Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.70.029

Download PDF ( ) Pages: 134-138 Issue: № 4 (70) () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Asanov A.A. et al. "SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE NONLINEAR KERNEL". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 4 (70), (2018): 134. Wed. 25. Apr. 2018.
Asanov, A.A. & Choyubekov, S.M. (2018). RESHENIE NEKLASSICHESKIH INTEGRALYNYH URAVNENIY VOLYTERRA I RODA S VYROGHDENNYM NELINEYNYM YADROM [SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE NONLINEAR KERNEL]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 4 (70), 134-138. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2018.70.029
Asanov A. A. SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE NONLINEAR KERNEL / A. A. Asanov, S. M. Choyubekov // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2018. — № 4 (70). — С. 134—138. doi: 10.23670/IRJ.2018.70.029

Import


SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE NONLINEAR KERNEL

Асанов А.А.1, Чоюбеков С. М.2

1Доктор физико-математических наук,

Кыргызко-Турецкий университет «Манас»;

2Старший преподаватель,

Ошский государственный университет, Республика Кыргызстан

 РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА С ВЫРОЖДЕННЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ ЯДРОМ

Аннотация

Интегральные уравнения относятся к разделу математики. Важным из приложений является то, что к ним приводится большое число задач из самых разных разделов физики, техники и других наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей.

Однако уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими, мало изучены. Это, наверно, объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, т.к. еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев.

Ключевые слова: интегральное уравнение, формула Дирихле, малый параметр, двойные интегралы.

Asanov A.A.1, Choyubekov S.M.2

1PhD in Physics and Mathematics,

Kyrgyz-Turkey Manas University;

2Senior Lecturer,

Osh State University, Kyrgyz Republic

SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE NONLINEAR KERNEL

Abstract

Integral equations relate to the branch of mathematics, the important thing of which is that a large number of problems a wide range of sections of physics, engineering, and other sciences are reduced to them. Because of this, in recent years the theory of integral equations has been developing rapidly due to the work of many researchers.

However, equations with two variable limits of integration, which are called non-classical, have been little studied.

This is probably due to the difficulties in constructing of resolvent and in constructing a correlation for it since the analytical representation in general form has not yet been obtained except for some model cases.

Keywords: integral equation, Dirichlet formula, small parameter, double integrals.

Интегральные уравнения относятся к разделу математики, важным из приложений является то, что к ним приводится большое число задач из самых разных разделов физики, техники и других наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей [1], [10].

Однако уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими мало изучены. Это, наверно, объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, т.к. еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев.

В данной работе в предположении, что 25-04-2018 11-13-56, следуя по методу, предложенному М. Иманалиевыми, А. Асановым [8], устанавливаются достаточные условия регуляризации решения неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода.

Рассмотрим

25-04-2018 11-14-58  (1)

где 25-04-2018 11-15-50 – заданные функции на отрезке 25-04-2018 11-20-26 и в области 25-04-2018 11-21-05, – искомая функция на отрезке 25-04-2018 11-20-26.

Пусть

25-04-2018 11-22-10   (2)

Тогда уравнение (1) можно представить в виде:

25-04-2018 11-22-54   (3)

Наряду с уравнением (3) рассмотрим:

25-04-2018 11-23-55  (4)

25-04-2018 11-25-05– некоторый малый параметр.

Его решение будем искать в виде

25-04-2018 11-29-05    (5)

где 25-04-2018 11-31-56 – решение уравнения (3), а 25-04-2018 11-32-55 – неизвестная функция

Подставляя (4) из (3) получим

25-04-2018 11-33-40   (6)

В результате несложных преобразований последнее сведем к виду

25-04-2018 11-34-30  (7)

Используя резольвенту 25-04-2018 11-35-44 ядра 25-04-2018 11-36-21 и считая правую часть известным, решение (7) можно представить в следующем виде

25-04-2018 11-37-27  (8)

Вычислим двойные интегралы, при этом воспользуемся формулой Дирихле и будем иметь ввиду, что  25-04-2018 11-40-01,

Тогда из (6) получится

25-04-2018 11-41-18   (9)

где

25-04-2018 11-43-43   (10)

25-04-2018 11-44-14   (11)

25-04-2018 11-47-50   (12)

25-04-2018 11-49-14   (13)

25-04-2018 11-50-41   (14)

Потребуем выполнения следующих условий:

