Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.98.8.033

Download PDF ( ) Pages: 11-15 Issue: № 8 (98) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Ganicheva A.V. et al. "STOCHASTIC INDEPENDENCE OF COMPLEX EVENTS". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 8 (98) Part 1, (2020): 11. Tue. 08. Sep. 2020.
Ganicheva, A.V. & Ganichev, A.V. (2020). CTOHASTICHESKAYA NEZAVISIMOSTY SLOGHNYH SOBYTIY [STOCHASTIC INDEPENDENCE OF COMPLEX EVENTS]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 8 (98) Part 1, 11-15. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.98.8.033
Ganicheva A. V. STOCHASTIC INDEPENDENCE OF COMPLEX EVENTS / A. V. Ganicheva, A. V. Ganichev // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 8 (98) Part 1. — С. 11—15. doi: 10.23670/IRJ.2020.98.8.033

Import


STOCHASTIC INDEPENDENCE OF COMPLEX EVENTS

CТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ

Обзорная статья

Ганичева А.В.1, Ганичев А.В.2, *

1 ORCID: 0000-0002-0224-8945;

2 ORCID: 0000-0003-3389-7582;

1 Тверская государственная сельскохозяйственная академия, Тверь, Россия;

2 Тверской государственный технический университет, Тверь, Россия,

* Корреспондирующий автор (alexej.ganichev[at]yandex.ru)

Аннотация

Проблема независимости случайных событий является одной из самых важных и недостаточно изученных в теории вероятностей. Важность проблемы вызвана массовым применением в практических приложениях допущения о независимости факторов. В статье показаны формулы для вычисления условных вероятностей суммы, произведения событий и противоположного события. Установлены два необходимых и достаточных условия независимости событий. Полученные результаты могут использоваться в интеллектуальных системах принятия решений.

Ключевые слова: событие, условная вероятность, произведение, сумма событий, критерий независимости, фактор, равенство, утверждение.

STOCHASTIC INDEPENDENCE OF COMPLEX EVENTS

Review article

Ganicheva A.V.1, Ganichev A.V. 2, *

1 ORCID: 0000-0002-0224-8945;

2 ORCID: 0000-0003-3389-7582;

1 Tver State Agricultural Academy, Tver, Russia;

2 Tver State Technical University, Tver, Russia,

* Corresponding author (alexej.ganichev[at]yandex.ru)

Abstract

The problem of independence of random events is one of the most important and insufficiently studied in probability theory. The importance of the problem is caused by the mass application of the assumption of independence of factors in practical provisions. The article shows formulas for calculating the conditional probabilities of a sum, the product of events and the opposite event. Two necessary and sufficient conditions for the independence of events have been determined. The obtained results can be used in intelligent decision-making systems.

Keyword: event, conditional probability, product, sum of events, independence criterion, factor, equality, statement.

Введение

Многие вероятностно-статистические модели основываются на использовании независимых событий в качестве результатов измерений, наблюдений, испытаний, опытов, анализа данных. Например, в системах распознавания объектов предполагают независимость их характерных признаков, в системах диагностики говорят о независимости появления одного вида дефектов изделий от других видов, при выпуске продукции используют понятие независимости факторных переменных и т.д. Причиной частого использования независимости случайных событий является существенное упрощение математических выкладок по сравнению с зависимыми событиями. Понятие независимости событий носит философски-методологический характер [5]. При этом следует учитывать субъективный и объективный подходы к данному вопросу [3]. Как отмечается в работе [7, С. 463], вероятностный подход является ключевым в современном научном мировоззрении. В научной литературе недостаточно рассмотрены вопросы условных вероятностей и независимости событий.

При использовании основ теории вероятностей возникают две задачи:

1) нахождение условных вероятностей произведения и суммы событий, а также условной вероятности противоположного события;

2) установление критерия независимости событий.

Эти две задачи определяют цель данной статьи.

