Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.99.9.001

Download PDF ( ) Pages: 6-15 Issue: № 9 (99) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Salimov R.B. et al. "SOLVING THE INVERSE MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF LATTICE FLUID DYNAMICS". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 9 (99) Part 1, (2020): 6. Sat. 10. Oct. 2020.
Salimov, R.B. & Gorskaia, T.Yu. (2020). RESHENIE OBRATNOY SMESHANNOY KRAEVOY ZADACHI AEROGIDRODINAMIKI RESHETOK [SOLVING THE INVERSE MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF LATTICE FLUID DYNAMICS]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 9 (99) Part 1, 6-15. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.99.9.001
Salimov R. B. SOLVING THE INVERSE MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF LATTICE FLUID DYNAMICS / R. B. Salimov, T. Yu. Gorskaia // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 9 (99) Part 1. — С. 6—15. doi: 10.23670/IRJ.2020.99.9.001

Import


SOLVING THE INVERSE MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF LATTICE FLUID DYNAMICS

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ РЕШЁТОК

Научная статья

Салимов Р.Б.1, Горская Т.Ю.2, *

1 ORCID: 0000-0003-4177-4830;

2 ORCID: 0000-0001-7136-8388;

1, 2 Казанский государственный архитектурно-строительный университет, Казань, Россия

* Корреспондирующий автор (gorskaya0304[at]mail.ru)

Аннотация

Рассматривается обратная смешанная краевая задача аэрогидродинамики решёток, в которой требуется найти форму части профиля решётки по заданному по этой части распределению величины скорости и распределение величины скорости на остальной известной части профиля решётки, обтекаемой потенциальным потоком несжимаемой невязкой жидкости. Подробно рассматривается случай, когда искомый профиль близок к профилю известной решётки с известным комплексным потенциалом течения. Принимается, что известна часть нижней поверхности исследуемого профиля, за исключением его участка, прилегающего к носику профиля, а форма всей остальной части исследуемого профиля отыскивается по заданному на ней распределению величины скорости как функции дуговой абсциссы точки искомого профиля. Получены формулы, дающие решение поставленной задачи. В процессе решения задачи определяются период решётки и скорость потока, обтекающего решётку.

Ключевые слова: обратная смешанная краевая задача, аэрогидродинамика решётки, профиль, комплексный потенциал.

SOLVING THE INVERSE MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF LATTICE FLUID DYNAMICS

Research article

Salimov R.B.1, Gorskaia T.Yu.2, *

1 ORCID: 0000-0003-4177-4830;

2 ORCID: 0000-0001-7136-8388;

1, 2 Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, Russia

* Corresponding author (gorskaya0304[at]mail.ru)

Abstract

The authors consider the inverse mixed boundary value problem of lattice fluid dynamics, in which we need to find the shape of a part of the lattice profile through the velocity distribution given for this part and the velocity distribution on the rest known part of the lattice profile, which is streamlined by a potential flow of ideal frictionless liquid. The authors delve into the case when the required profile is close to the profile of a known lattice with a known flow complex potential. It is assumed that the known part of the lower surface of the profile, except for its plot adjacent to the nose profile, and the form of the rest of the investigated profile is sought, through the distribution of velocity as a function of the arc abscissa of the point of the required profile. We obtained formulas giving a solution to the problem. In the process of solving the problem, the lattice period and the flow velocity streamlining the lattice are determined.

Keywords: inverse mixed boundary value problem, lattice fluid dynamics, profile, complex potential.

Введение

Пусть в плоскости комплексного переменного z = x + iy расположена решётка профилей, период которой равен 09-10-2020 10-45-12  ([1], стр. 123), 09-10-2020 10-45-23 ([2], стр. 291), Решётка обтекается установившимся потоком несжимаемой невязкой жидкости, комплексный потенциал его обозначается w(z). Значение комплексной скорости w’(z) на бесконечности слева от решётки обозначим через 09-10-2020 10-46-09 справа от решётки – через 09-10-2020 10-46-40 Поток, обтекающий решётку, имеет период, равный  09-10-2020 10-47-03

Обозначим через Lz профиль решётки, точка разветвления на котором совпадает с точкой z = 0.

