1. Введение
В современных космических исследованиях достигнуты заметные успехи, особенно в отношении проведения встреч между космическими аппаратами (КА) на почти круговых орбитах с использованием двигателей малой тяги. Эта область исследований приобретает все большую актуальность благодаря множеству космических проектов, направленных на повышение точности и эффективности этих деликатных операций.
Успешная реализация встречи не только представляет собой сложную научно-техническую задачу в космонавтике, но и играет решающую роль в выполнении миссий по освоению космического пространства. Задачи встречи космических аппаратов могут различаться в зависимости от цели миссии, что делает их разнообразными по своим бизнес-целям.
В операциях сближения участвуют как минимум два КА, обычно один из которых выполняет маневры и полеты по свободной орбите – активный КА, в то время как другой остается пассивным. Это различие между активными и пассивными КА обеспечивает ясность и эффективность проводимых операций.
Задача встречи на околокруговой орбите с применением двигателей малой тяги имеет важное значение в практике полетов космических аппаратов (КА). Эта задача решается при сближении и стыковке КА, реализации группового полета нескольких КА, формирования заданной конфигурации спутниковых систем, а также при удалении космического мусора и обслуживании КА.
Еще с 60-х годов начался процесс использования на КА электрических ракетных двигателей (ЭРД). Благодаря высокому удельному импульсу ЭРД позволяют существенно снизить затраты топлива на орбитальное маневрирование. Однако малая (по сравнению с традиционными жидкостными ракетными двигателями) тяга ЭРД приводит к необходимости учета их длительной работы.
Однако задача оптимального маневрирования КА была рассмотрена в работах [17], [18]. Особенно следует отметить исследования, проведенные в [2], [3], [4], [19], [20]. Из-за высокой сложности задач, предполагающих, что маневрирование осуществляется с использованием двигательной установки малой тяги, традиционный подход к их решению включает в себя применение численных методов, использующих принцип максимума Понтрягина или метод продолжения по параметру. Еще одним прикладным методом, который использовался в последние годы для решения задач с обширными маневрами, является метод внутренней точки, представленный в [21].
За последние двадцать четыре года задача встречи была предметом изучения многих авторов [1], [2], [3], [4], [5], и другие. Начиная еще с решения задачи встречи на околокруговых орбитах, где маневры выполняются с использованием двигателей большой тяги авторами в [6], [7], данная проблематика получила широкое внимание в практических исследованиях. В рамках этих работ была рассмотрена задача встречи с продолжительностью не более трех витков для случая двух круговых компланарных орбит, а также успешно решена классическая задача встречи средней продолжительности на околокруговых орбитах.
В настоящее время существует актуальная потребность в решении сложных задач маневрирования многоимпульсных космических аппаратов. Предложенные алгоритмы предоставляют возможность решения сложной задачи в несколько этапов: на первом этапе независимо друг от друга решаются задачи маневрирования в плоскости орбиты и поворота плоскости орбиты. Этот метод представлен в работах [8], [9], [10], [11] и других. Преимуществом такой схемы является её простота и надежность, однако её недостатком являются излишние затраты суммарной характеристической скорости на маневрирование.
На втором этапе принимаются численные методы, позволяющие находить оптимальное решение самых сложных многоимпульсных задач, учитывая широкий спектр ограничений [12], [13]. Для расчетов параметров маневров чаще всего используется метод, разработанный в работах [14], [15].
На третьем этапе, с применением решения задачи Ламберта, определяются параметры двухимпульсного решения задачи встречи. Затем происходит анализ поведения годографа базис-вектора, соответствующего найденному решению, и при необходимости добавляются некоторые дополнительные импульсы скорости, позволяющие достичь оптимального решения, как показано в [16]. В работах [3], [21] также предложены численно-аналитические методы решения многоимпульсной задачи встречи с учетом первого и второго из перечисленных выше подходов, чтобы эффективно решать современные практические задачи.
