Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.102.12.002

Download PDF ( ) Pages: 9-14 Issue: № 12 (102) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Alybaev K.C. et al. "BOUNDARY LINES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH A PARAMETER". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 12 (102) Part 1, (2021): 9. Fri. 22. Jan. 2021.
Alybaev, K.C. & Narymbetov, T.K. (2021). POGRANICHNYE LINII ANALITICHESKIH FUNKCIY S PARAMETROM [BOUNDARY LINES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH A PARAMETER]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 12 (102) Part 1, 9-14. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.102.12.002
Alybaev K. C. BOUNDARY LINES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH A PARAMETER / K. C. Alybaev, T. K. Narymbetov // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2021. — № 12 (102) Part 1. — С. 9—14. doi: 10.23670/IRJ.2020.102.12.002

Import


BOUNDARY LINES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH A PARAMETER

ПОГРАНИЧНЫЕ ЛИНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Научная статья

Алыбаев К.С.1, Нарымбетов Т.К.2, *

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1 Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Кыргызстан;

2 Научно-исследовательский медико-социальный институт, Жалал-Абад, Кыргызстан

* Корреспондирующий автор (talant83[at]mail.ru)

Аннотация

Исследование различных процессов (электрических и магнитных полей, течение воздуха и жидкостей, квантовой физики и т.д.) сводятся к исследованию аналитических функций комплексного переменного. Объектом исследования данной работе являются аналитические функции комплексного переменного с параметром. Для таких классов функций вводятся понятия пограничная, регулярная, сингулярная точки. Далее определены понятия: сингулярная, регулярная и пограничная области. С использованием топологического подхода вводится более широкое понятие пограничной линии. Из множества пограничных линий выделяется главная пограничная линия, и на примерах показаны топология и разнообразные формы главных пограничных линий (замкнутая, паукообразная, с проколотой точкой, счетное количество), структура пограничной области. Как показывают примеры, для общего случая невозможно определить формы главных пограничных линий и каждый случай надо рассмотреть отдельно.

Ключевые слова: аналитическая функция, пограничная точка, пограничная линия, главная пограничная линия, пограничная область, регулярные и сингулярные области, гармонические функции, линии уровня.

BOUNDARY LINES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH A PARAMETER

Research article

Alybaev K.C.1, Narymbetov T.K.2, *

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1 Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyzstan;

2 Medical and Social Research Institute, Jalal-Abad, Kyrgyzstan

* Corresponding author (talant83[at]mail.ru)

Abstract

The study of various processes (electric and magnetic fields, the flow of air and liquids, quantum physics, etc.) comes down to the study of analytical functions of a complex variable. The subject of research is the analytic functions of a complex variable with a parameter. The research introduces the concepts of boundary, regular, and singular points for such classes of functions and defines the following concepts: singular, regular, and boundary regions. Using the topological approach, the study broadens the concept of a boundary line. The study selects the main boundary line from the set of boundary lines. The examples illustrate the topology and various forms of the main boundary lines (closed, spider-like, with a punctured point, a countable amount) as well as the structure of the boundary area. As shown in the examples throughout, it is impossible to determine the shape of the main boundary lines for the general case, therefore each case must be considered separately.

Keywords: analytic function, boundary point, boundary line, main boundary line, boundary region, regular and singular domains, harmonic functions, contour line.

Вводная часть

В работах [1], [4], [7] при исследовании асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений использованы пограничные линии, регулярные и сингулярные области. При этом пограничные линии определены как прообраз прямолинейного отрезка, и они разделяют только регулярные и сингулярные области. При этом в перечисленных работах не исследованы топология пограничных линий их различные формы и структура пограничных областей.

Необходимые определения

Пусть задана скалярная функция 22-01-2021 11-14-52, где t – комплексная переменная, 22-01-2021 11-15-01 – малый вещественный параметр.

Будем предполагать 22-01-2021 11-14-52 – аналитическая функция  по переменной t в некоторой односвязной области 22-01-2021 11-15-49. Пусть t0 внутренняя точка области D.

Определение 1. Если предел 22-01-2021 11-16-07 не существует, но 22-01-2021 11-16-17 ограничена, то будем говорить, точка t0 является пограничной точкой.

Определение 2. Если предел 22-01-2021 11-16-07 существует, то t0 назовём регулярной точкой.