Введём плоскость комплексного переменного 09-10-2020 10-52-39 09-10-2020 10-54-50 и функцией 09-10-2020 10-53-15 отобразим конформно внешность решётки профилей на бесконечнолистную риманову поверхность внутри системы концентрических окружностей, имеющих уравнение 09-10-2020 10-55-00 требуя, чтобы бесконечно удалённым точкам слева и справа от решётки отвечали точки соответственно 09-10-2020 10-53-54 эта функция отображает конформно круг 09-10-2020 10-54-08 с разрезом по отрезку, соединяющему точки 09-10-2020 10-54-27 на область, ограниченную профилем решётки и двумя конгруэнтными линиями, причём разность комплексных координат соответственных точек линии, лежащей выше профиля, и линии, расположенной ниже профиля, равна 09-10-2020 10-45-12 ([1], стр. 123).

В дальнейшем будем рассматривать ветвь 09-10-2020 10-54-50 которая окружность 09-10-2020 10-53-38 переводит в профиль Lz.

Обозначим

09-10-2020 11-12-06       (1)

будем рассматривать 09-10-2020 11-12-27 как комплексный потенциал соответствующего течения в области  09-10-2020 11-12-43

Для производной функции 09-10-2020 11-12-27 справедливо представление ([1], стр. 123)

09-10-2020 11-21-40      (2)

где B1 – действительное число, 09-10-2020 11-23-10причём 09-10-2020 11-23-36 точки окружности 09-10-2020 10-53-38 отвечающие соответственно точке разветвления A и точке схода B потока на профиле Lz решётки.

На профиле Lz и на окружности 09-10-2020 10-53-38 установим направление, при котором область течения остаётся слева.

Циркуляция Г скорости по окружности 09-10-2020 10-53-38 с указанным направлением будет равна ([1], стр. 141)

09-10-2020 11-35-36         (3)

такой же будет и циркуляция скорости по Lz.

С учётом формул (2), (3) получим

09-10-2020 11-35-44       (4)

Производная 09-10-2020 11-32-10 аналитична в круге 09-10-2020 11-32-23 и в точках 09-10-2020 11-34-43,  принимает значения соответственно 09-10-2020 11-33-46. Согласно (1) 09-10-2020 11-34-27, поэтому в силу (2) в окрестностях точек 09-10-2020 11-33-19,  будут справедливы разложения соответственно

09-10-2020 11-43-14      (5)

09-10-2020 11-43-35     (6)

где

09-10-2020 11-44-52     (7)

09-10-2020 11-45-04     (8)

Функция 09-10-2020 10-54-50  получает приращение, равное 09-10-2020 10-45-12 при обходе (против хода часовой стрелки) окружности малого радиуса ε с центром в точке 09-10-2020 12-04-41  начиная от точки, лежащей на верхнем берегу разреза, проведённого по отрезку, соединяющему точки 09-10-2020 10-54-27  С другой стороны согласно (5) это приращение равно 09-10-2020 12-04-48. Поэтому имеет место соотношение

09-10-2020 12-39-09      (9)

На основании аналогичных рассуждений, относящихся к точке 09-10-2020 12-39-33 с учётом (6) придём к равенству

09-10-2020 12-39-47     (10)

Соотношения (9), (10) эквивалентны системе

09-10-2020 12-39-58     (11)

в которой в силу (7), (8) 09-10-2020 12-40-09

В дальнейшем будем считать, что 09-10-2020 12-46-41  и согласно (4) 09-10-2020 12-40-27. При этом система

09-10-2020 12-40-34    (12)

09-10-2020 12-50-29     (13)

равносильна системе (11) и, следовательно, системе (9), (10), где 09-10-2020 12-50-41

Пусть 09-10-2020 12-50-49 есть потенциал скорости на окружности 09-10-2020 12-50-57 для вышеуказанного течения в области 09-10-2020 12-51-05  удовлетворяющий условию 09-10-2020 12-51-14 Замечая, что

09-10-2020 12-51-23

на основании формулы (2) с учётом (8) получим

09-10-2020 12-51-34      (14)

09-10-2020 12-51-43     (15)

Постановка задачи. Некоторые предварительные соотношения

Пусть s – дуговая абсцисса точки профиля Lz, отсчитываемая от точки разветвления A потока на профиле в указанном выше направлении (при котором область течения остаётся слева), l – периметр профиля Lz, s = sB – дуговая абсцисса точки схода B потока на Lz, причём точка B совпадает с задней кромкой профиля Lz, и A – точка примыкающей к передней кромке Lz дуги нижней поверхности профиля Lz.