В данной статье представлен усовершенствованный алгоритм,обладающий замечательной способностью решать задачу встречи двух космических аппаратов на околокруговой орбите при низкой тяге. Указанное отличие особенно важно, поскольку некоторые алгоритмы не обеспечивают решений при использовании малых значений тяги. Однако благодаря внесенным модификациям удалось обнаружить эффективные решения, способствующие успешному выполнению маневров при низкой тяге. Фактически, в данной работе задача встречи рассматривается как в импульсной постановке, так и с учетом длительной работы двигателя малой тяги. Этот алгоритм более эффективен не только в наземных центрах управления, но и на борту космического аппарата, в отличие от предыдущих исследований [2], [3], [4], [19], [22], где рассмотрены другие подходы к решению задачи встречи космических аппаратов между компланарными орбитами.
Для анализа относительного движения космических аппаратов в окрестности круговых орбит необходимо использовать специальные математические модели движения. Наиболее распространенной моделью относительного движения в окрестности круговых орбит является модель Hill-Clohessy-Wiltshire [23], [24]. В данной математической модели для получения уравнений относительного движения используется орбитальная система координат и линеаризация дифференциальных уравнений относительного движения, основанная на предположении малости расстояния между рассматриваемыми космическими аппаратами по сравнению со средним радиусом орбиты. В данной работе, однако, используются линеаризованные уравнения, полученные в [25].
С увеличением числа маневрирующих космических аппаратов и повышением оперативности решения задач возникает тенденция переноса процесса расчета маневров на борт КА. Это объясняется необходимостью упрощения процесса расчета параметров маневров и повышения надежности этого процесса. Рассматриваемый в данной работе алгоритм обладает этими характеристиками.
2. Постановка задачи встречи
Задача расчета параметров маневров перелета между близкими околокруговыми орбитами решается в приближенной импульсной постановке, в рамках невозмущенного кеплеровского движения. Условия перелета с помощью N импульсов скорости за фиксированное время с исходной орбиты в заданную точку конечной компланарной орбиты (задача встречи) в линейном приближении могут быть выражены следующим образом [14]:
[LATEX_FORMULA]\sum_{i=1}^N\left(\Delta V_{r i} \sin \varphi_i+2 \Delta V_{t i} \cos \varphi_i\right)=\Delta e_x,[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\sum_{i=1}^N\left(-\Delta V_{r i} \cos \varphi_i+2 \Delta V_{t i} \sin \varphi_i\right)=\Delta e_y,[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\sum_{i=1}^N 2 \Delta V_{t i}=\Delta a,[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\sum_{i=1}^N\left(2 \Delta V_{r i}\left(1-\cos \varphi_i\right)+\Delta V_{t i}\left(-3 \varphi_i+4 \sin \varphi_i\right)\right)=\Delta t,[/LATEX_FORMULA]
где [LATEX_FORMULA]\Delta e_x=e_fcos\omega_f -e_0cos\omega_0[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\Delta e_y=e_fsin\omega_f -e_0sin\omega_0[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\Delta a=(а_f-a_0)/r_0[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\Delta t=\lambda_0(t_f-t_0)[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\Delta V_{ti}= \Delta V^*_{ti}/V_0[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\Delta V_{ri}=\Delta V_{ri}^* /V_0[/LATEX_FORMULA]
Здесь «f», «0» – индексы, соответствующие конечной и начальной орбитам, ef,e0 – эксцентриситеты орбит; аf,a0 – большие полуоси орбит; ωf,ω0 – углы между направлением на перицентр соответствующей орбиты и направлением на заданную на конечной орбите точку (ось Ох – направлена на эту точку); tf – необходимое время прихода в заданную точку, t0-время, в которое при движении по начальной орбите проекция радиус-вектора на плоскость конечной орбиты попадает на луч, проходящий через заданную точку встречи; V0,λ0 – орбитальная и угловая скорости движения по опорной круговой орбите радиуса r0 (r0=аf); N – число импульсов скорости; φi– угол приложения i-го импульса скорости, отсчитываемый от направления на заданную точку встречи в сторону движения КА; [LATEX_FORMULA]\Delta V^*_{ti}[/LATEX_FORMULA], [LATEX_FORMULA]\Delta V^*_{ri}[/LATEX_FORMULA] – трансверсальная и радиальная составляющие i-го импульса скорости соответственно. Необходимо учитывать, что углы φi– отрицательны, т.к. было принято, что в заданной точке φf=0.
