Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.62.026

Download PDF ( ) Pages: 135-142 Issue: № 08 (62) Part 2 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Antonovskaya O.G. et al. "CONSTRUCTION OF THE CONDITION-EXTREMAL LYAPUNOV FUNCTIONS IN STUDIES OF THE TRAJECTORIES BEHAVIOR OF CONTINUOUS DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 08 (62) Part 2 , (2017): 135. Mon. 28. Aug. 2017.
Antonovskaya, O.G. & Zaytseva, M.N. (2017). POSTROENIE USLOVNO-EKSTREMALYNYH FUNKCIY LYAPUNOVA PRI IZUCHENII POVEDENIYA TRAEKTORIY NEPRERYVNYH DINAMICHESKIH SISTEM NA PLOSKOSTI [CONSTRUCTION OF THE CONDITION-EXTREMAL LYAPUNOV FUNCTIONS IN STUDIES OF THE TRAJECTORIES BEHAVIOR OF CONTINUOUS DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 08 (62) Part 2, 135-142. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2017.62.026
Antonovskaya O. G. CONSTRUCTION OF THE CONDITION-EXTREMAL LYAPUNOV FUNCTIONS IN STUDIES OF THE TRAJECTORIES BEHAVIOR OF CONTINUOUS DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE / O. G. Antonovskaya, M. N. Zaytseva // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2017. — № 08 (62) Part 2 . — С. 135—142. doi: 10.23670/IRJ.2017.62.026

Import


CONSTRUCTION OF THE CONDITION-EXTREMAL LYAPUNOV FUNCTIONS IN STUDIES OF THE TRAJECTORIES BEHAVIOR OF CONTINUOUS DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE

Антоновская О.Г.1, Зайцева М.Н.2

1ORCID: 0000-0002-5688-7996, Кандидат физ.-мат. наук, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2ORCID: 0000-0002-3649-0385, Нижегородский государственный автомеханический техникум

ПОСТРОЕНИЕ УСЛОВНО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

Аннотация

В работе решается задача построения условно-экстремальной функции Ляпунова для непрерывной динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка. Это квадратичной функции Ляпунова, гарантирующая минимальность времени до попадания траектории линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы, в сечение функции Ляпунова, вписанное в заданную полосу. В отношении квадратичной функции Ляпунова предполагается выполнение условия равенства отношения минимума модуля первой производной функции Ляпунова на сечении к значению самой функции заданному числу. Условно-экстремальная функции Ляпунова ищется как квадратичная функция Ляпунова рассматриваемого класса, на сечение которой, вписанное в полосу, попадает траектория линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы с заданной начальной точкой.

Ключевые слова: непрерывная динамическая система,  система дифференциальных уравнений, квадратичная функция Ляпунова.

Antonovskaya O.G.1, Zaytseva M.N.2

1ORCID: 0000-0002-5688-7996, PhD in Physics and Mathematics, Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, 2ORCID: 0000-0002-3649-0385, Nizhny Novgorod State Automotive Technical School

CONSTRUCTION OF THE CONDITION-EXTREMAL LYAPUNOV FUNCTIONS IN STUDIES OF THE TRAJECTORIES BEHAVIOR OF CONTINUOUS DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE

Abstract

The paper presents the solution of the problem of constructing a conditionally extremal Lyapunov function for a continuous dynamical system described by a system of second-order differential equations. This is a quadratic Lyapunov function, which guarantees the minimality of the time before the linearization of a trajectory in a neighborhood of the equilibrium state of the system, into the section of the Lyapunov function inscribed in a given band. With respect to the quadratic Lyapunov function, it is assumed that the condition of equality of the ratio of the modulus minimum of the first derivative of the Lyapunov function on the section to the value of the function itself to a given number is fulfilled. A conditional-extremal Lyapunov function is sought as a quadratic Lyapunov function of the class under consideration, the cross-section of which, inscribed in the strip, is the trajectory of a system linearized in a neighborhood of the equilibrium state with a given initial point.

Keywords: continuous dynamical system, system of differential equations, quadratic Lyapunov function.

