Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.002

Download PDF ( ) Pages: 10-18 Issue: № 2 (92) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Antonovskaya O.G. et al. "ON STUDY OF QUASIHARMONIC OSCILLATOR WITH NONLINEARITY AND SATURATION". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 2 (92) Part 1, (2020): 10. Wed. 18. Mar. 2020.
Antonovskaya, O.G. & Besklubnaya, A.V. (2020). K ISSLEDOVANIYU KVAZIGARMONICHESKOGO OSCILLYATORA S NELINEYNOSTYYU, OBLADAYUSCHEY NASYSCHENIEM [ON STUDY OF QUASIHARMONIC OSCILLATOR WITH NONLINEARITY AND SATURATION]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 2 (92) Part 1, 10-18. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.002
Antonovskaya O. G. ON STUDY OF QUASIHARMONIC OSCILLATOR WITH NONLINEARITY AND SATURATION / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 2 (92) Part 1. — С. 10—18. doi: 10.23670/IRJ.2020.92.2.002

Import


ON STUDY OF QUASIHARMONIC OSCILLATOR WITH NONLINEARITY AND SATURATION

К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ, ОБЛАДАЮЩЕЙ НАСЫЩЕНИЕМ

Научная статья

Антоновская О.Г.1, *, Бесклубная А.В.2

1 ORCID: 0000-0002-5688-7996;

1, 2 Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия

* Корреспондирующий автор (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Аннотация

Весьма эффективным средством исследования колебательных процессов в различных разделах физики и техники является аппарат теории дифференциальных уравнений. Естественно, наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью. Причем  до сих пор особый интерес представляет изучение систем, близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор). В настоящей работе приведен пример исследования квазигармонического осциллятора (с нелинейностью, обладающей насыщением) методом приближенных точечных отображений. Вопрос о его синхронизации сводится к решению вопроса о существовании неподвижных точек точечного отображения, при построении которого применяется метод последовательных приближений. Обсуждается вопрос о локальной применимости результатов приближенного исследования.

Ключевые слова: квазигармонический осциллятор, насыщение нелинейности, малый параметр, асимптотические методы исследования, метод точечных отображений.

ON STUDY OF QUASIHARMONIC OSCILLATOR WITH NONLINEARITY AND SATURATION

Research article

Antonovskaya O.G.1, *, Besklubnaya A.V.2

1 ORCID: 0000-0002-5688-7996;

1, 2 Nizhny Novgorod State University of Architecture, Building and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia

* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Abstract

The apparatus of the theory of differential equations is a very effective means for studying oscillatory processes in various branches of physics and technology. Naturally, the most accessible for investigation are oscillatory systems with low nonlinearity. Moreover, the study of systems close to a harmonic oscillator (quasi-harmonic oscillator) is still of particular interest. In this paper, we give an example of the study of a quasi-harmonic oscillator (with non-linearity with saturation) by the method of approximate point mappings. The question of its synchronization is reduced to solving the question of the existence of fixed points of a point mapping, in the construction of which the method of successive approximations is applied. The question of the local applicability of the results of an approximate study is discussed in the paper.

Keywords: quasiharmonic oscillator, nonlinearity saturation, small parameter, asymptotic research methods, point mapping method. 

В настоящее время нет необходимости обосновывать важное значение колебательных процессов в современной физике и технике [1, C. 9]. Обнаружение и изучение колебательных закономерностей явлений различной физической природы составляют основные задачи теории нелинейных колебаний. В реальных системах отыскание колебаний, которые могут быть как желательными, так и нежелательными, является важной практической проблемой. А теория колебаний есть ветвь прикладной математики, которая едиными математическими методами исследует динамику различных объектов. В трудах по теории колебаний мощным инструментом исследования стали дифференциальные уравнения [1], [2]. Естественно, что на первом этапе развития теории колебаний исследователи стремились изучаемые ими колебательные процессы подводить под линейные схемы [2, С. 11-16]. Однако многочисленные исследования показали принципиальное отличие механики нелинейных колебаний от механики линейных колебаний (даже в случае малой нелинейности) [2, С. 13-18]. Поэтому возникает необходимость других подходов к решению нелинейных проблем. Например, каждая конкретная задача (или целый класс задач) трактуется уже как нелинейная, но индивидуально, с применением наиболее к ней подходящего метода, или с учетом некоторой ее специфики [1, С. 11]. Зато такой подход означает достаточное математическое обоснование каждой проблемы. Кроме того, следует отметить, что всякое описание реальной физической системы с помощью математических соотношений основано на некоторой идеализации ее свойств. Причем идеализация эта зависит не только от свойств рассматриваемой системы, но и от того, ответы на какие вопросы нужно получить.