Задачу поиска параметров оптимальных маневров можно сформулировать следующим образом: необходимо определить Vri, Vti, φi (i=1,…,N), при которых суммарная характеристическая скорость маневров V минимальна:
при ограничениях (1)-(4).
3. Алгоритм решения задачи перехода
Предполагая, что импульсы скорости прикладываются в точках оптимальных для коррекции вектора эксцентриситета и угли приложения импульсов можно рассчитать по формулам:
Находим величины импульсов скорости оптимального решения при решении использовании первых трех уравнений системы (1)-(4):
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{t1}=\frac{1}{4}(\Delta a+\Delta e),[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{t2}=\frac{1}{4}(\Delta a-\Delta e),[/LATEX_FORMULA]
Возможны три типа решений, для которых выполнены необходимые условия оптимальности:
а) на плоскости μ,λ годограф базис-вектора – эллипс, центр которого расположен на оси μ, но смещен от начала системы координат; эллипс касается окружности единичного радиуса в точке, лежащей на оси μ;
б) годограф базис-вектора вырождается в точку, совпадающую с точкой пересечения окружности единичного радиуса оси μ;
в) годограф базис-вектора - эллипс с центром в начале системы координат, касающийся окружности в двух точках на оси μ.
Так как у всех возможных оптимальных решений λ=0, а μ≠0, то импульсы скорости у этих решений чисто трансверсальные.
4. Алгоритм решения задачи встречи
При решении задачи встречи величины импульсов скорости ΔVt1, ΔVt2, определенные при решении задачи перехода, распределяются между разрешенными для маневрирования N витками:
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{1t}=\sum_{i=1}^N \Delta V_{1ti},[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{2t}=\sum_{i=1}^N \Delta V_{2ti},[/LATEX_FORMULA]
Здесь N число витков, на которых разрешено маневрирование.
Дальнейшая цель заключается в выборе такого распределения импульсов скорости вдоль витков, которое удовлетворяло бы уравнению (4). Для значительного упрощения решения задачи предполагаем, что величины импульсов скорости вдоль витков изменяются линейно:
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{1ti}=\Delta V_{1t1}+(\Delta V_{1tN}-\Delta V_{1t1})(i-1)/(N-1),[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{2ti}=\Delta V_{2t1}+(\Delta V_{2tN}-\Delta V_{2t1})(i-1)/(N-1). [/LATEX_FORMULA]
Здесь ΔV1t1, ΔV1tN и ΔV2t1, ΔV2tN величины импульсов скорости на первом и последнем разрешенных витках маневрирования, являющиеся частью первого и второго импульса скорости решения задачи перехода.