  1. Введение

При исследовании динамики систем одной из наиболее важных является проблема определения длительности переходных процессов в системе. Причем критерием окончания переходного процесса в системе может оказаться попадание траектории на заданное, быть может, неограниченное множество, содержащее состояние равновесия, соответствующее рабочему режиму системы [1-3]. И тот факт, что траектория попала на заданное множество, не гарантирует того, что она в дальнейшем этого множества не покинет. Таким образом, возникает задача оценивания подобластей притяжения, гарантирующих окончания переходного процесса с заданной точностью. Для решения этой задачи может быть использован второй (прямой) метод Ляпунова или метод функций Ляпунова [4-6], когда изучается поведение некоторой вспомогательной функции вдоль траекторий системы. При этом функцию Ляпунова нелинейной динамической системы часто ищут  [5, C. 120-132]  в классе положительно определенных квадратичных форм, исходя из того условия, что построенная квадратичная форма является функцией Ляпунова для соответствующей линеаризованной системы. Кроме того, может ставиться вопрос о построении квадратичных функций Ляпунова с некоторыми заданными свойствами, которые определяются особенностями задачи [7-9].

В настоящей работе решается задача построения квадратичной функции Ляпунова, гарантирующей минимальность времени до попадания траектории линеаризованной системы второго порядка в сечение функции Ляпунова, вписанное в полосу, при условии равенства отношения минимума модуля первой производной функции Ляпунова на сечении к значению самой функции заданному числу. Такая функция Ляпунова была названа условно-экстремальной [10].

  1. Постановка задачи

Пусть нелинейная непрерывная динамическая система задана системой дифференциальных уравнений

25-08-2017 10-31-57  (1)

имеющей асимптотически устойчивое состояние равновесие 25-08-2017 10-54-25. И пусть функции fi имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда система (1) допускает линеаризацию в окрестности состояния равновесия [4, C. 74-75]. И пусть соответствующая ей линеаризованная система имеет вид

25-08-2017 10-55-01  (2)

Зададим начальную точку 25-08-2017 10-56-24. Известно [4, С. 71], что поведение траекторий системы (2) в окрестности состояния равновесия 25-08-2017 10-54-25 определяется видом корней характеристического уравнения

25-08-2017 10-58-49  (3)

В дальнейшем будем предполагать, что корни (3) простые и, кроме того, 25-08-2017 10-59-29, т.е. состояние равновесия 25-08-2017 10-54-25 асимптотически устойчиво.

Пусть также задана полоса

25-08-2017 11-00-15   (4)

Для определения момента окончания переходного процесса в системе необходим критерий, гарантирующий не только попадание в полосу (4) траектории линеаризованной системы (2) с начальной точкой , но и тот факт, что в дальнейшем траектория этой полосы не покинет. Для его получения воспользуемся методом функций Ляпунова. Рассмотрим множество квадратичных функций Ляпунова

25-08-2017 11-00-54  (5)

построенных для системы (2). Задача состоит в нахождении параметров квадратичной функции Ляпунова класса (5), удовлетворяющей условию 25-08-2017 11-19-30и гарантирующей минимальность времени до попадания траектории линеаризованной системы (2) в сечение функции Ляпунова, вписанное в полосу (4) (т.е. условно-экстремальной функции Ляпунова).

  1. Методика построения условно-экстремальной функции Ляпунова

1. В случае, когда 25-08-2017 11-20-41  вещественные, 25-08-2017 11-20-50, система (2) линейным невырожденным преобразованием координат

25-08-2017 11-21-37   (6)

где 25-08-2017 11-22-24 – произвольные постоянные, а

25-08-2017 11-22-36   (7)

может быть приведена к каноническому виду

25-08-2017 11-23-43  (8)

При этом полоса (4) на плоскости  перейдет в полосу

25-08-2017 11-24-22  (9)

на плоскости ξ,η, функция 25-08-2017 11-25-00 (5) преобразуется как 25-08-2017 11-25-08, где  есть положительно определенная квадратичная форма

25-08-2017 11-25-27   (10)

которая является функцией Ляпунова (8), т.е. [7]

25-08-2017 11-27-09   (11)

а сечение функции Ляпунова (5) 25-08-2017 11-28-04 , вписанное в полосу (4), переходит в сечение функции (10) 25-08-2017 11-28-49, вписанное в полосу (9), причем

25-08-2017 11-34-53  (12)

где 25-08-2017 11-35-39  –  первая производная (4) в силу (2), а 25-08-2017 11-35-48  –  первая производная (10) в силу (8).  Условие (11)  гарантирует тот факт, что (10) есть функция Ляпунова  для канонической системы (8).