Определение 3. Если предел 22-01-2021 11-17-16, то t0 назовём сингулярной точкой.

Определение 4. Множество пограничных точек назовём пограничной областью.

Определение 5. Множество регулярных точек назовём регулярной областью, а множество сингулярных точек сингулярной областью.

Определение 6. Одномерное связное (по Урысону) и одновременно компактное множество пограничных точек назовём пограничной линией.

Топология пограничных линий

Далее все рассматриваемые кривые состоят из простых дуг, порождаемых гармоническими функциями. Если такие кривые состоят из пограничных точек, то, согласно определению 6, они являются пограничными линиями.

  1. 22-01-2021 11-33-40 и является простым нулем функции  22-01-2021 11-33-54

При таком предположении через точку t0 проходят единственные линии уровня гармонических функций 22-01-2021 11-35-17. Эти линии определяются уравнениями 22-01-2021 11-35-28  причем они являются взаимно ортогональными [8].

Линия 22-01-2021 11-35-43 некоторую окрестность точки  делить на две части [9]. Рассматриваемую окрестность обозначим 22-01-2021 11-39-43 причем линия 22-01-2021 11-40-24

Функцию 22-01-2021 11-41-35 рассмотрим вдоль линии 22-01-2021 11-43-35. Вдоль этой линии функция 22-01-2021 11-41-35строго монотонна [9]. Поскольку 22-01-2021 11-45-19 то в каждом из частей 22-01-2021 11-45-34принимает либо положительные, либо отрицательные значения. Для определенности возьмём

  22-01-2021 11-58-17 

Если 22-01-2021 13-32-55 Таким образом,  22-01-2021 13-33-07

Пусть 22-01-2021 12-08-12 Отсюда вытекает, что предел 22-01-2021 12-08-21 не существует, но 22-01-2021 12-08-31 ограничена. Следовательно кривая 22-01-2021 11-35-43 пограничная линия, согласно определению 6.

1.2. Пусть в точке t0 функция a(t) имеет n кратный нуль. Тогда некоторая окрестность точки t0 линией 22-01-2021 11-35-43 разделяется на 2n частей, при этом в каждом из частей функция 22-01-2021 11-41-35 попеременно принимает положительные и отрицательные значения [9]. Отрицательные части являются регулярными, а положительные части сингулярными областями, а ветви линии 22-01-2021 11-35-43 пограничными линиями.

Следует отметить, в силу аналитичности функции a(t) существует область  содержащий линию 22-01-2021 11-35-43 где предел 22-01-2021 12-24-58 не существует.

Рассмотрим случай 1.1.

Возьмём линии22-01-2021 13-35-04 Часть линии 22-01-2021 13-35-17 а часть 22-01-2021 13-35-28 Область, ограниченную линиями 22-01-2021 13-35-04, обозначим 22-01-2021 13-35-58 причем будем считать, что эти линии не принадлежат 22-01-2021 13-35-58.

Если 22-01-2021 13-39-48 . Для точек 22-01-2021 13-35-58 предел 22-01-2021 13-39-58, вообще говоря, не существует.

Область, ограниченная линиями 22-01-2021 12-27-47, является пограничной областью. Заметим, пограничная область содержит бесчисленное множество пограничных линий. К примеру, в рассматриваемом примере произвольная линия 22-01-2021 12-28-01 (которая содержится в пограничной области является пограничной линией). При этом пограничная линия 22-01-2021 12-28-20 разделяет множество пограничных линий. Целесообразно введение следующего определения

Определение 7. Пограничную линию 22-01-2021 12-28-20, разделяющую множество пограничных линий (пограничную область), назовём главной пограничной линией.

Пусть рассматривается уравнение

22-01-2021 12-31-15     (1)

с начальным условием

22-01-2021 12-31-21    (2)

Решение задачи (1) – (2) можно представить в виде

22-01-2021 12-31-28

22-01-2021 12-32-37

Если 22-01-2021 12-33-00 не существует. Согласно принятым определениям,  22-01-2021 12-33-10 -главная пограничная линия;  22-01-2021 12-33-22 –  регулярные области.

22-01-2021 12-34-52

Без ограничения общности будем считать, что линия 22-01-2021 12-33-10 область D разделяет на части 22-01-2021 12-38-13 (Всегда существует некоторая окрест точки t0 которая линией 22-01-2021 12-33-10 разделяется на две части, согласно заданным условиям)[8].