Примем 09-10-2020 13-04-20 величина скорости, α – угол, образованный с действительной осью скорости в точке z.

Рассмотрим решение следующей задачи. Форма дуги AB (содержащей верхнюю поверхность Lz) неизвестна, на ней задано распределение скорости09-10-2020 13-01-39 а форма остальной части BA профиля Lz известна, т. е. известна функция 09-10-2020 13-01-28. Требуется найти форму дуги AB и распределение скорости на известной дуге профиля Lz: 09-10-2020 13-01-15. Подлежат определению также период решётки 09-10-2020 13-01-56 скорости 09-10-2020 13-02-03. Примем, что заданные функции 09-10-2020 13-02-13 дифференцируемы в интервалах соответственно 09-10-2020 13-02-20 причём 09-10-2020 13-02-29.

Задача, аналогичная приведённой выше и сформулированная для случая изолированного профиля, исследовалась в работах ряда авторов. Краткий обзор указанных работ содержится в книге [3], посвящённой обратным краевым задачам аэрогидродинамики.

В то же время отсутствуют опубликованные научные статьи, посвящённые решению рассматриваемой задачи для гидродинамических решёток.

Из соответствия точек Lz и окружности 09-10-2020 13-11-50 при конформном отображении функцией 09-10-2020 13-11-56 определяется зависимость 09-10-2020 13-12-03. При этом

09-10-2020 13-14-15      (16)

Пусть

09-10-2020 13-14-24

есть однозначная аналитическая в круге 09-10-2020 13-14-38 функция, значения которой на окружности 09-10-2020 13-14-44 вычислены в предположении, что

09-10-2020 13-14-53

Здесь имеем

09-10-2020 13-15-05

09-10-2020 13-18-21

Поэтому соотношения (16) можно записать так

09-10-2020 13-18-33     (17)

Следовательно, для аналитической в круге 09-10-2020 13-18-43 функции 09-10-2020 13-18-51 справедлива формула Шварца ([4], с. 58)

09-10-2020 13-18-58

где 09-10-2020 13-19-09 – действительная постоянная. Переходя в этой формуле к пределу при 09-10-2020 13-19-18 когда и левая часть формулы стремится к нулю, будем иметь ([4], с. 59)

09-10-2020 13-19-31

Поэтому предыдущая формула может быть записана так

09-10-2020 13-19-40     (18)

Переходя здесь  к пределу при 09-10-2020 13-28-28 будем иметь

09-10-2020 13-28-42      (19)

09-10-2020 13-28-54     (20)

Полагая 09-10-2020 13-29-03 на основании (18) получим

09-10-2020 13-29-17      (21)

Пусть 09-10-2020 13-29-26 – потенциал скорости на Lz. Для точек участка AB имеем

09-10-2020 13-29-34     (22)

Положим 09-10-2020 13-29-41 Для остального участка BA профиля Lz

09-10-2020 13-29-52     (23)

причём 09-10-2020 13-37-25

Поэтому циркуляция скорости по профилю Lz 09-10-2020 13-37-32 будет определяться формулой

09-10-2020 14-19-45     (24)

где 09-10-2020 14-19-53 – известная величина, определяемая по формуле (22) при 09-10-2020 14-20-01 – величина, выражение для которой находится на основании (19).

Принимая во внимание (14), (15), согласно (1) имеем

09-10-2020 14-20-11     (25)

09-10-2020 14-20-20    (26)

Соотношения (13), (24), (25), (26), (19), (21) равносильны системе 10 действительных уравнений с неизвестными 09-10-2020 14-21-48 (Подставляя выражения для 09-10-2020 14-21-59 при 09-10-2020 14-43-18 согласно соответственно (24), (19), (21), указанную систему можно привести к системе четырёх действительных уравнений с неизвестными 09-10-2020 14-22-36.

При найденных  названных величинах период решётки 09-10-2020 14-22-48 определяется по формуле (12).

