Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.110.8.002

Download PDF ( ) Pages: 6-12 Issue: № 8 (110) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Antonovskaya O.G. et al. "ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 8 (110) Part 1, (2021): 6. Mon. 04. Oct. 2021.
Antonovskaya, O.G. & Besklubnaya, A.V. (2021). OB ISSLEDOVANII SISTEMY, BLIZKOY K GARMONICHEKOMU OSCILLYATORU, METODOM PRIBLIGHENNYH TOCHECHNYH OTOBRAGHENIY [ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 8 (110) Part 1, 6-12. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2021.110.8.002
Antonovskaya O. G. ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2021. — № 8 (110) Part 1. — С. 6—12. doi: 10.23670/IRJ.2021.110.8.002

Import


ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМЫ, БЛИЗКОЙ К ГАРМОНИЧЕКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ,
МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Научная статья

Антоновская О.Г.1, *, Бесклубная А.В.2

1 ORCID: 0000-0002-5688-7996;

1, 2 Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия

* Корреспондирующий автор (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Аннотация

Теория нелинейных колебаний является одной из важнейших составляющих современной науки. Нелинейными колебаниями принято называть колебательные явления, возникающие в нелинейных динамических системах. Наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью, для которых разработаны различные асимптотические методы. Причем до сих пор особый интерес представляет изучение нелинейных систем, близких к гармоническому осциллятору. В настоящей работе рассматривается возможность исследования методом приближенных точечных отображений близкой к гармоническому осциллятору системы, оба уравнения которой содержат нелинейные члены. Приводятся явно заданные функции последования точечного отображения, при построении которого используются асимптотические методы, а также результаты их изучения.

Ключевые слова: нелинейная колебательная система, фазовое пространство, синхронизация, гармонический осциллятор, малый параметр, асимптотические методы исследования, метод точечных отображений.

ON THE STUDY OF A SYSTEM CLOSE TO A HARMONIC OSCILLATOR
VIA APPROXIMATE POINT MAPPING

Research article

Antonovskaya O.G.1, *, Besklubnaya A.V.2

1 ORCID: 0000-0002-5688-7996;

1, 2 Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia

* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Abstract

The theory of nonlinear oscillations is one of the most important components of modern science. Nonlinear oscillation is a term usually applied to oscillatory phenomena that occur in nonlinear dynamical systems. The most accessible for research are oscillatory systems with low nonlinearity, for which various asymptotic methods have been developed. Moreover, the study of nonlinear systems close to a harmonic oscillator is still of particular interest. The current study assesses the possibility of studying a system close to harmonic oscillators by via approximate point mapping, both equations of which contain nonlinear terms. The article provides explicitly defined functions of the sequence of a point map, in the construction of which asymptotic methods are used, as well as the results of their analysis.

Keywords: nonlinear oscillatory system, phase space, synchronization, harmonic oscillator, small parameter, asymptotic research methods, point mapping method.

Теория колебаний занимается изучением общих закономерностей, а также разработкой методов исследования колебательных процессов. А поскольку как качественное, так и количественное, изучение всякой реальной системы требует ее математического описания, можно утверждать [1], [2], что теория колебаний занимается составлением и исследованием математических моделей динамики систем различной физической природы. Основываясь на анализе моделей, теория колебаний устанавливает общие свойства колебательных процессов в системах. Причем математическая модель в теории колебаний играет двоякую роль: с одной стороны это идеализированное описание различных динамических систем, с другой – модель, отображающая различные колебательные явления. А принимаемые идеализации для одних и тех же систем могут быть различными в зависимости от особенностей решаемых задач
[2, С. 9-10]. То есть характер идеализаций, допустимых при рассмотрении той или иной задачи, определяется задачей в целом и зависит не только от свойств рассматриваемой системы, но от того, ответы на какие вопросы желательно получить [1, С. 16]. И допустимость той или иной идеализации зависит от количественных соотношений, характеризующих ту или иную задачу [1, С. 17]. Только совпадение или несовпадение свойств, получаемых для математической модели, и свойств реальной системы позволяет сделать вывод о необходимости учета каких-то дополнительных факторов при исследовании. К настоящему времени теория нелинейных колебаний нашла свое применение не только в механике, физике технике, но и таких менее традиционных науках, как химия, биология, экономика и др. [1].