Согласно [7,8] функция 25-08-2017 11-37-30  удовлетворяет условию 25-08-2017 11-37-43, если

28-08-2017 10-21-43  (13)

Будем искать сечение 28-08-2017 10-22-43, вписанное в полосу (9), такое, что траектория (8) с начальной точкой  (координаты которой ищутся по 28-08-2017 10-22-59 в силу (6))  не принадлежащей полосе, попадет в него за минимальное время tmin. А поскольку для сечения 28-08-2017 10-22-43 квадратичной функции (10), вписанного в полосу 28-08-2017 10-25-36, то математическая постановка задачи суть

28-08-2017 10-26-14  (14)

Причем если через точку пересечения траектории с границей полосы проходит вписанное в полосу сечение функции Ляпунова рассматриваемого класса, то соответствующая функция Ляпунова является условно-экстремальной. Для точек (ξ,η) прямой 28-08-2017 10-27-01 подобная ситуация имеет место только, если

28-08-2017 10-27-34

ξ –   любое при 28-08-2017 10-28-11  (η ищется из уравнения 28-08-2017 10-27-01), для точек прямой 28-08-2017 10-29-26

28-08-2017 10-30-00

ξ – любое при 28-08-2017 10-28-11 (η  ищется из уравнения 28-08-2017 10-29-26). Соответствующие значения 28-08-2017 10-32-17 могут быть найдены по формулам

28-08-2017 10-40-17

Если сечения рассматриваемого класса, проходящего через точку пересечения траектории с границей полосы не существует, то движение вдоль траектории продолжается до момента попадания на огибающую семейства сечений функций Ляпунова (10),(13), вписанных в  полосу, а именно на одну из кривых

28-08-2017 10-44-32  (19)

и при этом  28-08-2017 10-45-20 , либо

28-08-2017 10-45-31  (20)

и 28-08-2017 10-46-51. Соответствующие значения K2 можно легко найти в силу (13).

На рис. 1 показано, как располагается огибающая семейства эллипсов при различных допустимых значениях δ. При этом, в случае 28-08-2017 10-47-49 , кривые (19), (20) вырождаются в прямые 28-08-2017 10-48-00, а в случае δ = 0 область, ограниченная прямыми и огибающей, дает максимально возможную для класса квадратичных функций Ляпунова оценку области притяжения устойчивого состояния равновесия, целиком принадлежащую полосе. Для кривых, изображенных на рис.1, 28-08-2017 10-49-04.

28-08-2017 10-49-40

Рис. 1 – Расположение огибающей семейства эллипсов при допустимых значениях δ  в случае действительных значений 28-08-2017 10-52-42

Таким образом, для построения условно-экстремальной функции Ляпунова для исходной нелинейной системы (1) можно поступить следующим образом.  Поскольку 28-08-2017 10-53-21при 28-08-2017 10-53-31, уравнение 28-08-2017 10-53-50 имеет конечное число корней. Пусть 28-08-2017 10-55-25  –  наибольший из них. Рассмотрим точку  28-08-2017 10-54-00  пересечения траектории с границей полосы. Если эта точка принадлежит одному из множеств (15)-(18), то условно-экстремальной будет являться функция, коэффициенты которой ищутся из формулы

28-08-2017 10-56-20  (21)

при учете (13). Если же эта точка не принадлежит ни одному из рассмотренных множеств, то ищется точка пересечения траектории системы с одной из кривых (19), (20), и строится функция Ляпунова с коэффициентами, соответствующими точкам этих кривых.

  1. В случае, когда 28-08-2017 10-57-29, система (2) линейным невырожденным преобразованием координат [4, С. 74-75]

28-08-2017 10-58-04  (22)

где 28-08-2017 10-58-49 произвольные постоянные, приводится к виду

28-08-2017 10-59-29   (23)

При этом функция 28-08-2017 11-00-18(6) преобразуется как 28-08-2017 11-00-49, где 28-08-2017 11-01-13 – положительно определенная квадратичная форма

28-08-2017 11-03-13  (24)

Полоса (4) на плоскости 28-08-2017 11-03-58  перейдет в полосу

28-08-2017 11-04-08   (25)

на плоскости u,v,  а сечение функции Ляпунова (4) 28-08-2017 11-06-08, вписанное в полосу (4), перейдет в сечение функции (24) 28-08-2017 11-08-35, вписанное в полосу (25), причем

28-08-2017 11-09-14  (26)

Подобно предыдущему случаю можно показать [7], что 28-08-2017 11-10-07 является функцией Ляпунова, если имеет место

28-08-2017 11-10-35  (27)

Более того, условие 28-08-2017 11-11-25  имеет место на любом сечении 28-08-2017 11-11-44, если

28-08-2017 11-12-32  (28)

причем 28-08-2017 11-12-46, где

28-08-2017 11-14-02    (29)

Принимая во внимание (28)-(29), а также тот факт, что для любого сечения 28-08-2017 11-11-44, вписанного в полосу,

28-08-2017 11-16-23  (30)

получаем следующую математическую постановку задачи нахождения условно-экстремальной функции Ляпунова для траектории с заданной начальной точкой 28-08-2017 11-41-07

28-08-2017 11-42-03   (31)

где 28-08-2017 11-43-16.