Под колебательным процессом принято понимать процесс, обладающий той или иной степенью повторяемости. При изучении любой системы особый интерес представляют стационарные движения, т.е. движения, определяющие поведение системы в течение длительных промежутков времени. Стационарное движение это как бы предельное движение, к которому стремится система. К таким движениям относятся прежде всего состояния равновесия и периодические движения, которые устойчивы не только по отношению к малым изменениям координат, но и к малым изменениям самих уравнений, описывающих систему (в частности – малым изменениям параметров). Переходные процессы характеризуются тем стационарным движением, к которому они приближаются. Интерес представляет также смена стационарных движений, которая происходит при изменении некоторого параметра системы (бифуркация). Таким образом, целью исследования любой системы является изучение поведения траекторий в фазовом пространстве системы, а также разбиение пространства параметров на области существования различных стационарных движений.

Для слабо нелинейных систем существует немало общих асимптотических методов исследования [2, C. 13-23]. Однако применение их в каждом конкретном случае может вызывать чисто технические трудности. Поэтому, естественно, приходится не только выбирать наиболее подходящий метод исследования такой системы, но и приспосабливать его к особенностям рассматриваемой задачи.

До сих пор представляет интерес изучение систем близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор) [1, С. 650–663], [2, С. 19–21], [4]. В настоящей работе приведен пример исследования квазигармонического осциллятора (с нелинейностью, обладающей насыщением) методом приближенных точечных отображений [6], [7]. Вопрос о существовании периодических движений при этом сводится к решению вопроса о существовании и устойчивости простых неподвижных точек построенного точечного отображения. Обсуждается вопрос о локальной применимости результатов приближенного исследования. Системы с нелинейностью, обладающей насыщением (т.е. при больших значениях входной величины модуль выходной величины достигает максимального значения, а затем перестает меняться) [3, C. 265-269] играют особую роль в теории систем, поскольку такая ситуация имеет место во многих технических системах.

Согласно, при исследовании динамики синхронизуемого осциллятора

 

17-03-2020 11-05-35 (1)

в котором 17-03-2020 11-05-48 есть параметр, характеризующий близость системы к гармоническому осциллятору, а 17-03-2020 11-05-59– период внешней силы, методом точечных отображений [10], исследование поведения траекторий (1) может быть сведено к изучению точечного отображения T секущей поверхности 17-03-2020 11-06-27 фазового пространства 17-03-2020 11-06-50 в себя [6], [7], порожденного траекториями системы. При этом с точностью до величин  порядка μ2 точечное отображение 17-03-2020 11-07-20 может быть приближено точечным отображением T с  функциями  последования

17-03-2020 11-07-38    (2)

17-03-2020 11-07-48    (3)

где

17-03-2020 11-07-56    (4)

17-03-2020 11-08-05    (5)

Изучение условий существования синхронного режима с периодом внешней силы может быть проведено с помощью изучения условий существования и устойчивости простой неподвижной точки 17-03-2020 11-20-38 отображения 17-03-2020 11-20-47.

Особый интерес представляет изучение движений квазигармонического осциллятора вблизи главного резонанса (17-03-2020 11-21-02). В дальнейшем будем рассматривать квазилинейное дифференциальное уравнение вида

17-03-2020 11-21-26     (6)

17-03-2020 11-21-34, или, если ввести 17-03-2020 11-21-52, систему

17-03-2020 11-22-02    (7)

17-03-2020 11-28-19

где функция 17-03-2020 11-30-01 имеет вид (рис.1)

17-03-2020 11-29-16   (8)

17-03-2020 11-29-41

Рис. 1 – Вид нелинейности

 

Заметим, что функция 17-03-2020 11-28-28 является непрерывной и непрерывно дифференцируемой при всех значениях аргумента, параметр 17-03-2020 11-30-09 характеризует близость функции к нелинейности типа 17-03-2020 11-30-23 (при 17-03-2020 11-30-35 стремится к 17-03-2020 11-30-23). Будем искать условия существования у (7) периодического решение с периодом  2π.