К сожалению математически модели реальных динамических систем могут быть достаточно сложными для исследования, таким образом часто ставится задача их упрощения, приближенного аналитического исследования всеми доступными методами, и, в конечном итоге, методами численными, поскольку их точное аналитическое исследование не всегда возможно..

Известно [1], [3], что теория линейных колебаний разработана достаточно детально, поэтому часто при исследовании нелинейных колебательных процессов применялись линейные схемы, не учитывающие собственно нелинейность. Однако такой подход может привести к определенным не только количественным, но и качественным ошибкам [2, С. 13]. То есть требуется непременно рассматривать систему как нелинейную [1, С. 28]. Причем в рамки линейной теории как правило не укладываются те явления, которые являются наиболее интересными [1, С. 10]. Изучение поведения нелинейных систем является задачей более сложной, чем изучение линейных систем, потому что это более глубокое изучение колебательных процессов.

В идеале при рассмотрении конкретной системы требуется полное (качественное и количественное) исследование, т.е. нахождение всех возможных периодических решений и состояний равновесия, исследование их устойчивости и зависимости от параметров системы. К настоящему времени разработан математический аппарат для исследования если и не любых нелинейных колебаний, то уж точно колебаний достаточно близких к линейным [2]. Достаточно близкими к линейным обычно называют колебания, уравнения математической модели для которых содержат некоторый параметр, входящий в них так, что если он обращается в ноль, система становится линейной. При этом предполагается, что этот параметр принимает малые по абсолютной величине значения (малый параметр). Для исследования таких колебаний традиционно используют прежде всего асимптотические методы такие, как метод возмущений [2, С. 13], метод Ван-дер-Поля (или «метод медленно меняющихся амплитуд») [1, С. 653], [2, С. 371] и т.д. Применение асимптотических методов позволяет упростить уравнения модели, сохраняя при этом хорошую точность. Однако следует учитывать и тот факт, что существенное свойство таких методов – ограничения по их применению и ограниченная точность.

В настоящей работе методом приближенных точечных отображений исследуется система, близкая к гармоническому осциллятору [1, С. 378]. В методике построения приближенного точечного отображения [4], [6], [7], описывающего поведение системы, используется сочетание метода последовательных приближений и метода точечных отображений [8]. Собственно, вопрос о применении асимптотических методов для получения точечного отображения ставился уже давно [8, С. 205-210]. Метод, применяемый в настоящей работе, ранее достаточно успешно применялся для исследования квазигармонического осциллятора [4], [5], [7]. Исследуемая ниже система имеет ту особенность, что ее математическая модель не получена из уравнения квазигармонического осциллятора, то есть нелинейные члены присутствуют в обоих уравнениях системы. Вообще метод точечных отображений может быть применен ко многим проблемам нелинейных колебаний [1], поскольку, как известно, структура динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ей на секущей поверхности точечного отображения [8, С. 187-188]. При использовании этой методики для изучения конкретных динамических систем существенную роль играет выбор способа построения точечного отображения. В частности, согласно методу точечных отображений, вопрос о существовании у системы 04-10-2021 10-00-15 -периодического решения может быть выяснен через изучение вопроса о существовании неподвижной точки у точечного отображения T, порождаемого фазовыми траекториями системы на секущей поверхности 04-10-2021 10-00-43 (или отображение сдвига 04-10-2021 10-00-51 для изучаемой системы). А поскольку система является близкой к гармоническому осциллятору, то точечное отображение T есть близкое к тождественному точечное отображение [8, С. 210-223]. В настоящей работе вместо отображения  вводится в рассмотрение отображение, которое с точностью до 04-10-2021 10-02-17 (где μ – малый параметр) может рассматриваться как отображение сдвига 04-10-2021 10-00-51 для системы и имеет явно заданные функции последования. То есть задача отыскания периодического решения системы сводится к значительно более простой задаче. Обсуждается вопрос о возможности практического применения результатов приближенного исследования.

Будем рассматривать систему дифференциальных уравнений

04-10-2021 10-26-08   (1)

где 04-10-2021 10-26-16 – малый параметр. Необходимо определить условия существования у системы (1) 04-10-2021 10-26-29-периодического решения.

