Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.83.5.001

Download PDF ( ) Pages: 6-10 Issue: № 5 (83) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Fedorov V.M., "APPROXIMATIVE PROPERTIES OF PROXIMAL SUBSPACES OF INFINITE DIMENSION". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 5 (83) Part 1, (2019): 6. Wed. 12. Jun. 2019.
Fedorov, V.M. (2019). APPROKSIMATIVNYE SVOYSTVA PROKSIMINALYNYH PODPROSTRANSTV BESKONECHNOY RAZMERNOSTI [APPROXIMATIVE PROPERTIES OF PROXIMAL SUBSPACES OF INFINITE DIMENSION]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 5 (83) Part 1, 6-10. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2019.83.5.001
Fedorov V. M. APPROXIMATIVE PROPERTIES OF PROXIMAL SUBSPACES OF INFINITE DIMENSION / V. M. Fedorov // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2019. — № 5 (83) Part 1. — С. 6—10. doi: 10.23670/IRJ.2019.83.5.001

Import


APPROXIMATIVE PROPERTIES OF PROXIMAL SUBSPACES OF INFINITE DIMENSION

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОКСИМИНАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Научная статья

Федоров В.М. *

ORCID: 0000-0002-4586-6591,

МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (vferdorov[at]rambler.ru)

Аннотация

Для подпространств L бесконечной размерности в банаховом пространстве  получены характеристические свойства существования элементов наилучшего приближения. В качестве приложения доказывается, что в пространстве 10-06-2019 12-52-57 непрерывных функций на связном хаусдорфовом компакте T чебышевское подпространство 10-06-2019 12-53-43  бесконечной размерности, у которого аннулятор 10-06-2019 12-53-56 сепарабельный и  содержит минимальное тотальное подпространство, является гиперплоскостью 10-06-2019 12-54-24 строго положительного функционала 10-06-2019 12-54-37.

Ключевые слова: аннулятор, сепарабельность, размерность, коразмерность,  проксиминальное подпространство, чебывшевское подпространство.

APPROXIMATIVE PROPERTIES OF PROXIMAL SUBSPACES OF INFINITE DIMENSION

Research article

Fedorov V.M. *

ORCID: 0000-0002-4586-6591,

Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

* Corresponding author (vferdorov[at]rambler.ru)

Abstract

For subspaces L of infinite dimension in a Banach space, the authors obtained the characteristic properties of the existence of elements of the best approximation. As an application, they prove that, in the space 10-06-2019 12-52-57 of continuous functions on a connected Hausdorff compactum T, the Chebyshev subspace 10-06-2019 12-53-43 of infinite dimension, the annihilator 10-06-2019 12-53-56 of which is separable and contains the minimal total subspace, is a hyperplane 10-06-2019 12-54-24 of a strictly positive functional 10-06-2019 12-54-37.

Keywords: annihilator, separability, dimension, codimension, proximal subspace, Chebyshev subspace.

Введение

Пусть 10-06-2019 14-02-15 есть замкнутое подпространство банахова пространства E. Обозначим через 10-06-2019 14-03-22 факторпространство смежных классов 10-06-2019 14-03-31 по подпространству и через 10-06-2019 14-04-24 норму в факторпространстве 10-06-2019 14-05-05. Подпространство 10-06-2019 14-02-15 называется проксиминальным,  если для любого 10-06-2019 14-05-16 множество 10-06-2019 14-05-59 не пусто, и называется чебышевским, если для любого 10-06-2019 14-05-16 множество 10-06-2019 14-07-00 состоит из одного элемента.

Используя компактность конечномерного шара, можно показать, что всякое конечномерное подпространство 10-06-2019 14-02-15 является проксиминальным. Проблема характеристики бесконечномерных проксиминальных подпространств  является достаточно трудной задачей и решена только для подпространств конечной коразмерности [1, 2, 3]. Указанные там характеристики является обобщением результатов, полученных ранее для классических нормированных пространств, таких, как пространство 10-06-2019 12-52-57непрерывных функций на хаусдорфовом компакте 10-06-2019 14-18-27 интегрируемых функций по Лебегу на измеримом пространстве 10-06-2019 14-18-39 с -конечной мерой μ [4], [5], [6]. Нашей задачей является нахождение необходимых и достаточных условий проксиминальности для подпространств, имеющих бесконечную размерность, у которых  аннулятор  содержит минимальное, замкнутое и тотальное подпространство. В частности, для подпространств, у которых аннулятор является рефлексивным.

Основные результаты

Аннулятор 10-06-2019 14-32-18 подпространства L изометричен сопряженному пространству 10-06-2019 14-32-42 [7, С. 110] и его шар радиуса 10-06-2019 14-33-12, т.е.  множество 10-06-2019 14-33-27, является слабо* компактным в сопряженном  пространстве 10-06-2019 14-05-05* [8, С. 459]. Далее мы будем предполагать, что аннулятор 10-06-2019 12-53-56 является сепарабельным и обозначим через 10-06-2019 14-33-51 единичный шар в  10-06-2019 14-05-05*.

Подпространство 10-06-2019 14-39-13 называется тотальным, если из условия 10-06-2019 14-38-53. Тотальность 10-06-2019 14-39-13 равносильна его слабой* плотности в 10-06-2019 14-05-05* [8, С. 457; 9, С. 198]. Характеристикой 10-06-2019 14-39-27 подпространства 10-06-2019 14-39-13 называется верхняя грань чисел 10-06-2019 14-39-39, т.ч. слабое* замыкание 10-06-2019 14-40-02 содержит шар 10-06-2019 14-40-15 [9, С. 275]. Подпространство 10-06-2019 14-38-32 называется минимальным, если оно замкнуто и тотально, при этом не имеет собственных замкнутых и тотальных подпространств.