Для системы (7) приближенно построенное отображение 17-03-2020 11-20-47 секущей поверхности имеет вид

17-03-2020 11-46-51

17-03-2020 11-47-08    (9)

При 17-03-2020 11-48-04 обе формулы приводят к соотношениям

17-03-2020 11-47-39   (10)

17-03-2020 11-47-47  (11)

т.е. 17-03-2020 11-20-47 непрерывно. Следует также отметить, что отображение 17-03-2020 11-20-47 при 17-03-2020 11-53-15 принимает вид, отвечающий случаю 17-03-2020 11-30-23 [6], [7].

Рассмотрим общий случай, 17-03-2020 11-53-29. Условия 17-03-2020 12-09-10 дают соотношения

17-03-2020 11-53-59

17-03-2020 11-54-10     (12)

где 17-03-2020 11-54-31 находится в силу одного из уравнений

17-03-2020 11-54-46

17-03-2020 11-55-08    (13)

17-03-2020 11-55-16

Т.е. неподвижные точки 17-03-2020 11-20-47  существуют только в случае существования корней 17-03-2020 12-15-36 уравнения (13).

Анализ уравнения 17-03-2020 12-18-21 резонансной кривой при  17-03-2020 12-16-59и  позволяет сделать вывод о существовании при малых A двух ветвей этой кривой (замкнутой и разомкнутой), куски которых, расположенные в областях  17-03-2020 12-17-45, стыкуются при 17-03-2020 12-17-56 с общей касательной. Причем кривая 17-03-2020 12-15-53 имеет на плоскости 17-03-2020 12-18-34 горизонтальную касательную при 17-03-2020 12-18-44, а вертикальную  может иметь только в точках кривой К

17-03-2020 12-19-05    (14)

Следует отметить, что кривая К лежит в области  17-03-2020 12-19-23.

При 17-03-2020 12-29-56  (14) есть уравнение эллипса с центром в точке 17-03-2020 12-30-08 и главными диаметрами 17-03-2020 12-30-18 и 17-03-2020 12-30-27 соответственно. Заметим, что кривая (14) имеет общие точки с областью  17-03-2020 12-30-43 только при 17-03-2020 12-30-56 эллипс (14) целиком лежит в полосе 17-03-2020 12-31-05 сжимается в точку 17-03-2020 12-31-15 уравнение кривой К имеет более сложный вид, но это также замкнутая кривая. Примерный вид резонансных кривых в случае 17-03-2020 12-31-24 для различных 17-03-2020 12-31-34 представлен на рис.2-3.

Устойчивость неподвижных точек (12) отображения 17-03-2020 11-20-47 (9) определяется корнями характеристического полинома

18-03-2020 10-33-58

Корни полинома P(z) будут действительными, если выражение, стоящее в квадратных скобках при 18-03-2020 10-34-11, будет отрицательным, и комплексно-сопряженными в случае его положительности. То есть, уравнение границы 18-03-2020 10-34-24 появления пары комплексно-сопряженных корней характеристического полинома в этом случае будет иметь вид

18-03-2020 10-34-40    (15)

причем легко видеть, что отрезки кривых, получаемых по уравнению (15) при 18-03-2020 10-34-50 стыкуются при 18-03-2020 10-35-02 с одной и той же касательной 18-03-2020 10-35-14.

18-03-2020 10-43-25

Рис. 2 – Вид резонансных кривых при18-03-2020 10-35-25

18-03-2020 10-44-32

Рис. 3 – Вид резонансных кривых при 18-03-2020 10-47-52

 

Уравнения границ 18-03-2020 10-46-58 области устойчивости на плоскости 18-03-2020 10-47-07 могут быть получены методом D-разбиений [11, C. 86-107] и имеют следующий вид. Для  18-03-2020 10-47-17 получаются уравнения, не зависящие от 18-03-2020 10-47-29 и совпадающие с уравнениями кривой К (13).