Для построения приближенного точечного отображения, подобно [4], [5, С. 5-6], воспользуемся заменой

04-10-2021 10-26-38   (2)

приводящей (1) к виду системы для «медленно меняющихся амплитуд» [1, С. 653-655]

04-10-2021 10-26-49    (3)

откуда как в [4], [5, С.5-6], учитывая, что 04-10-2021 10-27-15 получаем точечное отображение 04-10-2021 10-27-28

04-10-2021 10-32-10

Здесь 04-10-2021 10-32-35. Отображение 04-10-2021 10-27-28 с точностью до членов порядка 04-10-2021 10-02-17 приближает точечное отображение T, порождаемое траекторией системы (1) на секущей поверхности [9]. А периодическим решениям системы (1) соответствуют неподвижные точки такого отображения.

Условия существования 04-10-2021 10-32-56 неподвижной точки точечного отображения (4)(5) дают соотношения

04-10-2021 10-33-08    (6)

где 04-10-2021 10-33-19 находится из уравнения

04-10-2021 10-33-26    (7)

То есть факт существования (6) неподвижных точек 04-10-2021 10-27-28 определяется фактом существования корней 04-10-2021 10-37-03 у (7).

Заметим, что уравнение (7), имеет единственный корень 04-10-2021 10-37-03 при любых значениях параметра ξ. Причем при 04-10-2021 10-37-38. Т.е. резонансная кривая является разомкнутой для любого A (рисунок 1). Наибольшее значение p соответствует 04-10-2021 10-42-10, причем 04-10-2021 10-37-54

Исследования устойчивости неподвижных точек точечного отображения 04-10-2021 10-27-28 тесно связано с вопросами расположения корней характеристического полинома [10]

04-10-2021 10-38-54   (8)

по отношению к единичному кругу 04-10-2021 10-39-03. Пара действительных корней полинома P(z) (8) соответствует значения параметров 04-10-2021 10-39-23, корни являются комплексно-сопряженными при 04-10-2021 10-39-33. Отсюда следует вывод о том, что граница 04-10-2021 10-39-42, соответствующая уходу пары корней характеристического полинома с действительной оси в этом случае будет иметь вид двух полупрямых

04-10-2021 11-04-44   (9)

Характер устойчивости неподвижной точки (6) определяется бифуркациями корней характеристического уравнения относительно условия 04-10-2021 11-04-54, т.е. меняется при переходе корня характеристического полинома через одно из значений: 04-10-2021 11-05-14 а также пары комплексно-сопряженных корней через значения 04-10-2021 11-05-27

В результате, границе 04-10-2021 11-05-36 соответствует уравнение

04-10-2021 11-05-43   (10)

которому отвечает единственная точка плоскости параметров, а именно 04-10-2021 11-05-50.

04-10-2021 11-09-33

Рис.1 – Вид резонансных кривых

 

Аналогично, границе 04-10-2021 11-12-32 в предположении, что 04-10-2021 11-12-38, соответствует уравнение

04-10-2021 11-12-44   (11)

поэтому его канонический вид определяет кривую второго порядка, которая является эллипсом с центром в точке 04-10-2021 11-12-51 и главными диаметрами 04-10-2021 11-13-01, целиком лежащим в области 04-10-2021 11-21-29.

Границе 04-10-2021 11-21-35 отвечает уравнение

04-10-2021 11-21-43   (12)

Уравнение 04-10-2021 11-21-35 есть уравнение эллипса, т.е. эта граница представляет собой куски эллипса с центром в точке  04-10-2021 11-29-53  и главными диаметрами 04-10-2021 11-13-01, принадлежащие области 04-10-2021 10-39-33. Границы 04-10-2021 11-30-08 стыкуются в точках с04-10-2021 11-30-19.

Взаимное расположение границ  (10)(12) приведено на рисунке 2. В результате получаем картину D-разбиения при малых μ. Границы D-разбиения приведены с соответствующей штриховкой в сторону выхода корней характеристического уравнения из единичного круга. В случае бифуркации корней на действительной оси имеем однократную штриховку, в случае бифуркации комплексно-сопряженных корней – двойную штриховку. При этом область D=0 есть область устойчивости (в случае D=1 один из корней имеет модуль, больший единицы, в случае D=2 – имеется два таких корня).

