Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.001

Download PDF ( ) Pages: 6-9 Issue: № 2 (92) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Salimov R.B. et al. "RESEARCH OF REVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF AEROHYDRODYNAMICS IN MODIFIED STATEMENT". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 2 (92) Part 1, (2020): 6. Fri. 20. Mar. 2020.
Salimov, R.B. & Gorskaya, T.Yu. (2020). ISSLEDOVANIE OBRATNOY KRAEVOY ZADACHI AEROGIDRODINAMIKI V MODIFICIROVANNOY POSTANOVKE [RESEARCH OF REVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF AEROHYDRODYNAMICS IN MODIFIED STATEMENT]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 2 (92) Part 1, 6-9. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.001
Salimov R. B. RESEARCH OF REVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF AEROHYDRODYNAMICS IN MODIFIED STATEMENT / R. B. Salimov, T. Yu. Gorskaya // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 2 (92) Part 1. — С. 6—9. doi: 10.23670/IRJ.2020.92.2.001

Import


RESEARCH OF REVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF AEROHYDRODYNAMICS IN MODIFIED STATEMENT

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ В МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПОСТАНОВКЕ

Научная статья

Салимов Р.Б.1, Горская Т.Ю.2, *

1 ORCID: 0000-0003-4177-4830;

2 ORCID: 0000-0001-7136-8388;

1, 2 Казанский государственный архитектурно-строительный университет, Казань, Россия

* Корреспондирующий автор (gorskaya0304[at]mail.ru)

Аннотация

Рассматривается видоизмененная обратная краевая задача аэрогидродинамики, в которой требуется найти форму крылового профиля, обтекаемого потенциальным потоком несжимаемой невязкой жидкости, когда распределение  потенциала скорости на одном участке профиля задано как функция абсциссы, на остальном участке профиля – как функция ординаты точки профиля, кроме того, задана величина скорости набегающего потока.

Ключевые слова: обратная смешанная краевая задача, аэрогидродинамика, крыловой профиль, комплексный потенциал.

RESEARCH OF REVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF AEROHYDRODYNAMICS IN MODIFIED STATEMENT

Research article

Salimov R.B.1, Gorskaya T.Yu.2, *

1 ORCID: 0000-0003-4177-4830;

2 ORCID: 0000-0001-7136-8388;

1, 2 Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, Russia

* Corresponding author (gorskaya0304[at]mail.ru)

Abstract

In this paper, the authors consider a modified inverse boundary-value problem of aerohydrodynamics, in which it is necessary to find the shape of a wing profile streamlined by a potential flow of an incompressible inviscid fluid when the distribution of the velocity potential in one section of the profile is specified as a function of the abscissa, in the rest of the profile as a function of the ordinate of the profile point, in addition, value of speed of a free stream.

Keywords: inverse mixed boundary value problem, aerohydrodynamics, wing profile, integrated potential. 

Введение. Постановка задачи

Пусть в плоскости комплексного переменного z = x + iy расположен крыловой профиль Lz, обтекаемый потенциальным потоком несжимаемой невязкой жидкости с комплексным потенциалом w = w(z) = φ +   и скоростью невозмущённого потока 20-03-2020 11-18-27. Пусть x = 0, x = d > 0  есть абсциссы соответственно точек задней кромки B и передней кромки D профиля Lz, и для абсцисс всех остальных точек Lz имеет место соотношение 0 < x < d.

Будем считать, что всюду  на Lz функция тока ψ = 0, точка разветвления A потока находится на нижней поверхности Lz и потенциал скорости в ней φ = φA = 0.. Примем, что B есть точка схода потока. Примем, что  потенциал скорости на Lz есть непрерывная функция точек Lz, исключая точку B. Значения потенциала скорости φ в точке B при подходе к ней по точкам верхней и нижней поверхности Lz обозначим соответственно φ = φB и φ = φH, φB > φH > 0. Пусть Dz – область, внешняя для контура Lz.