Постановка задачи

Как отмечается в [4, С. 132], понятие условной вероятности является основным элементом теории вероятностей. А.Н. Колмогоров полагал, что идея независимости является центральной в статистике [10]. В статье [9] описан способ построения вероятностных мер посредством условных относительных мер, относящихся ко всей совокупности наблюдаемых событий.

Условной вероятностью события A при наличии B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Принято обозначение 08-09-2020 13-12-56 .

Приведем определение независимых событий, данное в [1], [2], [4]. Событие A называется независимым от B, если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет, т.е.08-09-2020 13-13-58. В противном случае, если 08-09-2020 13-14-09, событие A зависит от B. Сформулируем основные свойства условных вероятностей и докажем критерий независимости сложных событий.

Теоремы об условных вероятностях

Важной задачей, возникающей при работе с условными вероятностями, является нахождение условных вероятностей произведения и суммы событий, а также вероятности противоположного события. Из приведенных ниже соотношений (1)-(8) формулы (1)-(5), (7) отражены в литературе, (6) и (8) не нашли должного отражения.

Теорема 1. Для любых событий 08-09-2020 13-23-39 справедливы следующие соотношения:

08-09-2020 13-24-08

Доказательство. Соотношения 1 и 2 очевидны; соотношение 3 следует из 1; соотношение 7 вытекает из 1, 8 – из 6.

Доказательство соотношения 6 вытекает из следующей цепочки равенств:

08-09-2020 13-33-42

Докажем соотношения 4 и 5. Имеем:

Для несовместных событий:

08-09-2020 13-34-13

Утверждения 4, 5 доказаны.

08-09-2020 13-34-29

Необходимые и достаточные условия независимости

Другая важнейшая задача теории вероятностей – установление критерия независимости событий. Для иллюстрации доказательства независимости воспользуемся определением, что независимые события А и В не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий [4].

Теорема 2. Первое необходимое и достаточное условие независимости двух событий.

Пусть 08-09-2020 13-40-25 (невозможное событие),

08-09-2020 13-40-37

Тогда для независимости событий A и B необходимо и достаточно, чтобы либо событие A не зависело от B1 и B2, либо событие B не зависело от событий  08-09-2020 13-40-57.

Доказательство. Пусть A не зависит от  08-09-2020 13-41-10.

08-09-2020 13-47-09

Следовательно, 08-09-2020 13-47-24. А это и означает независимость событий A и B.

Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть A и B – независимые события. Найдем

08-09-2020 13-48-09

Отсюда получаем:

08-09-2020 13-50-34    (9)

Аналогично получаем равенство:

08-09-2020 13-50-44    (10)

Предположим, что 08-09-2020 13-50-52. Получаем

08-09-2020 13-50-59    (11)

Представим A  в виде , тогда равенство (12) преобразуется к виду:

08-09-2020 13-51-06    (12)

Представим A в виде 08-09-2020 13-58-59, тогда равенство (12) преобразуется к виду:

08-09-2020 13-59-07    (13)

Выразим 08-09-2020 14-00-15 из (11) и, подставив в последнее равенство, после преобразования получим

08-09-2020 14-00-30

Аналогично, выразим 08-09-2020 14-00-47 из (11) и, подставив в (13), после преобразования будем иметь

08-09-2020 14-08-12

Положим

08-09-2020 14-14-19

Тогда, сравнивая правые части выражения 08-09-2020 14-14-28, получим

08-09-2020 14-16-53

Отсюда: 08-09-2020 14-17-03.

Преобразуем последнее выражение:

08-09-2020 14-17-15.

Отсюда следует, что либо 08-09-2020 14-17-27.

В первом случае получаем, что 08-09-2020 14-17-41, но это и означает независимость A от B1 и B2. Для второго случая имеем:

08-09-2020 14-18-25

Отсюда с применением равенства (9) получаем, что 08-09-2020 14-24-40. Это противоречит условию.