04-10-2021 11-33-36

Рис. 2 – Примерный вид границ D-разбиения

 

Если будем исследовать зависимость уравнений границ 04-10-2021 11-32-36 от малого параметра, можно увидеть, что область устойчивости является ограниченной при любом конечном, хотя и малом μ, но все более расширяется при 04-10-2021 11-34-49. Вопрос о существовании неподвижных точек точечного отображения 04-10-2021 10-27-28 с некоторым характером устойчивости при A=const и различных ξ (а значит, предположительно, 04-10-2021 10-00-15-периодического решения исходной системы с тем или иным характером устойчивости) решается наложением картины поведения границ области устойчивости на плоскости ξ, p при заданном μ на плоскость с резонансной кривой при заданном A (см. рисунок 3).

Помимо этого отметим, что устойчивый режим, в случае его существования, имеет в фазовом пространстве отображения 04-10-2021 10-27-28 ограниченную область притяжения, расширяющуюся при 04-10-2021 11-34-49. Устойчивость бесконечности в этом случае можно доказать с использованием методики, предложенной в работе [11].

04-10-2021 11-39-43

Рис. 3 – Взаимное расположение резонансных кривых и границ области устойчивости при 04-10-2021 11-40-42

 

Выберем простейшую функцию Ляпунова

04-10-2021 11-40-49   (13)

Первая разность (13) на произвольном сечении 04-10-2021 11-40-58 в силу (4)(5) будет удовлетворять условию

04-10-2021 11-46-17    (14)

где

04-10-2021 11-46-24    (15)

При любом конечном, хотя и малом, значении μ определяющим членом 04-10-2021 11-46-34 является 04-10-2021 11-46-42 (15). То есть величина первой разности 04-10-2021 11-46-49 на сечении 04-10-2021 11-46-55 становится положительной при увеличении 04-10-2021 11-47-07, где

04-10-2021 11-47-18   (16)

А значит, бесконечность в приближенной модели устойчива.

