Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.58.135

Download PDF ( ) Pages: 110-114 Issue: № 04 (58) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Volosatova T.A. et al. "SOME ADDITIONS TO THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH OSCILLATING COEFFICIENTS". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 04 (58) Part 1, (2017): 110. Mon. 17. Apr. 2017.
Volosatova, T.A. & Danekiants, A.G. (2017). NEKOTORYE DOPOLNENIYA K VOPROSAM O MNOGOMERNYH INTEGRALYNYH OPERATORAH S OSCILLIRUYUSCHIMI KOEFFICIENTAMI [SOME ADDITIONS TO THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH OSCILLATING COEFFICIENTS]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 04 (58) Part 1, 110-114. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2017.58.135
Volosatova T. A. SOME ADDITIONS TO THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH OSCILLATING COEFFICIENTS / T. A. Volosatova, A. G. Danekiants // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2017. — № 04 (58) Part 1. — С. 110—114. doi: 10.23670/IRJ.2017.58.135

Import


SOME ADDITIONS TO THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH OSCILLATING COEFFICIENTS

Волосатова Т.А.1, Данекянц А.Г.2

1ORCID: 0000-0001-6416-0212, Кандидат физ.-мат. наук,

Донской государственный технический университет (Ростов-на-Дону)

2ORCID: 0000-0002-0409-0694, Кандидат физ.-мат. наук,

Донской государственный технический университет (Ростов-на-Дону)

НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ К ВОПРОСАМ О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Аннотация

В статье представлены многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и радиальными осциллирующими коэффициентами вида |x|, действующие в пространстве L2(Bn). Для операторов такого вида определен символ, в терминологии которого получены необходимые и достаточные условия нётеровости и вычислительная формула для индекса. Так же сформулирован критерий нётеровости и формула индекса для близкого класса операторов, действующих в L2(Bn). В данной статье, приведены некоторые важные дополнения и уточнения к основным результатам , опубликованным ранее, и в качестве дополнения рассмотрен частный случай интегрального оператора.

Ключевые слова: интегральные операторы с однородными ядрами, интегральные операторы с осциллирующимикоэффициентами, критерий нётеровости, многомерные интегральные уравнения.

Volosatova T.A.1, Danekiants A.G.2

1ORCID: 0000-0001-6416-0212, PhD in Physics and Mathematics,

Don State Technical University (Rostov-on-Don)

2ORCID: 0000-0002-0409-0694, PhD in Physics and Mathematics,

Don State Technical University (Rostov-on-Don)

SOME ADDITIONS TO THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH OSCILLATING COEFFICIENTS

Abstract

The paper presents multidimensional integral operators with homogeneous cores and radial oscillating coefficients of |x|, acting in space L2(Bn). A symbol is defined for operators of this type in the terminology while necessary and sufficient conditions for noethericity and the computational formula for the index are obtained. A criterion for noethericity property and the index formula for a similar class of operators acting in L2(Bn) have been established. In this paper, we give some important additions and refinements to the main results published earlier. We have also considered a special case of an integral operator as a supplement.

Keywords: integral operators with homogeneous cores, integral operators with oscillating coefficients, criterion for noethericity, multidimensional integral equations.

В современном мире уровень развития страны во многом определяется уровнем развития и эффективностью инновационной деятельности. Инновационная деятельность компаний различных секторов экономики основывается на научно-технических разработках и их реализации. На начальном этапе работы проекта необходимо построение модели процесса, ее исследование, и нахождение оптимальных путей решения поставленной задачи. При решении прикладных задач зачастую возникают сложные математические модели. Для проведения таких научных исследований, зачастую, требуются глубокие и специфические знания. Поэтому с развитием и усложнением технических задач должен разрастаться и совершенствоваться математический аппарат. Так интегральные уравнения и теория интегральных операторов, имеют широкое применение во многих областях науки: в физике, в строительстве, в теплоэнергетике, в биологии и медицине. Теория интегральных операторов с однородными ядрами в современной математики достаточно изучена. Но зачастую возникает необходимость строить и исследовать новые алгебры и для них строить символические исчисления. Данная статья посвящена многомерным интегральным оператором с однородными ядрами и специфическими коэффициентами вида |x|, действующим в пространстве L2(Bn).

Напомним некоторые общие обозначения, принятые в работах [1, С. 149],[2, C. 124], [3, C. 360] и которые, мы будем использовать в дальнейшем: − n-мерное евклидово пространство точек 07-04-2017 12-14-37 07-04-2017 12-14-53-площадь сферы 07-04-2017 12-15-09 − компактификация пространства R одной бесконечно удаленной точкой; 07-04-2017 12-15-26 − преобразование Фурье функции, 07-04-2017 12-15-37.