Подставляя величины импульсов скорости, вычисленные по формулам (9), (10) в (7) и (8) получаем:
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{1t}=∑_{i=1}^N\Delta V_{1ti} =0,5N(\Delta V_{1t1}+\Delta V_{1tN})[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{2t}=∑_{i=1}^N \Delta V_{2ti} =0,5N(\Delta V_{2t1}+\Delta V_{2tN}).[/LATEX_FORMULA]
Используя (11) и (12), получаем формулы для определения
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{1tN}=\frac{2\Delta V_{1t}}{N}-\Delta V_{1t1}[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{2tN}=\frac{2\Delta V_{1t1}}{N}-\Delta V_{2t1}[/LATEX_FORMULA]
Подставив найденные величины
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{1ti}=2\Delta V_1 (i-1)/N(N-1)+\Delta V_{1t1} [1-\frac{2(i-1)}{N-1}], [/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta V_{2ti}=2\Delta V_2 (i-1)/N(N-1)+\Delta V_{2t1} [1-\frac{2(i-1)}{N-1}], [/LATEX_FORMULA]
Таким образом, нашли значения всех импульсов скорости, выраженные только через
[LATEX_FORMULA]\varphi_{1i}=\varphi_e+2\pi(N_i-N),[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\varphi_{2i}=\varphi_e+\pi+2\pi(N_i-N).[/LATEX_FORMULA]
Перебирая в заданных пределах значение переменной
Затем, используя уравнения (15) и (16), вычисляем величины всех импульсов скорости. После чего, сложив модули всех импульсов скорости, находим суммарную характеристическую скорость для каждого решения. Решение, у которого суммарная характеристическая скорость минимальна, принимается в качестве оптимального варианта встречи. Если суммарная характеристическая скорость найденного решения совпадает с суммарной характеристической скоростью решения задачи перехода, то можно утверждать, что найдено решение с минимально возможной суммарной характеристической скоростью.
На следующем этапе производится оценка продолжительности каждого из найденных маневров.
Продолжительность каждого маневра оценивается с использованием следующего соотношения:
[LATEX_FORMULA]\Delta\varphi_i=\frac{w_c}{w} \Delta V_i, [/LATEX_FORMULA]
где
Если продолжительность самого большого импульса скорости не превышает 20°, то решение приближено к импульсному, и задачу считаем решённой. В случае значительной продолжительности маневров переходим к решению с использованием малой тяги.
5. Решение задачи с «малой тягой»
Для каждого витка находим какие изменения эксцентриситета и большой полуоси производят импульсы скорости определенные на этом витке
[LATEX_FORMULA]\Delta e_i =2 \Delta V_{1ti}-2\Delta V_{2ti},[/LATEX_FORMULA]
[LATEX_FORMULA]\Delta a_i =2 \Delta V_{1ti}+2\Delta V_{2ti},[/LATEX_FORMULA]
Затем определяем нужную продолжительность маневров малой тяги, которые произведут такое же изменение этих элементов [25]:
[LATEX_FORMULA]\begin{gathered} \Delta \varphi_1=\frac{w_c \Delta a}{4wn}+2 arcsin\frac{w_c\Delta e}{8wn\;cos\frac{w_c\Delta a}{8wn}},\\ \\ \Delta \varphi_2=\frac{w_c \Delta a}{4wn}-2 arcsin\frac{w_c\Delta e}{8wn\;cos\frac{w_c\Delta a}{8wn}}. \end{gathered}[/LATEX_FORMULA]
Таким образом, мы находим продолжительность каждого маневра виток за витком. Задача с малой тягой успешно решена. В случае, если аргумент арксинуса превышает 1, решение невозможно (с учетом имеющейся тяги и массы космического аппарата для заданного числа витков).
Предыдущий алгоритм оказался недостаточным для решения задачи встречи космических аппаратов с двигателями малой тяги при малом числе витков и низкой тяге [1]. Проблема связана с тем, что, когда тяга уменьшается, продолжительность несколько импульсов растет больше, чем нужно для коррекции эксцентриситета. Чтобы уменьшить продолжительность этих импульсов, мы ограничиваем их величину до пределов, когда они еще максимально меняют величину эксцентриситета, но максимально увеличиваем несколько импульсов сделаем следующие шаги:
1 – Задать начальные значения параметров и переменных.
2 – Решение задачи перехода между компланарными орбитами: используя уравнения 5 и 6, вычислить две величины импульсов скорости.
