Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.006

Download PDF ( ) Pages: 35-39 Issue: № 2 (92) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Kenzhegulov B.Z. et al. "NUMERICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 2 (92) Part 1, (2020): 35. Thu. 05. Mar. 2020.
Kenzhegulov, B.Z., & Gapuova, T.B., & Muratkaliev, A.N., & Rakhmetov, M.E., & (2020). CHISLENNOE MODELIROVANIE ODNOMERNOGO TERMONAPRYAGHENNOGO SOSTOYANIE ZASCHEMLENNOGO DVUMYA KONCAMI STERGHNYA PRI NALICHII RAZNYH ISTOCHNIKOV TEPLA [NUMERICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 2 (92) Part 1, 35-39. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.006
Kenzhegulov B. Z. NUMERICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES / B. Z. Kenzhegulov, T. B. Gapuova, A. N. Muratkaliev и др. // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 2 (92) Part 1. — С. 35—39. doi: 10.23670/IRJ.2020.92.2.006

Import


NUMERICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОГО ДВУМЯ КОНЦАМИ СТЕРЖНЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

Научная статья

Кенжегулов Б.З.1, Гапуова Т.Б.2, *, Мураткалиева А.Н.3, Рахметов М.Е.4

1, 2, 3, 4 Атырауский государственный университет,.Атырау, Казахстан

* Корреспондирующий автор (tikosh.96[at]mail.ru)

Аннотация

На основе энергетических принципов ориентированный на минимизации полной тепловой энергии упругих деформации в сочетании применении квадратичного конечного элемента с тремя узлами разработан вичислительный алгоритм и численно исследована термо-напряженно-деформированное состояние защемленного двумя концами стержня, постоянного поперечного сечения в зависимости наличия частичной теплоизоляции, теплового потока и теплообменов.

Ключевые слова: тепловая энергия, теплоизоляция, теплообмен, тепловой поток.

NUMERICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

Research article

Kenzhegulov B.Z.1, Gapuova T.B.2, *, Muratkaliev A.N.3, Rakhmetov M.E.4

1, 2, 3, 4 Atyrau State University, Atyrau, Kazakhstan

* Corresponding author (tikosh.96[at]mail.ru)

Abstract

The computational algorithm is developed and the thermo-stress-strain state of a rod fixed at two ends with a constant cross section depending on the presence of partial thermal insulation, heat flux and heat exchanges is numerically investigated, based on energy principles, focused on minimization of total thermal energy of elastic deformations combined with the use of a quadratic finite element with three nodes.

Keywords: temperature, heat energy, heat flow, gradient, heat transfer. 

При частично-теплоизолированном защемленным двумя концами, при наличии разных источников тепла, для нахождения поля распределения температуры по длине стержня, его дискретизируем на n равные конечные элементы. Здесь каждый конечный элемент является квадратичным элементом с тремя узлами, поэтому число узолвых точек стержня будет (2n+1). Здесь учитывая, что стержень частично-теплоизолирован и влияют разные источники тепла, напишем для каждого конечного элемента функционал 05-03-2020 17-08-13, выражающий тепловую энергию [1], [2]. В результате, суммируя эти функционалы для исследуемого стержня, построим общий функционал 05-03-2020 17-08-44, выражающий тепловую энергию. Минимизируя эти функционалы по незаданным значениям температуры в узолвых точках, построим систему линейных алгебраических уравнеий, то есть

05-03-2020 17-06-54   (1)

Решая эту систему уравнеий, находим поле распределения температуры 05-03-2020 17-09-22 по длине стержня. После этого данный стержень делим на 05-03-2020 17-09-36 равные части. Каждый конечный элемент является квадратичным элементом с тремя узлами. В его пределах изменение перемещения выражается следующим образом.

05-03-2020 17-09-43   (2)

где 05-03-2020 17-10-04 – перемещение узловых точек квадратичного конечного элемента. В пределах любого элемента стержня изменение упрогого компонента деформаций выражается следующим образом

05-03-2020 17-10-24   (3)

А также изменение упругого компонента напряжения в пределах конечного элемента будет следующим

05-03-2020 17-10-35   (4)

А изменение напряжений в пределах конечного элемента, которое появляется засчет поля температуры будет таким

05-03-2020 17-10-56   (5)

Тогда в примере одного конечного элемента вид функционала выражающего потенциальную энергию i-го элемента будет следующим

05-03-2020 17-25-30    (6)

Здесь значения температуры определены в точках (2n+1), которые размещены равномерно по длине стержня. А для нахождения перемещения, деформаций и напряжения из-за разделения стержня на 05-03-2020 17-26-23 части, число узловых точек будет 05-03-2020 17-27-20[1]. Для нахождения деформаций и напряжения участка ограниченного точками  и , нужно значение температуры в точке 05-03-2020 17-27-35 участка 05-03-2020 17-28-00. Суммируя функционалы потенциальной энергий, которые написаны для всех n/2 конечных элементов стержня, построим функционал, выражающий потенциальную энергию для стержня в целом, то есть

 05-03-2020 17-28-39   (7)

Минимизируя эти эти функционалы по незаданным значениям перемещения в узловых точках, построим систему линейных алгебраических уравнений

05-03-2020 17-28-53   (8)

Решая эту систему уравнений, находим 05-03-2020 17-29-18 т.е. значения перемещения в узловых точках.