Функция w = w(z) отображает конформно область Dz с разрезом по линии, лежащей вне контура Lz и соединяющей точки B, z = ∞, на область Dw в плоскости w = φ + , разрезанной по положительной части действительной оси с началом в точке A, отвечающей w = 0, когда дуге AB нижней поверхности Lz соответствует отрезок верхнего берега вышеуказанного разреза, для точек которого выполняется соотношение 0 < φ < φH, а дуге ADB контура Lz – отрезок нижнего берега указанного разреза, для точек которого имеет место соотношение 0 < φ < φB.

Обозначим 20-03-2020 11-28-22 где v – модуль скорости, η – угол наклона к действительной оси вектора скорости в точке z = x + iy потока жидкости.

Как показано в ([1], с. 97-105), если контур Lz неизвестен, на нем задано распределение скорости v = v(s), 20-03-2020 11-30-21 где s – дуговая абсцисса точки x + iy профиля Lz, отсчитываемая от точки A в направлении, при котором область Dz остается справа, l – периметр контура Lz, и требуется найти его форму, то эта задача оказывается разрешимой лишь при выполнении условий разрешимости – условия замкнутости контура Lz. Методы преодоления возникших при этом трудностей и подробный обзор работ по указанной проблеме изложены в книге [2].

В связи со сказанным представляется целесообразным рассмотрение задач об определении формы профиля Lz, которые оказываются разрешимыми.

В качестве такой задачи рассмотрим следующие: требуется найти форму профиля Lz, если на участке 20-03-2020 11-35-11 где 20-03-2020 11-35-19 точки соответственно верхней и нижней поверхности Lz, потенциал скорости φ задан как функция абсциссы x точки Lz, а на участке 20-03-2020 11-35-30 как функция одинаты y точки  z в виде

20-03-2020 11-45-49

20-03-2020 11-48-52  где  заданные числа, 0 < xA < xC < d, xC – абсцисса точек 20-03-2020 11-49-03 ординаты точек 20-03-2020 11-49-15 соответственно, 20-03-2020 11-49-41 xA – заданная абсцисса точки A,  величина d определяется в процессе решения, причем 20-03-2020 11-49-49 заданные числа, 20-03-2020 11-50-08циркуляция скорости вдоль Lz.

Будем считать, что 20-03-2020 11-50-25 дифференцируемые функции, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера в интервалах их задания, включая концы, причем 20-03-2020 11-50-50 исключая точку A20-03-2020 11-50-59

Примем, что в окрестности точки x = xA справедливо представление 20-03-2020 11-59-29  где Ф – функция, удовлетворяющая условию Гёльдера в указанной окрестности точки 20-03-2020 11-59-44

Кроме того, будем считать заданной величину скорости 20-03-2020 11-59-52 набегающего потока, которая является важной характеристикой указанного потока.

В соответствии с условиями (1)-(3) на Lz являются заданными точки 20-03-2020 12-00-00 выбор которых влияет на форму Lz.

Поставленная выше задача отличается от рассмотренной в статье [3] только тем, что в последней величина  не задается и решение задачи зависит от одной действительной производной постоянной. Следовательно, решение рассматриваемой здесь задачи можно получить из решения, данного в [3], при соответствующем подборе входящей в решение постоянной.

При этом получаемое здесь решение будет зависеть от 20-03-2020 12-00-10 и иметь свои отличительные особенности. В частности, в отдельных случаях решений может быть два или решения может не быть вовсе.

Вначале приведем используемые в дальнейшем формулы, полученные в работе [3].

В плоскости комплексного переменного 20-03-2020 12-00-24 берется окружность 20-03-2020 12-00-31 обтекаемая циркуляцией Г потоком с комплексным потенциалом

20-03-2020 12-11-44    (4)

где 20-03-2020 12-12-02 действительные постоянные, которые выбираются так, чтобы функция (4) отображала область 20-03-2020 12-12-16 на область Dw в плоскости w, когда точки 20-03-2020 12-12-34 в которых 20-03-2020 12-12-46 являются соответственно точками разветвления и схода потока, 20-03-2020 12-13-01 находится из уравнения 20-03-2020 12-13-13 вышеуказанные числа.