Внесем некоторые дополнения в схему рассуждений, приведенных, в [1, С. 149],[2, C. 124], [3, C. 361]. Сформулируем постановку задачи. В пространстве L2(Bnпроанализируем оператор

07-04-2017 12-16-15     (1)

где 07-04-2017 12-16-27 , а функция 07-04-2017 12-16-34 удовлетворяет надлежащим условиям:

1) однородность степени (-n), то есть 07-04-2017 12-17-10;

2) инвариантность относительно группы вращений 07-04-2017 12-17-20, то есть

07-04-2017 12-17-28;

3) суммируемость, то есть 07-04-2017 12-17-39.

В L2(Bn) представлен интегральный оператор с ядром, удовлетворяющим условию (1):

07-04-2017 12-18-02,               (2)

Оператору A поставим в соответствии оператор 07-04-2017 12-18-10

07-04-2017 12-18-25,               (3)

где 07-04-2017 12-18-33– оператор вида (2) с ядром 07-04-2017 12-18-43. В работах [2, C. 124],[3, C. 360], было доказано, что оператор A нетёров ⇔ оператор 07-04-2017 12-18-10 нетёров, причем 07-04-2017 12-19-31.

Далее, осуществим переход к интегральному уравнению. Обратимся вновь к оператору A. В пространстве L2(Bn) подвергнем рассмотрению уравнение, порожденное оператором A:

07-04-2017 12-20-03.     (4)

Существование функций 07-04-2017 12-20-14, таких что 07-04-2017 12-20-25, обосновывается тем фактом, что функции 07-04-2017 12-21-00 удовлетворяют условию (2). Используя это, и переходя в уравнении (4) к сферическим координатам 07-04-2017 12-20-43 , получаем:

07-04-2017 12-20-53

Опираясь на однородность функции 07-04-2017 12-21-00, имеем:

07-04-2017 12-21-11

Умножая правую и левую часть равенства на 07-04-2017 12-21-20, получим следующее выражение:

07-04-2017 12-21-35

Отметим, что функция 07-04-2017 12-21-51 удовлетворяет условию суммируемости

07-04-2017 12-22-00.                (7)

Действительно, применяя формулу (6), далее, применяя к интегралу по отрезку формулу Каталана, имеем:

07-04-2017 12-22-33

С помощью увеличения обеих частей выражения на сферические гармоники 07-04-2017 12-22-45, интегрирования по сфере единичного радиуса, и с помощью формулы Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений:

07-04-2017 12-23-00    (8)

где 07-04-2017 12-23-11 − размерность пространства сферических гармоник порядка m.

07-04-2017 12-23-39

при этом 07-04-2017 12-23-48 – многочлены Лежандра.

Покажем связь многомерного оператора с одномерным. В пространстве 07-04-2017 12-24-00 оператор 07-04-2017 12-24-07, формирует левую часть уравнения (8)

07-04-2017 12-24-22.

Чтобы получить критерий нётеровости оператора 07-04-2017 12-24-07, в работах [2, C.124]; [3, C. 361], был приведен переход к интегральным операторам с разностными ядрами. С этой целью был определен изоморфизм 07-04-2017 12-24-38 формулой

07-04-2017 12-24-49.

В 07-04-2017 12-25-02 оператор 07-04-2017 12-25-11, определялся формулой

07-04-2017 12-25-21

Символом оператора 07-04-2017 12-25-30назвали функцию 07-04-2017 12-25-45.

Подвергнем функцию 07-04-2017 12-25-54 преобразованию, а именно:

07-04-2017 12-26-05

Применяя к интегралу по отрезку формулу Каталана, получили:

07-04-2017 12-26-21

Окончательно, имеем: 07-04-2017 12-26-34.        (9)

В [3, C. 360] доказано, что оператор 07-04-2017 12-25-30 нётеров 07-04-2017 12-26-57, при этом 07-04-2017 12-27-06.

Рассмотрим частный случай оператора A, а именно, введем оператор 07-04-2017 12-27-15  где K определяется формулой (2).

Следствие. Оператор C нётеров в пространстве L2(Bn) в том и только в том случае, когда 07-04-2017 12-27-53 . В этом случае 07-04-2017 12-28-00.