Из-за того, что оба конца стержня жестко защемлены [9] 05-03-2020 17-29-26. В результате значение деформаций между любыми двумя рядом стоящих точек будет

05-03-2020 17-29-38

Тогда значение упрогого напряжение будет 05-03-2020 17-29-46. Соответственно к этой точке значение температурного напряжение, возникшего под влиянием поля температуры будет следующим [7]:

05-03-2020 17-29-55

Тогда полное напряжение в этой точке имеет следуюшеее значение

05-03-2020 17-30-05   (9)

Рассмотрим на задаче [1]: пусть длина стержня будет 05-03-2020 17-44-16  площадь поперечного сечения в виде круга равна 05-03-2020 17-44-39  и постоянна по длине. Оба конца стержня жестко защемлены. Модуль упругости материала стержня 05-03-2020 17-44-53), значение коэффицента теплопроводности 05-03-2020 17-45-06), коэффициент теплового расширения 05-03-2020 17-45-21значение коэффицента теплообмена через площадь поперечного сечения левого конца, координаты которого05-03-2020 17-45-50, а левого конца  будет 05-03-2020 17-46-11. Температуры окружающей среды равна  05-03-2020 17-46-22.

Пусть задана температура точек на участке 05-03-2020 17-58-51. Боковая поверхность остального участка стержня теплоизолированы. Для определения поля распределения температуры по длине стержня дискретизируем на 05-03-2020 17-59-00части. Тогда число узолвых точек 05-03-2020 17-59-08.

Поле распределения температуры по длине стержня приведено на рисунке 1.

05-03-2020 19-13-04

Рис. 1 – поле распеределения температуры по длине стержня

 

Минимальное значения темперауры в точке 05-03-2020 19-11-48. Для определения поле перемещений этих точек по длине стержня данный стержень дискретизируем на 05-03-2020 19-12-05  части. Каждую часть рассмотрим как квадратичный конечный элемент с тремя узлами [5]. Тогда в стержне будет 801 узловых точек по формуле 05-03-2020 19-12-34. Закон распределения перемещений этих узловых точек приведено на рисунке 2 (см.рисунок 2)

 

05-03-2020 19-13-29

Рис. 2 — Закон распределений узловых точек по длине стержня  05-03-2020 19-18-09

 

Поле распределение перемещения по длине стержня будет в виде кривой параболического типа. Перемещения соответствующих точек 05-03-2020 19-18-38 равны нулю, потому что стержень жестко защемлены обоими концами. Остальные точки перемещаются в правую сторону по оси ОХ. Самое большое перемещение будет в точке 05-03-2020 19-18-55 и оно равно 05-03-2020 19-19-06. Эта величина равна при 05-03-2020 19-19-50 длины стержня. А поле распределения деформаций на участке 05-03-2020 19-20-17 значение упругого компонента деформаций будет постоянным 05-03-2020 19-20-28 и имеют расстягивающий характер (см. рисунок 3).

05-03-2020 19-33-15

Рис. 3 — Поле распределения 05-03-2020 19-28-57 по длине стержня

 

А по увелечении оси Ox значение 05-03-2020 19-28-57 будет равноммерно уменьшаться. В окрестности точки 05-03-2020 19-29-18 его значение будет ноль и после этого он имеет расстягивающий характер. При приближений точки 05-03-2020 19-29-29, максимальное значение сжимающего упругого компонента деформаций будет 05-03-2020 19-29-42.

05-03-2020 19-34-39

Рис. 4 – Поле распределения 05-03-2020 19-37-03  по длине стержня

 

На рисунке 4 (см. рисунок 4) приведены поле распределения температурного напряжений и термоупругого напряжений. Здесь на участке 05-03-2020 19-37-17 значение упругого напряжений равняется 05-03-2020 19-38-08 и имеют расстягивающий характер[6]. А по увелечению оси ОХ значение 05-03-2020 19-38-20 будет равномерно уменьшается в окрестности точки 05-03-2020 19-38-46.

А значение температурного напряжений на этом участке  стержня будет постоянным, имеет сжимающий характер и равняется 05-03-2020 19-39-19.