В формуле (4) под 20-03-2020 12-36-50 понимается однозначная непрерывная ветвь в области 20-03-2020 12-22-16 разрезанной по линии с уравнением 20-03-2020 12-22-29 с началом в точке 20-03-2020 12-22-36.

Соотношения w = w(z), w = ω(ς) определяют функцию z = z(ς), отображающую конформно область 20-03-2020 12-22-16  на область Dz. Она имеет простой полюс ς =∞. Граничные значения этой функции равны 20-03-2020 12-23-10 и  определяют соответствие точек Lz и окружности 20-03-2020 12-23-18 при указанном отображении. Пусть точкам 20-03-2020 12-23-28 окружности 20-03-2020 12-23-18 при этом отвечают точки Lz  соответственно 20-03-2020 12-23-39 Для определенности принимается, что 20-03-2020 12-23-49

С учетом (4) из равенства  20-03-2020 12-23-58 имеем

20-03-2020 12-38-11

здесь 20-03-2020 12-39-01

Из первых равенств (5) находится зависимость 20-03-2020 12-39-14 причем 20-03-2020 12-39-25 из последнего равенства (5) определяется зависимость 20-03-2020 12-39-39

Таким образом, для искомой функции z(ς) получаются краевые условия

20-03-2020 12-40-03

Для аналитической функции 20-03-2020 12-46-44  с простым полюсом ς =∞ и краевыми значениями 20-03-2020 12-47-07справедливо краевое условие

20-03-2020 12-47-30

где 20-03-2020 12-47-53

В формуле 20-03-2020 12-48-12 под 20-03-2020 12-48-19 понимается непрерывная в области 20-03-2020 12-48-28 ветвь с граничными значениями 20-03-2020 12-48-57 на остальных участках интервала (0, 2π).

Условие (6) представляется так:

20-03-2020 14-40-07

где 20-03-2020 14-40-21

Таким образом, приходим к задаче Шварца для аналитической в области 20-03-2020 14-40-40 функции 20-03-2020 14-40-51 с простым полюсом 20-03-2020 14-41-06. Пользуясь известным решением этой задачи ([4, С. 269-271, 287]), получаем формулу

20-03-2020 14-41-22   (7)

где20-03-2020 14-41-41 произвольные действительные постоянные.

Функция 20-03-2020 14-41-51 производная которой определяется формулой (7) должна быть однозначной, следовательно, вычет функции 20-03-2020 14-42-09 формулы (7) в точке ς =∞ должен быть равным нулю:

20-03-2020 14-42-19

где 20-03-2020 14-42-32 Отсюда получим

20-03-2020 14-52-00    (8)

где 20-03-2020 14-52-10

Следовательно 20-03-2020 14-52-29 должны быть функциями от 20-03-2020 14-52-42 определяемыми формулами (8). В дальнейшем будем считать в формуле (7)20-03-2020 14-52-51

В соотношении (7) перейдем к пределу при 20-03-2020 14-53-01  тогда, обозначая 20-03-2020 14-53-23 будем иметь ([4, С. 39, 59])

20-03-2020 14-53-36   (9)

20-03-2020 14-53-46    (10)

Зная производную 20-03-2020 15-03-38 формулы (9), найдем функцию 20-03-2020 15-03-47 в интервале 20-03-2020 15-03-58 аналогично по значениям 20-03-2020 15-04-07 определим функцию 20-03-2020 15-04-15 в интервалах 20-03-2020 15-04-34. Следовательно, определим координаты 20-03-2020 15-05-08 точек контура Lz. Форма этого контура зависит от произвольной действительной постоянной 20-03-2020 14-52-42

Обозначая 20-03-2020 15-06-06 при  на основании равенства 20-03-2020 15-06-16 приходим к формуле

20-03-2020 15-06-28     (11)

для вычисления распределения скорости 20-03-2020 15-26-18  на Lz, зависящей от 20-03-2020 15-26-29 в силу (9), (10).