Если 08-09-2020 14-24-51, то тогда из условия 08-09-2020 14-25-04 следует, что 08-09-2020 14-25-15, т.е. B зависит от 08-09-2020 14-25-27. Аналогично рассматривается случай, когда 08-09-2020 14-25-34. Независимость B от  08-09-2020 14-25-27  доказывается таким же способом.

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Второе необходимое и достаточное условие независимости двух событий.

Пусть 08-09-2020 14-25-58 (невозможное событие),

08-09-2020 14-26-07

Тогда для независимости A и B необходимо 08-09-2020 14-46-09 достаточно, чтобы  и  были независимы от  08-09-2020 14-46-15.

Доказательство. Пусть08-09-2020 14-46-27,  не зависят от  08-09-2020 14-46-34. Докажем, что тогда A не зависит от B.

08-09-2020 14-46-51

Следовательно, , а это означает независимость событий A и B.

Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть A и B – независимые события. Докажем, например, что A1 не зависит от 08-09-2020 14-46-34 .

Поскольку любое событие 08-09-2020 14-55-02 связано с действием некоторого фактора G, то это действие можно заменить действием двух факторов 08-09-2020 14-54-11 таких, что результаты действия 08-09-2020 14-54-11 есть события 08-09-2020 14-54-24, соответственно, и такие, что 08-09-2020 14-54-37. При этом можно считать действия 08-09-2020 14-54-11 независимыми, а поэтому события  08-09-2020 14-54-24  также будут независимы.

По условию 08-09-2020 14-54-53,  совместно с 08-09-2020 14-53-47, а поэтому действия соответствующих факторов 08-09-2020 14-55-10, связанные с этими событиями, также могут произойти вместе. Но тогда L может произойти одновременно с факторами 08-09-2020 14-54-11, а в этом случае 08-09-2020 14-54-53 может произойти совместно с событиями  08-09-2020 15-05-30. Аналогично доказывается, что 08-09-2020 15-05-38 совместно с 08-09-2020 15-05-51.

Кроме того, по условию 08-09-2020 15-16-28, и можно доказать, что 08-09-2020 15-16-39.

В самом деле, поскольку 08-09-2020 15-16-52.

Поэтому если 08-09-2020 15-17-10, а это возможно только в том случае, когда 08-09-2020 15-17-26, а этого не может быть, так как тогда  08-09-2020 15-17-40 – противоречит условию.

Нетрудно видеть, что мы оказываемся в рамках предыдущей теоремы. А именно: B не зависит от A1. Кроме того,08-09-2020 15-24-10 совместны с  08-09-2020 15-24-18, т.е. если 08-09-2020 15-24-33; кроме того  08-09-2020 15-24-47.

Отсюда следует, что A не зависит от  08-09-2020 14-46-15. Совершенно аналогично доказываем независимость A2 от  08-09-2020 14-46-15.

Теорема 3 доказана.