22-01-2021 12-39-08

Следовательно 22-01-2021 12-33-10 – главная пограничная линия, а  22-01-2021 12-38-13 сингулярные области.

Различные формы главных пограничных линий

Приведем примеры показывающие различные формы главных пограничных линий.

Пример 1. Пусть задана функция

22-01-2021 12-44-24

22-01-2021 12-45-46 – аналитическая функция в некоторой односвязной области   t0 внутренняя точка области D.

Пусть выполняется условие

22-01-2021 12-45-53

При выполнении условия U существует такой гомеоморфизм

22-01-2021 12-46-01 достаточно малой окрестности точки t0 на круг, при котором t0 соответствует центру круга.

Таким образом, не ограничивая общности, рассмотрим функцию

22-01-2021 12-46-35

Заданную функцию представим в виде

22-01-2021 12-46-40

Полагая22-01-2021 12-46-46  рассмотрим следующие функции

22-01-2021 12-46-58

Данные кривые, по совокупности, плоскость C разделяют на несколько частей, причем одна часть, ограниченная частями кривых, является регулярной областью для 22-01-2021 12-51-37, а оставшиеся части сингулярной областью (рис. 1) t2.

22-01-2021 12-52-25

Рис. 1 – Замкнутая главная пограничная линия

 

Части кривых  22-01-2021 12-53-03, являются главной пограничной линией.

22-01-2021 12-53-25

Полагая 22-01-2021 12-57-54 рассмотрим кривые

22-01-2021 12-58-01

Кривая 22-01-2021 12-58-39 Каждая из ветвей являются полупрямыми, исходящими из данных точек (рис. 2) t2.

22-01-2021 12-58-57

Рис. 2 – Разветвление кривых

Главная пограничная линия, определяемая рассматриваемыми кривыми, изображена на рис. 3.

22-01-2021 13-01-32

Рис. 3 – Паукообразная главная пограничная линия

Пример 3. Пусть 22-01-2021 13-03-02. Пологая 22-01-2021 13-03-18 рассмотрим функцию 22-01-2021 13-03-40 Главная пограничная линия, согласно определению 7, определяется уравнением 22-01-2021 13-04-13 Отсюда получаем 22-01-2021 13-04-27 Данная функция определяет гиперболы, проходящие через точки 22-01-2021 13-04-44 Точка 22-01-2021 13-04-58 является особой для функции 22-01-2021 13-05-07 Таким образом, главная пограничная линия состоит из гиперболы  и гиперболы22-01-2021 13-05-23 проколотой точкой 22-01-2021 13-04-58 (рис.4).

22-01-2021 13-17-56

Рис. 4 – Главная пограничная линия, несвязанная с проколотой точкой

 

Пример 4. 22-01-2021 13-19-09 Главная пограничная линия определяется уравнением 22-01-2021 13-19-23 целое число. Таким образом, прямые 22-01-2021 13-19-35 являются главными пограничными линиями (рис.5).

22-01-2021 13-26-02

Рис. 5 – Счетное количество главных пограничных линий

 

