Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.005

Download PDF ( ) Pages: 29-34 Issue: № 2 (92) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Kenzhegulov B.Z. et al. "MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 2 (92) Part 1, (2020): 29. Thu. 05. Mar. 2020.
Kenzhegulov, B.Z., & Gapuova, T.B., & Muratkaliev, A.N., & Rakhmetov, M.E., & (2020). MATEMATICHESKOE MODELIROVANIE ODNOMERNOGO TERMONAPRYAGHENNOGO (TERMOUPRUGOSTY) SOSTOYANIE ZASCHEMLENNOGO DVUMYA KONCAMI STERGHNYA PRI NALICHII RAZNYH ISTOCHNIKOV TEPLA [MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 2 (92) Part 1, 29-34. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.005
Kenzhegulov B. Z. MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES / B. Z. Kenzhegulov, T. B. Gapuova, A. N. Muratkaliev и др. // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 2 (92) Part 1. — С. 29—34. doi: 10.23670/IRJ.2020.92.2.005

Import


MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО (ТЕРМОУПРУГОСТЬ) СОСТОЯНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОГО ДВУМЯ КОНЦАМИ СТЕРЖНЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

Научная статья

Кенжегулов Б.З.1, Гапуова Т.Б.2, *, Мураткалиева А.Н.3, Рахметов М.Е.4

1, 2, 3, 4 Атырауский государственный университет, Атырау, Казахстан,

* Корреспондирующий автор (tikosh.96[at]mail.ru)

Аннотация

На основе энергетических принципов ориентированный на минимизации полной тепловой энергии упругих деформации в сочетании применении квадратичного конечного элемента с тремя узлами разработан математическая модель защемленного двумя концами стержня, постоянного поперечного сечения в зависимости наличия частичной теплоизоляции, теплового потока и теплообменов.

Ключевые слова: температура, тепловая энергия, тепловой поток, градиент, теплообмен.

MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

Research article

Kenzhegulov B.Z.1, Gapuova T.B.2, *, Muratkaliev A.N.3, Rakhmetov M.E.4

1, 2, 3, 4 Atyrau State University, Atyrau, Kazakhstan

* Corresponding author (tikosh.96[at]mail.ru)

Abstract

The mathematical model of a rod with a constant cross section fixed at both ends is developed depending on the presence of partial thermal insulation, heat flux, and heat exchanges based on energy principles, focused on minimization of total thermal energy of elastic deformations combined with the use of a quadratic finite element with three nodes.

Keywords: temperature, heat energy, heat flow, gradient, heat transfer.

В этой статье рассматривается тестовые задачи нахождения поля рапределения температуры, частично теплоизолированного стержня защемленного двумя концами. В данной задаче стержень ограниченной длины L(см.), площадь поперечного сечения F( ) постоянна по длине, боковая поверхность стержня частично-теплоизолирована. Стержень жестко защемлён обоими концами и имеет цилиндрическую форму (см. рисунок 1).

05-03-2020 13-35-02

Рис. 1 — Стержень под влиянием разного рода источников тепла и жестко защемлён обоими концами

 

Под влиянием такого разного рода источников тепла, происходит распределение поля температуры по длине стержня по определенным закономерностям. Эти закономерности можно найти методом минимизации функционала тепловой энергии по значением температуры в узловых точках и методом конечных элементов. Данный стержень дискретизируем квадратичными конечными элементами с тремя узлами. Для каждого элемента напишем специальный функционал, выражающий тепловую энергию [1].

Вариант-1. По площади поперечного сечения левого конца подведен тепловой поток 05-03-2020 13-35-57, а боковая поверхность конечного элемента теплоизолирована. Пусть на правом конце точка k будет внутренней точкой (см. рисунок 2).

05-03-2020 13-35-16

Рис. 2 – Конечный элемент с подведенным на площадь поперечного сечения левого конца тепловым потоком q

 

Поле распределения температуры по длине такого стержня аппроксимируем как кривую второго порядка проходящей через три точки в участке 05-03-2020 13-48-43 будет [5]

05-03-2020 13-48-51    (1.1)

где 05-03-2020 13-49-01 – функции формы квадратичного конечного элемента с тремя узлами, которые имеют следующее выражение

05-03-2020 13-49-12   (1.2)

где 05-03-2020 13-49-30 – значение температуры соответствующие точкам элемента 05-03-2020 13-49-38. Пользуясь (1.1.1) и (1.1.2) определим градиент температуры  [2, C. 33]

05-03-2020 13-49-50    (1.3)

где 05-03-2020 13-49-57 производные, которые выражаются через формулы [10], [11]

05-03-2020 13-50-07   (1.4)

Вид функционала, выражающий тепловую энергию будет следующим [2, C.40]

 05-03-2020 13-50-25  (1.5)