3 – Решение задачи встречи: распределить величины импульсов скорости по N виткам, удовлетворяя условиям времени с помощью уравнений 15, 16 и 4. Пересчитывать значения импульсов на каждом витке при необходимости, учитывая алгебраические вычисления.
4 – Определение изменения эксцентриситета и большой полуоси: рассчитать изменение эксцентриситета и большой полуоси на каждом витке, как в предыдущем алгоритме.
5 – Учет продолжительности маневров: используя уравнение 22, учитывать продолжительность маневров. Если решение еще не достигнуто, вернуться к шагу 3; в противном случае перейти к следующему шагу.
6 – Расчёт общих затрат: используя уравнение 19, можно рассчитать общие затраты.
Найденное решение с «малой тягой» демонстрирует аналогичное изменение большой полуоси и вектора эксцентриситета, что и исходное импульсное решение. Уравнение (4) выполняется достаточно точно, поскольку середины продолжительных маневров совпадают с моментами приложения импульсов скорости. Это также приводит к аналогичному изменению большой оси на витке, обеспечивая необходимое время прибытия в точку встречи.
Однако при решении задачи встречи были использованы линеаризованные уравнения движения, не учитывающие нецентральность гравитационного поля, влияние атмосферы и т.д. Это приводит к тому, что реальная точность выполнения терминальных условий в системе (1)-(6) оказывается недостаточной. В связи с этим для решения задачи с требуемой точностью может быть целесообразным использование итерационной схемы [12], [13].
6. Примеры решения задач
Рассмотрим движение космического аппарата (КА) относительно точки O, движущейся по невозмущенной околокруговой орбите радиусом 6871 км. Гравитационный параметр Земли примем равным 3,9860044∙1014 м3/с2. Рассмотрим задачу перелета с помощью N импульсов скорости за фиксированное время с исходной орбиты в заданную точку конечной орбиты из точки фазового пространства r0 = (10; 100; -5) км, v0 = (1; -10; 3) м/c в начало координат, то есть в точку rf = (0; 0; 0) км, со скоростью vf = (0; 0; 0) м/c. Для задачи начальную массу КА примем равной 1000 кг, удельный импульс двигательной установки КА – 220 секунд (2157,463 м/с), а тягу (T) будем варьировать в диапазоне от 0,362 до 100 Н. Перелет осуществляется за N=4.
В таблице 1 приведены результаты расчетов параметров двух-импульсного перехода между компланарными орбитами, углы приложения первого и второго импульса, которые будут использоваться как начальные приближения для решения задачи встречи.
Как видно, при решении задачи перехода были получены два импульса скорости, один разгоняющий и другой тормозящий, и де-факто, минимальная величина характеристической скорости, которую должен иметь КА для маневра перехода, составляет 4,485 м/с.
Результаты расчета параметров задачи компланарного перехода
| , м/c | , м/c | , м/c | e | 1 | 2 |
| -2,785 | 1,7 | 4,485 | 6,4 | 186,4 | 366,4 |
Параметры оптимального решения при N=4
Параметры оптимального решения при N=4
После перебора первого импульса скорости в границах от -2,785м/с до 0,5 м/с с шагом 0,025 м/с получаются параметры оптимальных решений, представленные на рисунках 1 и 2.Как видно, при уменьшении тяги (на малых витках), продолжительность нескольких импульсов возрастает более, чем необходимо для коррекции эксцентриситета. Для ограничения продолжительности этих импульсов мы устанавливаем их амплитуду на уровне, когда они всё ещё существенно влияют на эксцентриситет, но максимально уменьшаем их количество. Этот подход проиллюстрирован на рисунке 2, где изменения величины импульсов имеют свободную форму, обеспечивая правильную коррекцию эксцентриситета, чтобы в свою очередь определить оптимальную продолжительность этих импульсов.Далее рассмотрим решение задачи с малой тягой. В таблицах 2, 3, 4 и 5 представлены результаты расчетов задачи встречи с малой тягой при условии Тяга = 0,362Н, при N=4.