В заключение отметим, что метод приближенных точечных отображений, примененный для решения задачи о существовании у системы, близкой к гармоническому осциллятору периодических решений, является методом асимптотическим. То есть для применения этого метода требуется иметь хотя бы некоторое представление о степени его точности и пределах применимости, а именно: асимптотическое решение задачи должно оказаться близким к его точному решению. А значит, требуется обоснование метода приближенных точечных отображений, как, собственно, и обоснование применимости любых асимптотических методов [2, C. 451-520], [8, C. 213-218], [12, C. 35-51]. Вопрос об обосновании метода приближенных точечных отображений как асимптотического метода дается в работах [5, С. 8188], [13]. Как правило, оценка требуемой малости параметра при обосновании асимптотических методов представляет собой трудную и неблагодарную задачу [8, С. 207], поскольку эти оценки слишком грубы и не дают оснований к практическому применению. Скажем, в [8, C. 205-206] рассматривалась возможность применения метода малого параметра для решения подобных задач, связанный однако с требованием сходимости рядов. Применение же метода последовательных приближений [8, С. 207-210], основанного на принципе сжимающих отображений, позволяет, как это сделано в работах [5, С. 123135], оценить значения малого параметра, при которых выводы, сделанные на основании результатов приближенного исследования, применимы на практике, и прежде всего – как основа для дальнейшего изучения исходной системы, в том числе и численными методами, поскольку применение численных методов имеет смысл при наличии некоторых результатов предварительного теоретического исследования.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Физматгиз, 1959. – 916 с.
  2. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. – М.: Наука, 1984. – 432 с.
  3. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. – М.: Наука, 1974. – 504 с.
  4. Антоновская О. Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 1999. – № 2(21). – С. 198–208.
  5. Антоновская О. Г. Метод точечных отображений в задачах нелинейной динамики / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов. – Гамбург: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 с.
  6. Антоновская О. Г. Об одном случае исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская, М. Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. – 2018. – № 8(74). – С. 7–14.
  7. Антоновская О. Г. К исследованию квазигармонического осциллятора с нелинейностью, обладающей насыщением / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Международный научно-исследовательский журнал. – 2020. – № 2(92). – С. 10 –18.
  8. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. / Ю. И. Неймарк. – М.: Наука, 1972. – 472 с.
  9. Антоновская О. Г. Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений при учете неизохронности процессов в динамике систем ИФАПЧ / О. Г. Антоновская // Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2013. – № 5(1). – С. 210–212.
  10. Неймарк Ю. И. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний II / Ю. И. Неймарк // Изв. вузов: Радиофизика. – 1958. – Т. 1. – № 2. – С. 95-117.
  11. Антоновская О. Г. О влиянии характера нелинейности на результаты исследования синхронизации квазигармонического осциллятора методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Международный научно-исследовательский журнал. – 2021. – № 1(103). – Часть 1. – С. 22-29.
  12. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский – Киев: Наукова думка, 1971. – 440 с.
  13. Антоновская О. Г. О приближенном исследовании близкого к тождественному точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2004. – № 1(27). – С. 63–69.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Andronov A. A. Teoriya kolebaniy [Vibrations theory] / A. A. Andronov, A. A. Vitt, S. Yu. Haykin. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 916 p. [in Russian]
  2. Rabinovitch M. I. Vvedeniye v teoriyu kolebaniy I voln [Introduction into the theory of vibrations and waves] / M. I. Rabinovitch, D. I. Trubetskov. – M.: Nauka, 1984. – 432 p. [in Russian]
  3. Bogolyubov N. N. Asimptotichesiye metody v teorii nelineynyh kolebaniy [Asymptotic methods in nonlinear vibrations theory] / N. N. Bogolyubov, Yu. A. Mitropolskiy – M.: Nauka, 1974. – 504 p. [in Russian]
  4. Antonovskaya O. G. O vliyanii nasysheniya nelineynosti na resultaty issledovaniya prinuditelnoy sinkhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the influence of nonlinearity saturation on the results of the forced synchronization received by means of approximate point mappings method] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 1999. – № 2(21). – P. 198–208. [in Russian]
  5. Antonovskaya O. G. Metod tochechnykh otobrazheniy v zadachakh nelineynoy dinamiki [Point mappings method in non-linear dynamics problems]/ O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov. – GmbH: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 p. [in Russian]
  6. Antonovskaya O. G. Ob odnom sluchae issledovaniya prinuditelnoy sinhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [Investigation of forced synchronization by the method of approximate point mappings] / O. G. Antonovskaya, M. N. Zaytseva // International research journal – 2018. – № 8(74). – P. 7–14. [in Russian]
  7. Antonovskaya O. G. K issledovaniyu kvazigarmonicheskogo oscilliatora s nelineynost’u, obladayushey nasysheniyem [On study of quasiharmonic oscillator with nonlinearity and saturation] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // International research journal – 2020. – № 2 (92). – P. 10–18. [in Russian]
  8. Neymark Yu. I. Metod tochechnykh otobrazheniy v teriyi nelineynykh kolebaniy [Point mappings method in non-linear vibrations theory] / Yu. I. Neymark. – M.: Nauka, 1972. – 472 p. [in Russian]
  9. Antonovskaya O. G. Metod posledovatel’nykh priblizheniy v otsenke blizosti priblizhennogo I tochnogo tochechnykh otobrazheniy pri uchete neizokhronnosti protsessov v dinamike sistemy IFAPCH [Successive approximation technique in proximity evaluation for exact and approximate point mappings, taking into account non-isochronism in pulsed phase-locked loop system dynamics] / O. G. Antonovskaya // Vestnik NNGU [NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2013. – № 5(1). – P. 210–212. [in Russian]
  10. Neymark Yu. I. Metod tochechnykh preobrazovaniy v teriyi nelineynykh kolebaniy II [Point mappings method in non-linear vibrations theory. II] / Yu. I. Neymark.Неймарк // Izv. Vuzov. Radiofizika. [Proceedings of higher institutions. Radio-physics] – 1958. – V. 1. – № 2. – P. 95-117. [in Russian]
  11. Antonovskaya O. G. O vliyanii charaktera nelineynosti na rezuliaiy issledovaniya sinchronizatsii kvazigarmonicheskogo oscilliatora metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the effect of nonlinearity types con the results studing the synchronization of quasi-harmonic oscillator via approximate point mapping] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // International research journal – 2021. – № 1(103). – Part 1. – P. 22–29. [in Russian]
  12. Mitropolskiy Yu. A. Metod usredneniya v nelineynoy mechanike [Averaging method in nonlinear mechanics] / Yu. A. Mitropolskiy – M.: Naukova dumka, 1971. – 440 p. [in Russian]
  13. Antonovskaya O. G. O priblizhennom issledovanii blizkogo k tozhdestvennomu tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost [On the approximate study of close to identical point mapping plain to plain] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2004. – № 1(27). – P. 63–69. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.