Заключение

Рассматриваемые примеры показывают: главные пограничные линии (если они существуют) разделяют рассматриваемые области на регулярные и сингулярные; регулярные и регулярные; сингулярные и сингулярные, а также они имеют различные формы; существуют пограничные области содержащие пограничные линии.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / К.С. Алыбаев // Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190-200.
  2. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями / К.С. Алыбаев, К.Б. Тампагаров // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. № 10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. – С.59-66.
  3. Алыбаев К.С. Существование погранслойных линий для линейных сингулярно-возмущенных уравнений с аналитическими функциями / К.С.Алыбаев, К.Б.Тампагаров // Актуальные проблемы, теории управления, топологии и операторных уравнений: Материалы II-й международной конференции, посвященной 20-летию КРСУ и 100-летию профессора Я.В.Быкова. – Бишкек, 2013. – С. 83-88.
  4. Алыбаев К.С. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями / П.С. Панков, К.С. Алыбаев, М.Р. Нарбаев, К.Б.Тампагаров // Вестник ОшГУ, 2013. – № 1 (специальный выпуск). – C. 227-231.
  5. Алыбаев К.С. Построение областей притяжения при вырождении сингулярно возмущенных уравнений / К.С. Алыбаев, А.Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. № 9 (75). Екатеринбург, 2018. – С. 7-11.
  6. Мурзабаева А.Б. Построение размеченных множеств применением гармонических функций / А.Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. № 9 (75). Екатеринбург, 2018. – С. 32-36.
  7. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А. Евграфов. – Москва: Наука, 1991. – 448 с.
  8. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – Москва: Наука, 1973. – 739 с.
  9. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В.Федорюк. – Москва: Наука, 1977. – 368 с.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Alybaev K.S. Metod linij urovnja issledovanija singuljarno vozmushhennyh uravnenij pri narushenii uslovija ustojchivosti [Method of level lines of the study of singularly perturbed equations in violation of the conditions of stability] / K.S. Alybaev // Vestnik KNU. – Series 3, Issue 6. – Bishkek, 2001. – Pp. 190-200. [in Russian]
  2. Alybaev K.S. Metod pogranslojnyh linij postroenija reguljarno i singuljarnyh oblastej dlja linejnyh singuljarno vozmushhennyh uravnenij s analiticheskimi funkcijami [Method of boundary-layer lines of regular and singular domains construction for linear singularly perturbed equations with analytical functions] / K. S. Alybaev, K. B. Tampagarov // Estestvennye i matematicheskie nauki v sovremennom mire: sb. statej po materialam XLVII mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii [Natural and mathematical Sciences in the modern world: collection of articles based on XLVII international scientific-practical conference]. No. 10 (45). Russia, Novosibirsk: Sibak, 2016. – Pp. 59-66. [in Russian]
  3. Alybaev K.S. Sushhestvovanie pogranslojnyh linij dlja linejnyh singuljarno-vozmushhennyh uravnenij s analiticheskimi funkcijami [The existence of boundary layer lines for linear singularly perturbed equations with analytic function] / K.S.Alybaev, K.B. Tampagarov // Aktual’nye problemy, teorii upravlenija, topologii i operatornyh uravnenij: Materialy II-j mezhdunarodnoj konferencii, posvjashhennoj 20-letiju KRSU i 100-letiju professora Ja.V.Bykova [Actual problems, control theory, topology and operator equations: Materials of the II International Conference anniversary of KRSU and the 100th anniversary of Professor Ya.V. Bykov]. – Bishkek, 2013 .– P. 83-88. [in Russian]
  4. Alybaev K.S. Javlenie pogranslojnyh linij i asimptotika reshenij singuljarno vozmushhennyh linejnyh obyknovennyh differencial’nyh uravnenij s analiticheskimi funkcijami [Phenomenon of boundary layer lines and the asymptotics of solutions of singularly perturbed linear ordinary differential equations with analytic functions] / P.S. Pankov, K.S. Alybaev, M.R. Narbaev, K.B. Tampagarov // Vestnik OshGU [Bulletin of Osh State University], 2013. – No. 1 (special issue). – P. 227-231. [in Russian]
  5. Alybaev K.S. Postroenie oblastej pritjazhenija pri vyrozhdenii singuljarno vozmushhennyh uravnenij / K.S. Alybaev, A.B. Murzabaeva [Construction of regions of attraction at degeneration of singularly perturbed equations] / K. S. Alybaev, A. B. Murzabaeva // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel’skij zhurnal [International research journal]. No. 9 (75). Ekaterinburg, 2018. – Pp. 7-11. [in Russian]
  6. Murzabaeva A.B. Postroenie razmechennyh mnozhestv primeneniem garmonicheskih funkcij [Construction of marked sets using harmonic functions] / А.B. Murzabaeva // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel’skij zhurnal [International research journal]. No. 9 (75). Ekaterinburg, 2018 .– P. 32-36. [in Russian]
  7. Evgrafov M. A. Analiticheskie funkcii [Analytical functions] / M. A. Evgrafov. – Moscow: Nauka, 1991. – 448 PP.
  8. Lavrentiev M. A. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] / M. A. Lavrentiev, B. V. Shabat. – Moscow: Nauka, 1973. – 739 p. [in Russian]
  9. Fedoryuk M. V. Metod perevala [The method of the pass] / M. V. Fedoryuk. Moscow: Nauka, 1977. – 368 p. [in Russian]

 

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.