Результаты расчета задачи встречи с малой тяги
| Т, Н | 0,362 | 0,37 | 0,4 | 0,5 | 1 | 2 | 5 | 10 | 100 |
| ° | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | 300,137 | 144,199 | 57,082 | 28,499 | 2,849 |
| , м/с | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | 4,726 | 4,541 | 4,494 | 4,487 | 4,485 |
В некоторых случаях решений не существует из-за того, что значения аргумента арксинуса выходят за пределы диапазона (-1; 1). Поэтому в таблице 2, в интервале от 0,362 до 0,5 Н, решение отсутствует из-за несуществования арксинуса. Однако, в таблице 3, очевидно, что решения существуют при низких значениях тяги.
Результаты расчета задачи с малой тяги
| 0,362 | 0,37 | 0,4 | 0,5 | 1 | 2 | 5 | 10 | 100 | |
| ° | 997,519 | 957,215 | 842,242 | 624,685 | 290,61 | 143,121 | 57,015 | 28,491 | 2,849 |
| , м/с | 5,685 | 5,576 | 5,304 | 4,918 | 4,576 | 4,507 | 4,488 | 4,486 | 4,485 |
В таблицах 4 и 5 представлены распределения импульсов скоростей и продолжительности маневров в зависимости от числа витков.
Как можно заметить из таблицы 4, решения имеются только на первом и втором витках, в то время как на остальных витках их отсутствует, в соответствии с нашими предыдущими доказательствами.
Результаты расчета задачи с малой тяги «Тяга= 0,362»
| N | , м/c | м/c | ° | ° | ° | |
| 1 | -0,223 | 1,047 | 1,27 | -39,146 | 183,647 | 222,793 |
| 2 | -0,555 | 0,649 | 1,204 | -97,414 | 113,854 | 211,268 |
| 3 | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения |
| 4 | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения |
| Σ | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения | Нет решения |
В таблице 5 представлены результаты расчета задачи с малой тяги, в которой, в свою очередь, решения имеются на всех 4-х витках.
Результаты расчета задачи с малой тяги «Тяга = 0,362»
| N | , м/c | , м/c | |, м/c | ° | ° | ° |
| 1 | -0,929 | 0,647 | 1,576 | -162,929 | 113,539 | 276,467 |
| 2 | -0,899 | 0,625 | 1,524 | -157,7 | 109,627 | 267,328 |
| 3 | -0,871 | 0,605 | 1,476 | -152,881 | 106,125 | 259,006 |
| 4 | -0,686 | 0,423 | 1,109 | -120,431 | 74,287 | 194,718 |
| Σ | -3,385 | 2,3 | 5,685 | -593,941 | 403,578 | 997,519 |
При увеличении тяги продолжительности маневров уменьшаются, затраты суммарной характеристической скорости (СХС) решения с малой тяги при увлечении тяги совпадают с затратами СХС импульсного решения.
7. Заключение
В рассматриваемом в данной работе алгоритме расчета параметров двухимпульсной встречи на околокруговой орбите выявляется его ключевое преимущество – простота и надежность. Эти качества позволяют применять алгоритм не только в наземных центрах управления, но и на борту космического аппарата. Одновременно с этим предложенный алгоритм демонстрирует способность получать оптимальное решение в тех случаях, когда начальная фаза принадлежит оптимальному фазовому диапазону, а суммарная характеристическая скорость встречи совпадает с суммарной характеристической скоростью оптимального решения задачи перехода. Этот алгоритм эффективен даже в случаях, когда маневры выполняются двигателями малой тяги. Приведенные в работе примеры подтверждают высокую работоспособность и качество полученного решения, а также его применимость для решения практических задач. Предложенный модификационный алгоритм открывает новые перспективы и более эффективные алгоритмы для космических миссий с использованием космических аппаратов с ограниченной тягой, что является значимым шагом в развитии космической навигации.