Вычислив 09-10-2020 14-23-03 по формуле (20), находим координаты точек искомой дуги

09-10-2020 14-23-18     (27)

В силу (12), (13) контур Lz будет замкнутым. Используя формулу (19) определим распределение скорости на известной части BA профиля Lz 09-10-2020 14-23-51 при найденных 09-10-2020 14-24-00

Приближённое решение задачи

Для решения вышеуказанной системы с неизвестными величинами и функцией 09-10-2020 14-44-57 можно использовать различные методы, в частности, методы последовательных приближений. Для простоты остановимся на случае, когда заданное на искомом участке профиля решётки распределение скорости близко к распределению скорости на соответствующем участке известного профиля некоторой исходной решётки, когда разности указанных скоростей в соответствующих точках профилей и разности координат соответствующих точек остальных участков профилей являются малыми величинами и величины второго порядка относительно этих малых можно не учитывать.

Для величин, относящихся к исходной известной решётки, сохраним принятые выше обозначения, а соответствующие величины, относящиеся к искомой изменённой решётке, будем обозначать теми же буквами, снабжая их верхней волнистой чертой. Будем считать, что для исходной решётки функции 09-10-2020 14-45-06 известны.

Для простоты примем, что 09-10-2020 14-45-15

Пусть распределение скорости на искомом участке 09-10-2020 14-45-23 профиля 09-10-2020 14-45-32 изменённой решётки задано в виде

09-10-2020 14-48-57     (28)

где 09-10-2020 14-49-08 – известное распределение скорости на дуге AB профиля Lz исходной известной решётки, 09-10-2020 14-49-36 – дифференцируемы в интервале 09-10-2020 14-49-59 малая положительная величина, причём величинами порядка 09-10-2020 14-50-06 можно пренебречь,  09-10-2020 14-50-20

Примем, что для величин 09-10-2020 14-51-04 остальных участков 09-10-2020 14-51-09 справедливо соотношение, аналогичное (28)

09-10-2020 14-51-36     (29)

в котором 09-10-2020 14-56-17 функция, дифференцируемая в интервале 09-10-2020 15-05-47

Будем считать также, что профиль 09-10-2020 14-56-27 обладает достаточной степенью гладкости и производная 09-10-2020 14-56-33 удовлетворяет условию Гельдера всюду на окружности 09-10-2020 14-56-40 ([5], с. 117)

По формуле (28) имеем 09-10-2020 14-56-53

По формуле (22) имеем 09-10-2020 14-57-10 тогда с учётом (22), полагая 09-10-2020 14-57-19 будем иметь

09-10-2020 14-57-27       (30)

причём в силу (30), (28)

09-10-2020 14-57-35     (31)

Где

10-10-2020 12-11-45

Если записать формулу, аналогичную (19) для величин на 10-10-2020 12-12-49 то в ней величины 10-10-2020 12-12-13 отвечающие соответственно 10-10-2020 12-12-22 будут неизвестны, и по ней не удастся найти значения 10-10-2020 12-12-30 на известной части 10-10-2020 12-12-38 профиля 10-10-2020 12-12-03.

В связи с этим рассмотрим формулы, получаемые из (19), (20) с учётом (17) заменой 10-10-2020 12-13-10 соответственно на 10-10-2020 12-13-23 и  когда вместо 10-10-2020 12-13-43 формулы (17) берётся

10-10-2020 12-14-30       (32)

при этом имеем

10-10-2020 12-14-41      (33)

10-10-2020 12-14-52    (34)

По формуле (33) определим распределение скорости 10-10-2020 12-26-35 на известном участке 10-10-2020 12-26-40 в первом приближении.

На основании формул, аналогичных (23), (24), (в первом приближении) будем иметь

10-10-2020 12-26-51

причём 10-10-2020 12-27-05

10-10-2020 12-27-13

Принимая во внимание (28), (29) и формулы (17), (32), заключаем, что 10-10-2020 12-27-20, где

10-10-2020 12-27-30

Тогда на основании соотношения, полученного из (33) вычитанием соответствующих частей (19), замечая, что с принятой точностью 10-10-2020 12-27-48 приходим к выводу, что 10-10-2020 12-28-04 где

10-10-2020 12-28-11

Здесь надо учесть известные результаты, относящиеся к поведению сингулярных интегралов вблизи разрыва плотности ([6], с. 58, 75, 95), а также аналогичные результаты работы [7].