25-04-2018 11-53-08

Обозначим 25-04-2018 11-55-50 – пространство Гольдера, т.е. функция 25-04-2018 11-31-56 определенная в 25-04-2018 11-56-37 удовлетворяет условию

25-04-2018 11-57-20   (15)

Здесь 25-04-2018 11-58-11 – некоторая постоянная, зависящая от 25-04-2018 11-31-56, но не от t и τ. Ещё установлено, что 25-04-2018 11-31-56 является Банаховым пространством с нормой

25-04-2018 11-59-34  (16)

Далее установим справедливость следующих утверждений:

Лемма 1

Если выполняются условия 25-04-2018 12-00-28. Тогда для функции 25-04-2018 12-00-55 определенной по формуле (8), имеет место

25-04-2018 12-01-57   (17)

Доказательство:

25-04-2018 12-04-44

Доказано.

Лемма 2

Пусть  и  определены по формулам (9), (10) соответственно. Кроме того, выполняются условия 25-04-2018 12-12-11 Тогда  справедливы  оценки:

25-04-2018 12-13-13

25-04-2018 12-14-14   (18)

25-04-2018 12-14-56   (19)

Доказательство

Имея ввиду 25-04-2018 12-15-55 и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, получаем соответствующие оценки.

25-04-2018 12-17-30    (20)

Лемма 3

Пусть выполняются условия 25-04-2018 12-19-05 функция 25-04-2018 12-19-36 определена соответственно формулой (11). Тогда имеют место следующие неравенства

25-04-2018 12-21-02   (21)

25-04-2018 12-21-34  (22)

Доказательство

Если переходить к оценке в (11) соответственно с учетом условий леммы, заметив 25-04-2018 12-23-05 получаем требуемые оценки.

25-04-2018 12-24-01

Лемма 4

Пусть 25-04-2018 12-25-49

Тогда 1). Если 25-04-2018 12-27-15 при почти всех 25-04-2018 12-28-20 и 25-04-2018 12-29-18 справедлива оценка

25-04-2018 12-30-20  (23)

25-04-2018 12-31-21

Итак, сформулируем основные результаты:

Теорема 1

Пусть выполняются условия 25-04-2018 12-32-07

25-04-2018 12-33-21

1) если уравнение (1) имеет решение 25-04-2018 12-34-11, то решение 25-04-2018 12-34-45 уравнения (3) при 25-04-2018 12-35-14  сходится по норме C25-04-2018 11-56-37  к решению 25-04-2018 11-31-56  и справедлива оценка

25-04-2018 12-36-19   (24)

где  25-04-2018 12-38-12

2) если уравнение (1) имеет решение 25-04-2018 12-38-50,  то решение 25-04-2018 12-39-22 уравнения (3) при 25-04-2018 12-35-14 сходится по норме C25-04-2018 11-56-37  к решению u(t). При этом справедлива оценка

25-04-2018 12-40-39   (25)

где 25-04-2018 12-41-27

Доказательство

В силу лемм 1-4 из уравнения (7) имеем

25-04-2018 12-42-31   (26)

Отсюда имеем

25-04-2018 12-43-26

Теорема 1 доказана.