Любое значение термоупрогого напряжения по длине стержня будет постоянным, и в нашем примере равняется  05-03-2020 19-39-31.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

 

Список литературы / References

  1. Кенжегулов Б.З. «Численное моделирование многомерных температурных и одномерных нелинейных термомеханических процессов в жаропрочных сплавах» Монография / Кенжегулов Б.З. ISBN 9965-640-98-Х. Издательство «АтГУ им.Х.Досмухамедова», 2013г.– 326с.
  2. Кудайкулов А. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных констукционных элементах / Кудайкулов А. – Туркестан, 2009 г.– 168с.
  3. Химушин Ф.Ф. Жаропрочные стали и сплавы. 2-ое переработанное и дополнительное издания / Химушин Ф.Ф. М.: Металлургия, 1969г.-749с.
  4. Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики / Ноздрев В.Ф. Из-во Мир, М.: 1967г.-247с.
  5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Сегерлинд Л. Из-во Мир, М.:1979г-392с.
  6. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов / Писаренко Г.С. “Вища Школа”, Киев, 1973г.-672с.
  7. Тимошенко С.П. Теория упругости / Тимошенко С.П., Гудьяр Дж.Н. Из-во Мир, «Наука», М.: 1975г.-575с.
  8. Бергер И.А. Прочность. Устойтивость. Колебания. Том-1 / Бергер И.А., Пановко Я.Г. М.: Машиностроение, 1698г.-56с.
  9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальное уравнения и вариационное исчисление / Эльсгольц Л.Э. Из-во Наука, М.: 1969г.-424с.
  10. Кенжегулов Б.З. Математическое моделирование исследования термонапряженного в состояния стержня из жаропрочного сплава / Кенжегулов Б.З., Ж.Д.Мухтаргалиева, Т.Б.Гапуова // Атырауский государственный университет им. Х.Досмухамедова, г. Атырау, Республика Казахстан, Вестник №3(50) 21.11.2018 стр.116

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Kenzhegulov B.Z. Chislennoye modelirovaniye mnogomernykh temperaturnykh i odnomernykh nelineynykh termomekhanicheskikh protsessov v zharoprochnykh splavakh [Numerical modeling of multidimensional temperature and one-dimensional nonlinear thermomechanical processes in heat-resistant alloys. Monograph.] / Kenzhegulov B.Z. ISBN 9965-640-98-X. Publishing house “AtSU named after H. Dosmukhamedov, 2013 – 326 p. [in Russian]
  2. Kudaikulov A. Matematicheskoye (konechno-elementnoye) modelirovaniye prikladnykh zadach rasprostraneniya tepla v odnomernykh konstuktsionnykh elementakh [Mathematical (finite-element) modeling of applied problems of heat distribution in one-dimensional structural elements] / Kudaikulov A. – Turkestan, 2009 – 168 p. [in Russian]
  3. Himushin F.F. Zharoprochnyye stali i splavy. 2-oye pererabotannoye i dopolnitel’noye izdaniya [Heat resistant steels and alloys. 2nd edition] / Himushin F.F. M.: Metallurgy, 1969. – 749 p. [in Russian]
  4. Nozdrev V.F. Kurs termodinamiki [Course of thermodynamics] / Nozdrev V.F. Mir. Moscow: 1967 – 247 p. [in Russian]
  5. Segerlind L. Primeneniye metoda konechnykh elementov [Application of finite element method] / Segerlind L. M.: Mir. – 1979 – 392 p. [in Russian]
  6. Pisarenko G.S. Soprotivleniye materialov [Resistance of materials] / Pisarenko G.S. “Vishcha Shkola”, Kiev, 1973. – 672 p. [in Russian]
  7. Timoshenko S.P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity] / Timoshenko S.P., Goodyar J.N. M.: Mir., “Nauka”, M.: 1975. – 575 p. [in Russian]
  8. Berger I.A. Prochnost’. Ustoytivost’. Kolebaniya [Strength. Sustainability. Fluctuations. Vol. 1] / Berger I.A., Panko Ya.G. M.: Mechanical Engineering, 1698. – 56 p. [in Russian]
  9. Elsgolts L.E. Differentsial’noye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye [Differential equations and calculus of variations] / Elsgolts L.E. Nauka, Moscow: 1969 – 424 p. [in Russian]
  10. Kenzhegulov B.Z. Matematicheskoye modelirovaniye issledovaniya termonapryazhennogo v sostoyaniya sterzhnya iz zharoprochnogo splava [Mathematical modeling of study of thermally stressed state of rod of heat-resistant alloy] / Kenzhegulov B.Z. , Zh.D. Mukhtargalieva, T.B. Gapuova // Atyrau State University. H. Dosmukhamedova, Atyrau, Republic of Kazakhstan, Bulletin No. 3 (50) 11/21/2018 – P.116 [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.