Для точек прямой 28-08-2017 11-44-22 сечение квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющее условию 28-08-2017 11-44-35 и вписанное в полосу, существует только, если

28-08-2017 11-43-59   (32)

а для точек прямой 28-08-2017 11-46-14, если

28-08-2017 11-47-00   (33)

Если сечения рассматриваемого класса, проходящего через точку пересечения траектории отображения с границей полосы не существует, то движение вдоль траектории продолжается до момента попадания на огибающую семейства сечений функций Ляпунова (27), вписанных в полосу, а именно на одну из кривых

28-08-2017 11-47-59

Легко проверить, что отрезки прямых (32),(33) и куски кривых (34),(35) стыкуются в точках прямых 28-08-2017 11-48-56. На рис. 2 приведен вид огибающей для 28-08-2017 11-54-45= 1, μ=-1,ν = , δ = 0, 0.5, 2.

Заметим, что область, ограниченная прямыми и огибающей семейства сечений в случае δ = 0 дает максимально возможную для класса квадратичных функций Ляпунова оценку множества, принадлежащего полосе и обладающего тем свойством, что траектория системы (23) не сможет его покинуть с течением времени. Случай δ = 28-08-2017 11-58-09   в данном случае является особым. В этом случае c(δ) = 4 и существует единственное значение K2=1, для которого сечение 28-08-2017 11-57-58 вписано в полосу.

28-08-2017 11-58-56

Рис. 2 – Расположение огибающей семейства эллипсов при допустимых значениях δ  в случае комплексных значений 28-08-2017 10-52-42

Непосредственно о построении условно-экстремальной функции Ляпунова для траектории нелинейной  системы, соответствующей (23), с начальной точкой 28-08-2017 11-41-07(координаты которой ищутся по 28-08-2017 10-22-59 в силу (22)), можно отметить следующее. Воспользуемся тем, решение системы (23) с начальной точкой 28-08-2017 11-41-07  может быть записано как

28-08-2017 12-04-15  (36)

где 28-08-2017 12-05-16. Легко видеть, что точки пересечения (36) с одной из границ полосы, а также соответствующие значения t>0 могут быть найдены из уравнений

28-08-2017 12-06-07  (37)

Т.к. 28-08-2017 12-07-09, то существует конечное число решений (37), причем интерес представляет t0, являющееся максимальным из них.

Если значение t0 таково, что u(t0) принадлежит одному из отрезков (32),(33) прямых 28-08-2017 12-08-13, то соответствующие значения K2 легко можно найти из соотношений

28-08-2017 12-09-08

для  28-08-2017 12-09-49 соответственно.

Если значение t0 таково, что u(t0) не принадлежит ни одному из отрезков (32),(33), то ищется точка пересечения траектории (36) с любой из кривых (34),(35) в полосе. Поскольку попадание траектории внутрь области, ограниченной огибающей и отрезками (32),(33) прямых 28-08-2017 12-11-56 гарантирует ее невыход из этой области, то существует единственное значение 28-08-2017 12-13-15, отвечающее решению задачи.

  1. Заключение

Приведенные выше рассуждения показывают, что, как и в случае дискретных динамических систем [10], в случае непрерывных динамических систем на плоскости задача построения условно-экстремальной функции Ляпунова допускает аналитическое решение. Причем построенная таким образом квадратичная функция Ляпунова удобна для применения в задаче нахождения длительности переходных процессов в системе.