 Список литературы / References

  1. Чоюбеков С.М. Регуляризация решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица / Чоюбеков С.М. // Молодой ученый. – Казань. – № 8 (112) – 2016 – с. 34-37
  2. Чоюбеков С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода / Чоюбеков С.М., Бекешов Т.О., Асанов А. // Вестник № 3 Ошского государственного университета – Ош – 2014 – с. 83-88
  3. Чоюбеков С.М. О решение неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве непрерывных функции / Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. // Вестник № 3, Ошского государственного университета – Ош – 2012 – с. 48-54
  4. Асанов А. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица / Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. // Вестник спец.вып. КНУ имени Ж. Баласагына – Бишкек – 2011 – с. 108-111
  5. Бекешов Т.О. Единственность решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными / Асанов А., Бекешов Т.О. // Материалы Междунар. Конф. «Актуальные проблемы математики и математические моделирования экологических систем», октябрь, 1996 – Алматы.
  6. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и численные методы / Апарцин А.С. // Новосибирск: Наука, Сибирское отделение – 1999 – 193 с.
  7. Апарцин А.С. Применения интегральных уравнений Вольтерра для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики / Апарцин А.С., Караулова И.В., Маркова Е.В. и др. // Электричество, 2005 – № 10 – С. 69-75
  8. Асанов А. О решениях систем нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтера первого рода / Иманалиев М.И., Асанов А. // ДАН 1991 – Т. 317. № 1. – С. 32-35
  9. Иманалиев М.И. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра I- рода / Иманалиев М.И., Асанов А. // Исс. по инт-дифф. Урав-м – Фрунзе: Илим 1988, – Вып.21 – С.3-38
  10. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Р. // М: Наука, 1980.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Choyubekov S.M. Regulyarizatsiya resheniya neklassicheskogo integral’nogo uravneniya s usloviyami Lipshitsa [Regularization of Solution of Nonclassical Integral Equation under Lipschitz Conditions] / Choyubekov S.M. // Molodoj uchenyiy [Young Scientist]. – Kazan – No. 8 (112) – 2016 – pp. 34-37 [in Russian]
  2. Choyubekov S.M. Ob odnom klasse neklassicheskogo integral’nogo uravneniya Vol’terra I roda [On Class of Nonclassical Integral Volterra Equation of First Kind] / Choyubekov S.M., Bekeshov T.O., Asanov A. // Bulletin No. 3 of Osh State University. Osh, 2014, pp. 83-88 [in Russian]
  3. Choyubekov S.M. O resheniye neklassicheskogo integral’nogo uravneniya I roda v prostranstve nepreryvnykh funktsii. [On solution of Nonclassical Integral Equation of First Kind in Space of Continuous Functions] / Asanov A., Bekeshov T.O., Choyubekov S.М. // Bulletin No. 3, Osh State University, Osh, 2012, pp. 48-54 [in Russian]
  4. Asanov A. Regulyarizatsiya i yedinstvennost’ resheniya neklassicheskogo integral’nogo uravneniya s usloviyami Lipshitsa [Regularization and Uniqueness of Solution of Nonclassical Integral Equation under Lipschitz Conditions] / Asanov A., Bekeshov T.O., Choyubekov S.М. // Bulletin, special issue of KNU named after J. Balasagyn. Bishkek, 2011, pp. 108-111 [in Russian]
  5. Bekeshov T.O. Yedinstvennost’ resheniya integral’nogo uravneniya Vol’terra pervogo roda s dvumya nezavisimymi peremennymi [Uniqueness of Solution of Volterra Integral Equation of First Kind with Two Independent Variables] / Asanov A., Bekeshov T.O. // Materials of Intern. Conf. “Topical problems of mathematics and mathematical modeling of ecological systems” – Almaty, 1996 [in Russian]
  6. Apartsin A.S. Neklassicheskiye uravneniya Vol’terra I roda: Teoriya i chislennyye metody [Nonclassical Volterra Equations of First Kind: Theory and Numerical Methods] / Apartsin A.S. // Novosibirsk: Science, Siberian Branch, 1999.-193 p [in Russian]
  7. Apartsin A.S. Primeneniya integral’nykh uravneniy Vol’terra dlya modelirovaniya strategiy tekhnicheskogo perevooruzheniya elektroenergetiki [Applications of Integral Volterra Equations for Modeling Strategies for Technical Re-equipment of Electric Power Industry] / Apartsin A.S., Karaulova I.V., Markova E.V. and others // Electricity, 2005, – No. 10 – P. 69-75 [in Russian]
  8. Asanov A. O resheniyakh sistem nelineynykh dvumernykh integral’nykh uravneniy Vol’tera pervogo roda [On solutions of systems of nonlinear two-dimensional Voltaire integral equations of the first kind] / Imanaliev M.I., Asanov A. // DAN 1991. 317. No. 1. P. 32-35 [in Russian]
  9. Imanaliev M.I. Regulyarizatsiya, yedinstvennost’ i sushchestvovaniye resheniya dlya integral’nykh uravneniy Vol’terra I- roda [Regularization, Uniqueness and Existence of Solution for Volterra Integral Equations of First Kind] / Imanaliev M.I., Asanov A. // Iss. by int.-diff. Urav-m – Frunze: Ilim 1988. – Is.21 – P.3-38 [in Russian]
  10. Lavrentyev M.M. Nekorrektnyye zadachi matematicheskoy fiziki i analiza [Inadequate Problems of Mathematical Physics and Analysis] / Lavrent’ev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.R. // M: Science, 1980 [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.