Здесь V – объем элемента, 05-03-2020 14-43-42 – площадь поперечного сечения соответствующая точке 05-03-2020 14-43-51 левого конца элемента. Здесь подставляя соотношение (1.3) и пользуясь выражениям (1.4) на (1.5) можно записать следующим образом [1]

05-03-2020 15-01-20    (1.6)

Из—за того, что на участке будет 05-03-2020 15-01-40. Здесь учитывая то, что 05-03-2020 15-01-53 длина данного конечного элемента, интеграл  05-03-2020 15-02-07 можно записать в виде 05-03-2020 15-02-15, тогда соотношение (1.5) можно записать в таком виде [2]:

05-03-2020 15-02-29   (1.7)

Значение температуры в узловых точках определяется следующей формулой [1]:

05-03-2020 15-22-49    (1.8)

где 05-03-2020 15-23-45 – коэффициент теплообмена материала элемента стержня с окружающей средой площади поперечного сечения левого конца, а 05-03-2020 15-23-54 температура окружающей среды, значение коэффицента теплопроводности 05-03-2020 15-24-24).

Вариант-2. Через площадь поперечного сечения левого конца теплоизолированного по боковой поверхности конечного элемента происходит теплообмен с окружающей средой (см. рисунок 3)

 05-03-2020 15-24-32

Рис. 3 – конечный элемент с площадью поперечного сечения левого конца, где происходит теплообмен с окружающей средой

 

Здесь коэффициент теплообмена материала элемента стержня с окружающей средой площади поперечного сечения левого конца будет 05-03-2020 15-25-05, а температура окружающей среды 05-03-2020 15-25-13. Тогда для такого конечного элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию, будет следующим [1]

05-03-2020 15-32-26      (2.1)

Вариант-3. Через боковую поверхность и через площадь поперечного сечения соответствующей любой конечной точке конечного элемента происходит теплообмен с окружающей средой. Коэффициент теплообмена с окружающей средой через боковую поверхность будет 05-03-2020 15-32-43, а температура окружающей среды боковой поверхности 05-03-2020 15-32-53 (см. рисунок 4).

05-03-2020 15-36-19

Рис. 4 — Конечный элемент где происходит теплообмен с окружающей средой

 

Тогда для такого элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию, будет следующим [6]

05-03-2020 15-36-30    (3.1)

где 05-03-2020 15-36-50 площадь боковой поверхности элемента. Но здесь надо учитывать, что 05-03-2020 15-37-05.  Здесь П – периметр поперечного сечения стержня. Тогда соотношение (1.7)  можно заново записать следующим образом

05-03-2020 15-44-43    (3.2)

Вариант – 4. Через площадь поперечного сечения левого конца происходит теплообмен с окружающей средой. На боковую поверхность элемента подведен тепловой поток q, (Вт/см2) (см. рисунок 5) [1].

05-03-2020 15-46-05

Рис. 5 – Конечный элемент с подведенным на боковую поверхность тепловым потоком q

 

Тогда для такого элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию будет следующим [6]

05-03-2020 15-46-31    (4.1)

Вариант – 5. На площадь поперечного сечения соответствующей точке i левого конца подведен тепловой поток q1, (Вт/см2), а на боковую поверхность q2, (Вт/см2). Пусть на правом конце точка k будет внутренней точкой (см. рисунок 6) [1].

 

05-03-2020 15-54-35

Рис. 6 – Конечный элемент с подведенным на площадь поперечного сечения левого конца тепловым потоком q1 , а на боковую поверхность q2

 

Для такого конечного элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию, будет следующим

05-03-2020 15-54-48    (5.1)

Вариант – 6. На площадь поперечного сечения соответствующей точке i подведен тепловой поток а по боковой поверхности происходит теплообмен с окружающей средой. Здесь коэффицент теплообмена с окружающей средой будет , а температура окружающей среды  (см. рисунок 7).

 

05-03-2020 16-05-35

Рис. 7 – Конечный элемент с подведенным на площадь поперечного сечения  левого конца тепловым потоком q, а по боковой поверхностью происходит теплообмен с окружающей средой

 

Тогда для такого конечного элемента вид функционала, выражающий -тепловую энергию, будет следующим [7], [8], [9].