Поэтому для

10-10-2020 12-35-20       (35)

Имеем

10-10-2020 12-35-27     (36)

Так как 10-10-2020 12-37-49 то с учётом  (31), (35), (36) имеем

10-10-2020 12-38-00  (37)

где

10-10-2020 12-38-29

Из формулы, аналогичной (26),

10-10-2020 12-38-37       (38)

определяется зависимость 10-10-2020 12-38-47

причём

10-10-2020 12-38-54

Соотношение

10-10-2020 12-39-02      (39)

Определяет функцию 10-10-2020 12-39-10 причём

10-10-2020 12-39-17

В силу (26), (38) имеем

10-10-2020 12-39-25     (40)

Примем, что здесь 10-10-2020 12-54-24 есть малые величины 10-10-2020 12-54-36. Так как частные производные второго порядка функции 10-10-2020 12-54-46 непрерывны, то согласно формуле Тейлора разность правой части предыдущей формулы мало отличается от первого дифференциала этой функции в силу вышеуказанных условий. Поэтому указанную формулу (40) 10-10-2020 12-54-55 для можно записать так

10-10-2020 12-55-05       (41)

Здесь 10-10-2020 12-55-17

Отсюда при 10-10-2020 12-55-27 получаем соответственно

10-10-2020 12-55-54      (42)

 

Формулу (41) с учётом последних выражений для  10-10-2020 12-56-16 опуская слагаемые 10-10-2020 12-56-27 представим так

10-10-2020 12-56-36     (43)

здесь при 10-10-2020 12-56-47

10-10-2020 13-05-10

при 10-10-2020 13-05-20 в последних четырёх формулах 10-10-2020 13-05-28 надо заменить на 10-10-2020 13-05-33 условие 10-10-2020 13-05-39 – на условие

В силу (31), (36), (37) для множителя 10-10-2020 13-05-53 формулы (43) имеем

10-10-2020 13-06-00     (44)

В силу условий, которым удовлетворяют 10-10-2020 13-06-11 для которой справедлива формула (43), дифференцируема в интервалах 10-10-2020 13-06-2110-10-2020 13-05-46 и имеет производную, удовлетворяющую условию Гельдера всюду в этих интервалах. На концах интервалов 10-10-2020 13-06-32 обращается в нуль. Нетрудно проверить, что делённые на 10-10-2020 13-06-32 слагаемые порядка 10-10-2020 13-06-41 формулы Тейлора, неучтённые в формуле (43), при нахождении  10-10-2020 13-06-50  приводят к величинам 10-10-2020 13-07-01 Согласно (43), (44) имеем

10-10-2020 13-07-09

Чтобы найти значение 10-10-2020 13-16-45 в первом приближении по аналогии с предыдущим воспользуемся формулой, получаемой из (18) заменой 10-10-2020 13-16-54 на функцию (32). Полагая в полученной формуле 10-10-2020 13-17-01 будем иметь

10-10-2020 13-17-10      (45)

Примем, что 10-10-2020 13-17-21 являются малыми величинами 10-10-2020 13-17-28

Здесь с принятой точностью 10-10-2020 13-18-20 и согласно (17), (32)

10-10-2020 13-18-29

Из (45) вычтем (21) для 10-10-2020 13-18-36 и получим (с прежней точностью)

10-10-2020 13-18-47    (46)

Поступая совершенно аналогично в случае 10-10-2020 13-18-55 придём к соотношению

10-10-2020 13-19-04    (47)

Интеграл с плотностью 10-10-2020 13-26-40 формулы (46) обозначим 10-10-2020 13-26-46 и сумму слагаемых этой формулы, содержащих 10-10-2020 13-26-52 обозначим  10-10-2020 13-27-01. Тогда формулы (46), (47) примут вид

10-10-2020 13-31-53

Уравнения (13) запишем так

10-10-2020 13-32-00     (48)

где

10-10-2020 13-32-09       (49)

10-10-2020 13-32-51. Обозначая 10-10-2020 13-33-02 уравнение (48) для измененной решётки запишем в виде

10-10-2020 13-33-12

Отсюда вычтем почленно равенство (48). Разность в левой части с принятой точностью заменим первым дифференциалом функции (49) и придём к уравнению

10-10-2020 13-33-26

Подставим сюда выражения из (46), (47) для 10-10-2020 13-33-35 вышеуказанные функции Q, E, и получим

10-10-2020 13-33-46    (50)