Уравнение 18-03-2020 10-47-36 есть

18-03-2020 10-48-28     (16)

причем в случае существования точек кривой 18-03-2020 10-55-07, для которых 18-03-2020 10-55-14, отрезки 18-03-2020 10-55-07, соответствующие значениям 18-03-2020 10-55-28, стыкуются в точках 18-03-2020 10-55-14 с одной и той же касательной.

Следует отметить, что при 18-03-2020 10-55-36 уравнение границы 18-03-2020 10-55-07 при 18-03-2020 10-55-43 описывает эллипс с центром в точке

18-03-2020 10-55-49

и главными диаметрами 18-03-2020 11-01-5918-03-2020 11-02-08  соответственно. При 18-03-2020 11-02-17 описываемый первым уравнением (16) эллипс всегда лежит в области 18-03-2020 11-02-45.

Уравнение границы 18-03-2020 11-03-01 имеет вид 18-03-2020 11-03-32

18-03-2020 11-23-35   (17)

Кривая 18-03-2020 11-23-49 начинается в точках касания границ 18-03-2020 11-23-57,  и имеет асимптоты 18-03-2020 11-24-10, если 18-03-2020 11-24-20.

На рис.4 представлен примерный вид границ D-разбиения для значений 18-03-2020 11-24-37. Область D=0 есть область устойчивости. Факт существования устойчивых неподвижных точек отображения 18-03-2020 11-25-04 при A=const и различных 18-03-2020 11-25-12 может быть установлен наложением картины поведения границ D-разбиения на плоскости 18-03-2020 11-25-23 при заданном 18-03-2020 11-25-31 на плоскость с резонансной кривой при заданном A [6], [7].

Заметим, что ввиду ограниченности нелинейности в формулах точечного отображения 18-03-2020 11-25-04, можно показать, что модель является невырожденной (т.е. бесконечность в приближенной модели, как и в реальной системе, неустойчива) [6; 7, C. 75-78]. Таким образом, если нелинейность в исходной системе ограничена, то в пространстве параметров для любого конечного значения 18-03-2020 11-25-31 существует, хотя и ограниченная по |ξ|, область невырожденности математической модели (при 18-03-2020 11-25-51 область невырожденности приближенной модели все более расширяется и стремится к 18-03-2020 11-25-59, что соответствует результатам, получаемым численными методами при исследовании исходной системы). Факт  существования  области   невырожденности рассматриваемой приближенной модели связан с тем, что в отличие от случаев с полиномиальной нелинейностью, для случая нелинейности, обладающей насыщением, при 18-03-2020 11-26-10 не существует границы 18-03-2020 10-55-07 смены устойчивости неподвижных точек 18-03-2020 11-25-04  в пространстве параметров.

В заключение отметим, что предложенная методика исследования основана на применении асимптотических методов. Поэтому по-прежнему актуальной является проблема получения адекватных результатов изучения системы (7) с малым параметром по ее приближенному исследованию [1, C. 650-707], [10, C. 213-218]. Причем речь идет как о количественном, так и о качественном исследовании системы [6], [7, С. 8188]. Одним из таких методов оценки достоверности сделанных выводов может быть метод, описанный в работах  [7, С. 14-35, 12].

18-03-2020 11-39-26

Рис. 4 – Примерный вид границ D-разбиения

 