05-03-2020 16-05-55   (6.1)

Итак, на основе использования функционала тепловой энергии, а также при использовании аппроксимации теплового поля в стержне конечными элементами в форме кривых 2-го порядка, проходящих через 3 точки по длине стержня, и по температуры которые заданы на узловых точках  записывается математическая модель одномерного термонапряженного состояния защемленного двумя концами стержня при наличии разных источников тепла. Рассматривается 6 различных вариантов подведения тепла и теплообмена с внешней средой и соответствующий функционал тепловой энергии.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

 

Список литературы / References

  1. Кенжегулов Б.З. «Численное моделирование многомерных температурных и одномерных нелинейных термомеханических процессов в жаропрочных сплавах» Монография. ISBN 9965-640-98-Х / Кенжегулов Б.З. Издательство «АтГУ им. Х.Досмухамедова», 2013г.– 326 с.
  2. Кудайкулов А. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных констукционных элементах / Кудайкулов А. – Туркестан, 2009 – 168 с.
  3. Химушин Ф.Ф. Жаропрочные стали и сплавы. 2-ое переработанное и дополнительное издания / Химушин Ф.Ф. М.: Металлургия, 1969г.-749с.
  4. Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики / Ноздрев В.Ф. Из-во Мир, М.: 1967г.-247с.
  5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Сегерлинд Л. Из-во Мир, М.:1979г-392с.
  6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Зенкевич О. М.: Мир, 1975г.
  7. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов. “Вища Школа” / Писаренко Г.С. Киев, 1973г.-672с.
  8. Тимошенко С.П. Теория упругости / Тимошенко С.П., Гудьяр Дж.Н. Из-во Мир, «Наука», М.: 1975г.-575с.
  9. Бергер И.А. Прочность. Устойтивость. Колебания. Том-1 / Бергер И.А., Пановко Я.Г. М.: Машиностроение, 1698г.-56с.
  10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальное уравнения и вариационное исчисление./ Эльсгольц Л.Э. Из-во Наука, М.: 1969г.-424с.
  11. Кенжегулов Б.З. «Математическое моделирование исследования термонапряженного в состояния стержня из жаропрочного сплава» / Кенжегулов Б.З., Ж.Д.Мухтаргалиева, Т.Б.Гапуова // Атырауский государственный университет им. Х.Досмухамедова, г. Атырау, Республика Казахстан, Вестник №3(50) 21.11.2018 стр.116

 Список литературы на английском языке / References in English

  1. Kenzhegulov B.Z. Chislennoye modelirovaniye mnogomernykh temperaturnykh i odnomernykh nelineynykh termomekhanicheskikh protsessov v zharoprochnykh splavakh [Numerical modeling of multidimensional temperature and one-dimensional nonlinear thermomechanical processes in heat-resistant alloys. Monograph.] / Kenzhegulov B.Z. ISBN 9965-640-98-X. Publishing house “AtSU named after H. Dosmukhamedov, 2013 – 326 p. [in Russian]
  2. Kudaikulov A. Matematicheskoye (konechno-elementnoye) modelirovaniye prikladnykh zadach rasprostraneniya tepla v odnomernykh konstuktsionnykh elementakh [Mathematical (finite-element) modeling of applied problems of heat distribution in one-dimensional structural elements] / Kudaikulov A. – Turkestan, 2009 – 168 p. [in Russian]
  3. Himushin F.F. Zharoprochnyye stali i splavy. 2-oye pererabotannoye i dopolnitel’noye izdaniya [Heat resistant steels and alloys. 2nd edition] / Himushin F.F. M.: Metallurgy, 1969. – 749 p. [in Russian]
  4. Nozdrev V.F. Kurs termodinamiki [Course of thermodynamics] / Nozdrev V.F. Mir. Moscow: 1967 – 247 p. [In Russian]
  5. Segerlind L. Primeneniye metoda konechnykh elementov [Application of finite element method] / Segerlind L. M.: Mir. – 1979 – 392 p. [in Russian]
  6. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering] / Zenkevich O. M.: Mir – 1975. [in Russian]
  7. Pisarenko G.S. Soprotivleniye materialov [Resistance of materials] / Pisarenko G.S. “Vishcha Shkola”, Kiev, 1973. – 672 p. [in Russian]
  8. Timoshenko S.P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity] / Timoshenko S.P., Goodyar J.N. M.: Mir., “Nauka”, M.: 1975. – 575 p. [in Russian]
  9. Berger I.A. Prochnost’. Ustoytivost’. Kolebaniya [Strength. Sustainability. Fluctuations. Vol. 1] / Berger I.A., Panko Ya.G. M.: Mechanical Engineering, 1698. – 56 p. [in Russian]
  10. Elsgolts L.E. Differentsial’noye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye [Differential equations and calculus of variations] / Elsgolts L.E. Nauka, Moscow: 1969 – 424 p. [in Russian]
  11. Kenzhegulov B.Z. Matematicheskoye modelirovaniye issledovaniya termonapryazhennogo v sostoyaniya sterzhnya iz zharoprochnogo splava [Mathematical modeling of study of thermally stressed state of rod of heat-resistant alloy] / Kenzhegulov B.Z., Zh.D. Mukhtargalieva, T.B. Gapuova // Atyrau State University. H. Dosmukhamedova, Atyrau, Republic of Kazakhstan, Bulletin No. 3 (50) 11/21/2018 – P.116 [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.