Список литературы / References

  1. Горюнов В. И. Техническая полоса захвата одноконтурного синтезатора частоты / В. И. Горюнов, В. Н. Ерусланов, Н. И. Лобашов // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. – 1990. –  Вып. 2. – С. 88-94.
  2. Горюнов В. И. К анализу быстродействия синтезатора при переключениях по диапазону / В. И. Горюнов, В. Н. Ерусланов, М. Н. Зайцева // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. – 1986. – Вып. 3. – С. 44-49.
  3. Антоновская О. Г. К анализу формы и длительности переходных процессов при переключениях синтезатора с делителем частоты и пропорционально-интегрирующим фильтром по диапазону / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов, Н. И. Лобашов // Динамика систем: Межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. –  С.59-72.
  4. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. / А. М. Ляпунов.. – М.-Л.:  Изд-во техн.-теор. лит., 1950. –  472 с.
  5. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. / Е. А. Барбашин. –  М. Наука, 1970. – 240 с.
  6. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. / Н. Г. Четаев. –   М.: Наука, 1965. –  207 с.
  7. Антоновская О. Г. О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами / О. Г. Антоновская // Дифференциальные уравнения. – 2013. –    Т.49. –   № 9. –   С. 1220-1224.
  8. Антоновская О. Г. Об определении коэффициентов квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами / О. Г. Антоновская // Дифференциальные уравнения. – 2016. –   Т.52. –    № 3. –   С. 276-281.
  9. Сарыбеков Р.А. Экстремальные квадратичные функции Ляпунова систем уравнений второго порядка. / Р.А. Сарыбеков // Сиб. матем. хурн. – 1977. – Т. 18. –   № 5. –   С. 1159-1167.
  10. Антоновская О. Г. О построении и применении условно-экстремальной функции Ляпунова при изучении динамики системы с помощью точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. – 2006. –  №3(32). –  С. 110-117.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Goryunov V. I. Tehnicheskaya polosa zahvata odnokonturnogo sintezatora chastoty [Technical capture strip of one-contour frequency synthesizer] / V .I. Goryunov, V. N. Eruslanov, N. I. Lobashov // Tehnika sredstv svyasi. Ser. Tehnika radiosvyasi [Techniques of communication. Series Techniques of radio-communication]. – 1990. Vyp. 2. P. 88–94. [in Russian]
  2. Goryunov V.I. K analizu bystrodeystviya sintezatora pri pereklucheniyah po diapazonu [On synthesizer speed analysis when switching in a range] / V .I. Goryunov, V. N. Eruslanov, M. N. Zaytseva // Tehnika sredstv svyasi. Ser. Tehnika radiosvyasi [Techniques of communication. Series Techniques of radio-communication]. – 1986. Vyp. 3. P. 44–49. [in Russian]
  3. Antonovskaya O. G. K analizu formy I dlitelnosti perehodnyh processov pri pereklyucheniyah sintezatora s delitelem chastity I proportsionalno-integrtiruyushim filtrom po diapazonu [On the analysis of form and duration of transient processes when switching over a range in the synthesizer with counter and proportional-integrating filter] / O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov, N. I. Lobashov // Dinamika system: Mezhvuz. sbornik [System dynamics: Inter-university Collection]. – Gorky: Izd-vo GGU, 1989. P. 59–72. [in Russian]
  4. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [General problem of the stability of motion]. / A. M. Lyapunov. – Moscow–Leningrad : Izdat. Nthn.-teor. Lit., 1950. 472 p. [in Russian]
  5. Barbashin E.A. Funktsii Lyapunova [Lyapunov functions]. /E. A. Barbashin. – Moscow: Nauka, 1970. 240 p. [in Russian]
  6. Chetaev N. G. Ustoychivost’ dvizheniya [Stability of motion]. / N. G. Chetaev. – Moscow: Nauka, 1966. 207 p. [in Russian]
  7. Antonovskaya O. G. On the construction of quadratic Lyapunov function with given properties / O. G. Antonovskaya // Differential equations. – 2013. – V. 49. –  № 9. –   P. 1187-1191.
  8. Antonovskaya O. G. Determination of coefficients of a quadratic Lyapunov function with given properties / O. G. Antonovskaya // Differential equations. – 2016. – V. 52. – № 3. –   P. 275-261.
  9. Sarybekov R.A. Ekstremal’nye kvadratichnye funktsii Lyapunova system uravneniy vtorogo poryadka [Extremal quadratic Lyapounov functions for systems of second order] / R.A. Sarybekov // Sib. Matem. Zhyrn. [Siberian Mathematical Journal] – 1977. –   V. 18. –   № 5. –   P. 1159-1167.
  10. Antonovskaya O. G. O postroenii I primenenii uslovno-extremalnoy funktsii Lyapunova pri izuchenii ddinamiki sistemy s pomoshyu tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost’ [On a construction and use of extreme-conditional Lyapunov function when studying system dynamics by poinj mapping plane to plane] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoe modelirovanie I optimal’noe upravlenie [Mathematical modeling and optimal control] Vestnik NNGU. N. Novgorod: Izd-vo NNGU. – 2006. – № 3(32). – P. 110-117. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.