х10-9Missing Mark : sup | 1,712х10-11Missing Mark : sup |
5. Заключение
В статье показана принципиальная разрешимость одной задачи управляемости динамической системой. Проведены численные эксперименты, результаты которых согласуются с ожидаемыми, исходя из полученного аналитического решения. Преимуществом и новизной предложенного подхода является его простота, явные эффективные оценки управляющего воздействия и времени этого воздействия, не совпадающие с полученными в более ранних работах. Кроме того, впервые продемонстрированы возможности и ограничения системы Mathcad при решении подобных задач распределённой управляемости. При реализации метода сеток не использовались встроенные функции системы, что позволяет легко перевести все вычисления на любой современный язык программирования с целью ускорения и оптимизации.
Вместе с тем очевидна не единственность предложенного решения, которая связана с неоднозначностью определения коэффициентов
Также следует заметить, что рассматриваемую задачу можно считать обратной задачей математической физики
[10, С. 196]
Наконец, ещё одним возможным направлением для дальнейшего численного моделирования является переход к рассмотрению двух- и трёхмерных (по пространству) моделей. Легко видеть, что предложенный в статье подход без труда распространяется и на этот случай.