Соотношения (42) (без слагаемого 10-10-2020 13-42-24 и (50) представляют собой систему уравнений с неизвестными 10-10-2020 13-42-31 Остановимся лишь на общем случае, когда определитель системы отличен от нуля и система имеет единственное решение. Определив из неё величины 10-10-2020 13-42-40 из (47) найдем 10-10-2020 13-42-50, затем из (46) – величины 10-10-2020 13-42-57

На основании формулы (12) находится период решётки 10-10-2020 13-43-09 Формулы (39), (43) определяют зависимость 10-10-2020 13-43-29 эта зависимость вместе с функцией 10-10-2020 13-43-38 отвечает найденным 10-10-2020 13-43-48

Если в рамках принятой точности 10-10-2020 13-43-57 в частности 10-10-2020 13-44-13 то найденная по формуле (33) функция 10-10-2020 13-44-21 принимается за искомое распределение скорости на известной части 10-10-2020 13-44-29 функцию 10-10-2020 13-44-41 определяемую по формуле (34) примем за искомую функцию, по значениям которой вычисляются координаты неизвестной дуги 10-10-2020 13-44-52 профиля 10-10-2020 12-26-40 на основании формулы, аналогичной (27).

Если высказанное не имеет места, то выкладки, аналогичные вышеуказанным, проводятся во втором приближении. Для этого в формулах, использованных в первом приближении, зависимость 10-10-2020 14-23-52  и связанные с ней параметры 10-10-2020 14-02-03 заменяются на соответственно найденную в первом приближении 10-10-2020 14-02-15 и связанные с ней параметры 10-10-2020 14-02-3710-10-2020 14-24-39 и определяется зависимость 10-10-2020 14-24-46 во втором приближении и т. д., зная зависимость 10-10-2020 14-24-55 и связанные с ней параметры, определим зависимость 10-10-2020 14-25-06 и соответствующие ей параметры. Если 10-10-2020 14-25-12 с принятой точностью, то, по формулам, получаемым из (33), (34) аналогичной вышеуказанной заменой, вычислим искомую скорость 10-10-2020 14-25-20 на известной части 10-10-2020 14-25-29 профиля 10-10-2020 14-25-34 и функцию 10-10-2020 14-25-42 для искомого участка 10-10-2020 14-25-55 контура 10-10-2020 14-25-34 по  которой вычисляются координаты точек дуги 10-10-2020 14-25-55  с использованием формулы, аналогичной (27).

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. – М.: Наука, 1980. – 448 с.
  2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидродинамика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. – М.: ГИФМЛ, 1963. – 583 с.
  3. Елизаров А.М. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики / А.М. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В. Поташов. –М.: Наука. 1994. – 440 с.
  4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 641 с.
  5. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука. 1973. – 736 с.
  6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. – М.: ГИФМЛ, 1962. – 583 с.
  7. Салимов Р.Б. К вычислению сингулярных интергалов с ядром Гильберта / Р.Б. Салимов // Известия вузов. Математика. 1970, №12 – С. 93-96.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Sedov L.I. Plosskiye zadahi gidrodinamiki I aerodinamiki [Plane problems of hydrodynamics and aerodynamics] / L.I. Sedov. – : Science. 1980. – 448 p. [in Russian]
  2. Kochin N.E. Teoreticheskaya gidromehanika [Theoretical fluid mechanics] / N.E. Kochin, I.A. Kibel, N.V. Roze. – : GIFML. 1963. – 583 p. [in Russian]
  3. Elizarov A.M. Obratnyi kraevie zadachi aerogidrodinamyki [Reverse regional tasks of aerodynamics] / A.M. Elizarov, N.B. Ilyinsky, A.V. Potashov. -M.: Science. – 440 p. [in Russian]
  4. Gahov F.D. Kraevye zadachi. [Boundary value problems] M.: Nauka, 1977. – 641 p. [in Russian]
  5. Lavrent’ev M.A. Metody teorii funkchiy komplexnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] : Nauka, 1973. – 736 p. [in Russian]
  6. Myshelishvyly N.I. Singulyrniye integral’nye uravnenia [Singular integral equations] – M.: GIFML. – 583 p. [in Russian]
  7. Salimov R.B. K vychisleniu singulyrnikh integralov s yadrom Hilberta [To the calculation of singular intergals with the core of Hilbert] / R.B. Salimov // Izvestia of universities. 1970, No.12 – P. 93-96. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.