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Физматгиз, 1959. – 916 с.
  2. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. – М.: Наука, 1974. – 504 с.
  3. Пономарев В. М. Основы автоматического регулирования и управления / В.М. Пономарев, А. П. Литвинов. – М.: Высшая школа, 1974. – 439 с.
  4. Журавлев В. М. Построение огибающей и локальной частоты стохастического процесса на основе модели осциллятора с флуктуирующей частотой / В. М. Журавлев, П. П. Миронов, С. В. Летуновский // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –№3(27). – С. 159–169.
  5. Ивинская Е. Ю. Теоретические аспекты исследования неравновесных экономических систем на основе модели гармонического осциллятора / Е. Ю. Ивинская // Теория и практика общественного развития. Экономические науки. – 2015. – № 21. – С. 57–59.
  6. Антоновская О. Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – – № 2(21). –  С. 198–208.
  7. Антоновская О. Г. Метод точечных отображений в задачах нелинейной динамики / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов. – Гамбург: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 с.
  8. Антоновская О. Г. Об одном случае исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская, М. Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. – 2018. – № 8(74). – С. 7–14.
  9. Антоновская О. Г. Об изложении приложений метода точечных отображений в учебном процессе / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Тенденции развития науки и образования. – 2019. – № 49. – Ч. 1. – С. 12–17.
  10. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. / Ю. И. Неймарк. – М.: Наука, 1972. – 472 с.
  11. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. Изд. 2-е. / Ю. И. Неймарк. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 336 с.
  12. Антоновская О. Г. О приближенном исследовании близкого к тождественному точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2004. – № 1(27). – С. 63–69.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Andronov A. A. Teoriya kolebaniy [Vibrations theory] / A. A. Andronov, A. A. Vitt, S. Yu. Haykin. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 916 p. [in Russian]
  2. Bogolyubov N. N. Asimptotichesiye metody v teorii nelineynyh kolebaniy [Asymptotic methods in nonlinear vibrations theory] / N. N. Bogolyubov, A. Yu. Mitropolskiy – M.: Nauka, 1974. – 504 p. [in Russian]
  3. Ponomarev V. M. Osnovy avtomaticheskogo regulirovaniya I upravleniya [Principles of automatic regulation and control] / V. M. Ponomarev, A. P. Litvinov – M.: Vysshaya shkola, 1974. – 439 p. [in Russian]
  4. Zhuravlev V. M. Postroeniye ogibayushey b lokalnoy chastity stohasticheskogo protsessa na osnove modeli ossillyatora c fluktuiruyushey chastoty [The construction of envelope and local frequency of stochastic processon the base of oscillator with fluctuating frequency] / V. M. Zhuravlev, P. P. Mironov, S. V. Letunovskiy // Izv. Vuzov. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. [Higher educational proceedings of Povolzhsky region. Physical and mathematical sciences ] – 2013. – № 3(27) – P. 159–169. [in Russian]
  5. Ivinskaya E. Yu. Teoreticheskiye aspekty issledovaniya neravnovesnykh ekonomicheskikh system na osnove modeli garmonicheskogo oscillyatora [Teortical aspects of studying non-equlibrium economic systems based on the model of harmonic oscillator] / E. Yu. Ivinskaya // Teoriya I praktika obshestvennogo razvitiya. Ekonomicheskiye nauki [Theory and practice of public development. Economic sciences] – 2015. – № 21 – P. 57–59. [in Russian]
  6. Antonovskaya O. G. O vliyanii nasysheniya nelineynosti na resultaty issledovaniya prinuditelnoy sinkhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the influence of nonlinearity saturation on the results of the forced synchronization received by means of approximate point mappings method] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin] , Nizhny Novgorod. – 1999. – № 2(21). – P. 198–208. [in Russian]
  7. Antonovskaya O. G. Metod tichechnykh otobrazheniy v zadachakh nelineynoy dinamiki [Point mappings method in non-linear dynamics problems]/ O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov. – GmbH: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 p. [in Russian]
  8. Antonovskaya O. G. Ob odnom sluchae issledovaniya prinuditelnoy sinhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [Investigation of forced synchronization by the method of approximate point mappings] / O. G. Antonovskaya, M. N. Zaytseva // International research journal – 2018. – № 8(74). – P. 7–14. [in Russian]
  9. Antonovskaya O. G. Ob izlozhenii prilozheniy metoda tochechnykh otobrazheniy v uchebnom protsesse [On giving in account of applications of point mappings method in teaching process] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklunaya // Tendentsii razvitiya nauki I obrazovaniya [Tendencies of science and education development] – 2019. – № 49. – Part 1. – P. 12–17. [in Russian]
  10. Neymark Yu. I. Metod tichechnykh otobrazheniy v teriyi nelineynykh kolebaniy [Point mappings method in non-linear vibrations theory] / Yu. I. Neymark. – M.: Nauka, 1972. – 472 p. [in Russian]
  11. Neymark Yu. I. Dinamicheskiye sistemy i upravliaemye protsessy [Dynamical systems and controllable processes] / Yu. I. Neymark. – M.: «LIBROKOM», 2010. – 336 p. [in Russian]
  12. Antonovskaya O. G. O priblizhennom issledovanii blizkogo k tozhdestvennomu tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost [On the approximate study of close to identical point mapping plain to plain] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2004. – № 1(27). – 63–69. [in Russian]

 

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.