Заключение

На основе условных вероятностей событий строятся Байесовские сети доверия, которые используются для принятия и обоснования решений в системах искусственного интеллекта. Практическое применение полученных результатов заключается в возможности организации корректной обработки больших массивов статистических данных, на основе доказанных в работе теорем. Сложность вычисления вероятностей сложных событий вызывает необходимость их приближенного вычисления.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Ганичева А. В. Теория вероятностей / А. В Ганичева. ‑ Санкт-Петербург: Лань, 2017. – 144 с.
  2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: КноРус, 2010. – 664 с.
  3. Зепнова Н.Н. Субъективный и объективный подходы к решению задач теории вероятностей и дискретной математики / Н.Н.Зепнова, О.В. Кузьмин // Вестник Бурятского государственного университета. ‑ 2017. ‑ № 7. ‑ С. 196-204.
  4. Орлов А.И. Математика случая. Вероятность и статистика – основные факты / А.И. Орлов, М.: МЗ-Пресс, 2004. ‑ 170 с.
  5. Резников В.М. Философско-методологический анализ понятия независимости в вероятностной теории причинности и в теории вероятностей / В.М. Резников // Философия науки. ‑ 1998. ‑ № 1.‑ С. 6.
  6. Солодухин А. Приближенное вычисление вероятности сложного события в условиях объективной недостаточности статистических опытов / А.Солодухин // Труды Второй Российской конференции молодых ученых по информационному поиску. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. – C. 79-89.
  7. Татаринов В.В. Замечание об основаниях теории вероятностей /В.В. Татаринов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. ‑ 2003. ‑ Т. 8. № 3. ‑ С. 462-464.
  8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2-х томах. Том 1 / В. Феллер, М.: Мир, 1984. –528 с.
  9. Чечулин В. Л. Статьи разных лет: сборник / В.Л. Чечулин; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2017. — Вып. 4. – 136 с.
  10. Cartwright N. False idealizations: A probabilistic threatm to scientific method / N. Cartwright // Philos. Studies, 1995. ‑ V. 77. ‑ N. 3. ‑ P. 339 – 352.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Ganicheva A. V. Teorija verojatnostej [Probability theory] / A. V Ganicheva. – Sankt-Peterburg : Lan’, 2017. – 144 p. [in Russian]
  2. Ventcel E. S. Teorija verojatnostej [Probability theory] / E. S. Ventcel. – M. : KnoRus, 2010. – 664 p. [in Russian]
  3. Zepnova N. N. Subjektivnyj i objektivnyj podhody k resheniju zadach teorii verojatnostej i diskretnoj matematiki [Subjective and objective approaches to solving the problems of probability theory and discrete mathematics] / N. N. Zepnova, O. V. Kuzmin // Vestnik Burjatskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Buryat State University]. –2017. – № 7. – P. 196-204. [in Russian]
  4. Orlov A. I. Matematika sluchaja. Verojatnost’ i statistika – osnovnye fakty [Mathematical variants. Probability and statistics – the main facts] / A. I. Orlov, M. : MZ-Press, 2004. – 170 p. [in Russian]
  5. Reznikov V. M. Filosofsko-metodologicheskij analiz ponjatija nezavisimosti v verojatnostnoj teorii prichinnosti i v teorii verojatnostej [Philosophical and methodological analysis of the concept of independence in the probabilistic theory of causality and in the theory of probabilities] / V. M. Reznikov // Filosofija nauki [The philosophy of Science]. – 1998. – № 1. – P. 6. [in Russian]
  6. Soloduhin A. Priblizhennoe vychislenie verojatnosti slozhnogo sobytija v uslovijah objektivnoj nedostatochnosti statisticheskih opytov [The approximate calculation of the probability of a complex event in the conditions of objective insufficiency of statistical experiments] / Soloduhin A. // Trudy Vtoroj Rossijskoj konferencii molodyh uchenyh po informacionnomu poisku [The Materials of the Second Russian Conference of Young Scientists on Information Search] – Taganrog : TTI JuFU, 2008. – pp. 79-89. [in Russian]
  7. Tatarinov V. V. Zamechanie ob osnovanijah teorii verojatnostej [The remark on the foundations of probability theory] / V. V. Tatarinov // Vestnik Tambovskogo universiteta. Serija: Estestvennye i tehnicheskie nauki [Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and technical sciences]. – 2003. – Vol. 8. № 3. P. 462-464. [in Russian]
  8. Feller V. Vvedenie v teoriju verojatnostej i ejo prilozhenija. V 2 tomah. Tom 1 [Introduction to probability theory and its applications. In two volumes. Vol. 1] / V. Feller, M. : Mir, – 1984. – 528 p. [in Russian]
  9. Chechulin V. L. Stat’i raznyh let: sbornik [The collection of articles of different years] / V. L. Chechulin; Perm. gos. nac. issled. un-t [Perm State National Research University]. – Perm’, 2017. – Issue. 4. – 136 p. [in Russian]
  10. Cartwright N. False idealizations: A probabilistic threat to scientific method / N. Cartwright // Philos. Studies, 1995.  – V. 77. –  N. 3. –  P. 339 – 352.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.