Так как 20-03-2020 15-27-49 и согласно (7) 20-03-2020 15-28-12 то  отсюда получаем выражение20-03-2020 15-28-30

Из формулы для v приходим 20-03-2020 15-29-19 к соотношению которые с учетом (10) запишем в виде 20-03-2020 15-29-29. Это соотношение служит для определения значения постоянной 20-03-2020 15-26-29, так как согласно постановке задачи величина v считается заданной. Ясно, что здесь должно выполняться условие 20-03-2020 15-29-45 (при невыполнении этого условия поставленная задача неразрешима). Тогда постоянная 20-03-2020 15-26-29 в частности определяется формулой 20-03-2020 15-30-03. (Единственным будет значение 20-03-2020 15-30-12). Подставляя полученное в формулу (10), найдем 20-03-2020 15-30-21 – значения постоянных, входящих в формулы (7), (9), (10), (11) и определим искомые функции 20-03-2020 15-30-33. Если взять 20-03-2020 15-31-23 то получим другое решение задачи.

Используя результаты статьи [5] легко убедиться в том, что определяемая с учетом формул (9), (10) производная  20-03-2020 15-48-03  непрерывна в точке 20-03-2020 15-48-25. Как видно из формул (9), (10), эта производная в точке 20-03-2020 15-48-38 обращается в бесконечность, точка 20-03-2020 15-49-04 контура Lz является угловой, и скорость v в ней равна нулю.

Область Dz должна быть однолистной, так как в противном случае задача обтекания профиля Lz станет физически нереализуемой. Проблема однолистности области Dz в изучаемой обратной краевой задаче требует особого рассмотрения.

Уместно отметить лишь следующее. Нетрудно убедиться в том, что если сумма в квадратных скобках формул (9), (10) в точке 20-03-2020 15-48-38 принимает отрицательное значение, то область Dz будет неоднолистной. Поэтому постоянная 20-03-2020 15-26-29 указанных формул должна удовлетворять неравенству: 20-03-2020 15-49-56 которое с учетом (10) можно записать так: 20-03-2020 15-50-09 Для выполнения этого неравенства выбранное выше значение 20-03-2020 15-50-23 является предпочтительным чем положительное. Ясно, что это неравенство связано с поведением линии Lz вблизи точки 20-03-2020 15-49-04 и не является достаточным условием однолистности области Dz.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения / Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. – Казань: Изд-во КГУ. 1965. – 333 с.
  2. Елизаров А.М. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики / А.М. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В. Поташов. –М.: Наука. 1994. – 440 с.
  3. Салимов Р.Б. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики в новой постановке / Р.Б. Салимов // Известия вузов. Математика. 2017, №9 – С. 96-101.
  4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 641 с.
  5. Салимов Р.Б. К вычислению сингулярных интергалов с ядром Гильберта / Р.Б. Салимов // Известия вузов. Математика. 1970, №12 – С. 93-96.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Tumashev G.G. Obratnyi kraevie zadachi I ih prilozenia [Inverse boundary value problems and their applications] / G.G. Tumashev, M.T. Nuzhin. – Kazan: KSU publishing house. 1965. – 333 p. [in Russian]
  2. Elizarov A.M. Obratnyi kraevie zadachi aerogidrodinamyki [Reverse regional tasks of aerodynamics] / A.M. Elizarov, N.B. Ilyinsky, A.V. Potashov. – M.: Science. 1994. – 440 p. [in Russian]
  3. Salimov R.B. Rashenye obratnoy kraevoy zadachi aerogidrodinamyki v novoy postanovke [Solving the reverse edge of the aerodynamics in the new production] / R.B. Salimov // Bulletin of universities. Mathematics. – 2017 – No.9 – P. 96-101. [in Russian]
  4. Gahov F.D. Kraevye zadachi. [Boundary value problems] M.:Nauka, 1977. – 641 p. [in Russian]
  5. Salimov R.B. K vychisleniu singulyrnikh integralov s yadrom Hilberta [To the calculation of singular intergals with the core of Hilbert] / R.B. Salimov // Bulletin of universities. Mathematics. – 1970, – No.12 – P. 93-96. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.