Доказательство. Заметим, что в этом случае 07-04-2017 12-28-08. Применяя теорему, получаем, что нётеровость оператора C равносильна условию 07-04-2017 12-27-53. Далее, так как 07-04-2017 12-28-21.

Таким образом, дополнительные исследования, представленные в данной статье, позволили вывести критерий нётеровости и получить развернутые формулы для индекса в случае частного вида интегрального оператора. Такая развитая теория позволяет применять полученные результаты при решении прикладных задач, которые могут возникать в различных областях экономики, физики, биологии, химии. Следует отметить, что операторы с однородными ядрами и радикальными (по меньшей мере, в окрестности точки x=0) коэффициентами используются одним из авторов при решении некоторых практических задач теплоэнергетики, которые приводят к задачам математической физики [4, C.146], [5, C.134],[6, C. 68].

 

Список литературы / References

  1. Данекянц А.Г. К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве L2(BN) / А.Г. Данекянц // Инженерный вестник Дона. – 2013. – Т. 27. – № 4. – С. 149.
  2. Данекянц А.Г. Интегральные операторы с однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами / А.Г. Данекянц // Интернет-журнал Науковедение. – 2013. – № 5 (18). – С. 124.
  3. Данекянц А.Г. Связь многомерного интегрального оператора с осциллирующими коэффициентами с одномерными операторами в L2(BN) / А.Г. Данекянц // Научное обозрение. – 2014. – № 10-2. – С. 360-362.
  4. Волосатова Т.А. Некоторые вопросы энергоэффективности тепловых сетей в разрезе текущего состояния комплекса ЖКХ России / Т.А. Волосатова // Инженерный вестник Дона. – 2013. – Т. 27. – № 4. – С. 146.
  5. Волосатова Т.А. Основные вопросы энергоэффективности тепловых водяных котельных и варианты их решения / Т.А. Волосатова // Инженерный вестник Дона. – 2013. – Т. 26. – № 3 (26). – С. 134.
  6. Волосатова Т.А. Современные способы повышения энергетической эффективности жилых зданий / Т.А. Волосатова // Инженерный вестник Дона. – 2015. – Т. 36. – № 2-2. – С. 68.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Danekjanc A.G. K voprosam postroenija integral’nyh operatorov s oscillirujushhimi kojefficientami v prostranstve L2(BN) [To problems of construction of integral operators with oscillating factors in space L2 (BN)] / A.G. Danekjanc // Inzhenernyj vestnik Dona. [Engineering journal of Don] – 2013. – V. 27. – № 4. – P. 149. [in Russian]
  2. Danekjanc A.G. Integral’nye operatory s odnorodnymi jadrami i oscillirujushhimi kojefficientami [Integral operators with homogeneous kernels and oscillating factors] / A.G. Danekjanc // Internet-zhurnal Naukovedenie. [Scientific open access journal «Naukovedenie»] – 2013. – № 5 (18). – P. 124. [in Russian]
  3. Danekjanc A.G. Svjaz’ mnogomernogo integral’nogo operatora s oscillirujushhimi kojefficientami s odnomernymi operatorami v L2(BN) [Connection of a many-dimensional integral operator with oscillating factors with one-dimensional operators in L2 (BN)] / A.G. Danekjanc // Nauchnoe obozrenie. [Science-review]. – 2014. – № 10-2. – P. 360-362. [in Russian]
  4. Volosatova T.A. Nekotorye voprosy jenergojeffektivnosti teplovyh setej v razreze tekushhego sostojanija kompleksa ZhKH Rossii [Some problems of power efficiency of thermal webs in a slit of a current condition of a complex of housing and communal services of Russia] / T.A. Volosatova // Inzhenernyj vestnik Dona. [Engineering journal of Don]. – 2013. – V. 27. – № 4. – P. 146. [in Russian]
  5. Volosatova T.A. Osnovnye voprosy jenergojeffektivnosti teplovyh vodjanyh kotel’nyh i varianty ih reshenija [The basic problems of power efficiency of thermal water boiler-houses and variants of their solution] / T.A. Volosatova // Inzhenernyj vestnik Dona. [Engineering journal of Don]. – 2013. – V. 26. – № 3 (26). – P. 134. [in Russian]
  6. Volosatova T.A. Sovremennye sposoby povyshenija jenergeticheskoj jeffektivnosti zhilyh zdanij [Modern modes of a raise of power efficiency of residential buildings] / T.A. Volosatova // Inzhenernyj vestnik Dona. [Engineering journal of Don]. – 2015. – V. 36. – № 2-2. – P. 68. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.