Лемма 1

Если аннулятор содержит минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 10-06-2019 14-52-16, то для любого 10-06-2019 14-52-38 он содержит также такое минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 10-06-2019 14-52-49.

Доказательство. Известно [9, С. 275], что пространство 10-06-2019 14-05-05 тогда и только тогда изоморфно сопряженному пространству 10-06-2019 14-53-40, когда существует минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 10-06-2019 14-53-55 положительной характеристики.  При этом изоморфизм 10-06-2019 14-54-14является каноническим, т.е. задается по формуле 10-06-2019 14-54-28 ограничения функционала Дирака 10-06-2019 14-54-40 на подпространство F. В этом случае, пространство 10-06-2019 14-55-13 изоморфно прямой сумме 10-06-2019 14-55-26.

Пусть 10-06-2019 15-07-22. Рассмотрим ненулевой функционал 10-06-2019 15-07-35, не принадлежащий аннулятору 10-06-2019 15-07-49 и образу 10-06-2019 14-53-40 канонического вложения 10-06-2019 15-08-01. Тогда линейная оболочка 10-06-2019 15-08-12 задает такое подпространство в 10-06-2019 14-05-05*, которое содержит α и его аннулятор в  10-06-2019 14-05-05 равен нулю. Так как 10-06-2019 15-08-38. Поэтому 10-06-2019 15-08-51 минимальным, замкнутым и тотальным  подпространством положительной характеристики [9, С. 275].

Обозначим через 10-06-2019 12-52-57 пространство непрерывных и ограниченных функций на множестве T и определим отображение 10-06-2019 15-23-30. Рассмотрим образ оператора 10-06-2019 15-23-46.  Поскольку множество 10-06-2019 15-24-19 выпукло, симметрично и поглощает M, где S есть единичный шар E, то функционал Минковского 10-06-2019 15-25-23 определяет норму в подпространстве M.  При этом 10-06-2019 15-26-06.

Лемма 2

Отображение 10-06-2019 15-38-18  задает слабо компактный оператор, его факторотображение 10-06-2019 15-38-34 является изометрическим оператором, норма в M эквивалентна индуцированной норме из 10-06-2019 12-52-57 а если характеристика подпространства F равна 10-06-2019 15-39-42 , то эти нормы совпадают.  

Доказательство. Поскольку 10-06-2019 15-40-17, то оператор ограничен.  Пусть 10-06-2019 15-40-28обозначает второй сопряженный оператор. Если 10-06-2019 15-40-40, то существует ограниченная сеть 10-06-2019 15-41-04, которая слабо* сходится к f  [8, С. 460]. Поэтому в силу слабой* непрерывности оператора Ф** [8, стр. 515]

10-06-2019 15-52-27

где 10-06-2019 15-52-54. Здесь 10-06-2019 15-53-08 обозначает функционал Дирака  на сопряженном пространстве E*. Поскольку единичный шар S** слабо* компактный, то его образ 10-06-2019 15-55-34 будет слабо* компактным в пространстве 10-06-2019 15-55-52.  Применяя  формулу 10-06-2019 16-05-27 10-06-2019 16-04-31 [8, С. 516] и слабую* плотность множества 10-06-2019 16-04-52 [8, С. 460], где 10-06-2019 16-05-05каноническое вложение 10-06-2019 16-05-15 во второе сопряженное пространство E**,  получим, что образ 10-06-2019 16-05-46 является относительно слабо компактным. Таким образом, оператор Ф  является слабо компактным.

Если 10-06-2019 16-20-02, то для любого 10-06-2019 16-20-10 существует 10-06-2019 16-20-20. Тогда имеем 10-06-2019 16-20-49 и значит 10-06-2019 16-21-33. С другой стороны, пусть 10-06-2019 16-22-36. Тогда существует 10-06-2019 16-22-56. Тогда в силу тотальности подпространства 10-06-2019 16-23-06 мы получим включение 10-06-2019 16-23-16 и, следовательно, имеем 10-06-2019 16-23-29. Таким образом, имеет место равенство 10-06-2019 16-23-37.

Поскольку норма пространства М совпадает с нормой пространства 10-06-2019 14-05-05 и при 10-06-2019 16-38-31 выполняется включение 10-06-2019 16-38-43, то имеют место неравенства 10-06-2019 16-38-57.

Поэтому норма в М эквивалентна индуцированной норме из 10-06-2019 12-52-57.

Замечание

Выполняя композицию сопряженного отображения 11-06-2019 16-46-49 и естественной изометрии 11-06-2019 16-47-11, получим изометрию 11-06-2019 16-47-23 по формуле 11-06-2019 16-47-43. Это замечание позволяет напрямую доказать изометрию . В самом деле, имеем 11-06-2019 16-48-29.

Пусть 11-06-2019 16-54-47 образует минимальное, замкнутое и тотальное подпространство. Тогда каноническое отображение 11-06-2019 16-55-04, заданное формулой 11-06-2019 16-55-24, является изоморфизмом банаховых пространств 11-06-2019 16-55-34 и 11-06-2019 16-55-47, а также в их слабых* топологиях  11-06-2019 16-57-47 соответственно [10, С. 246].

Поэтому отображение 11-06-2019 17-06-39 является также  изоморфизмом пространств в соответствующих топологиях.  Следовательно, имеем 11-06-2019 17-07-01 и отображение 11-06-2019 17-07-12ограничения функций на множество 11-06-2019 17-07-24 будет изоморфизмом. При этом пространство N* естественно отождествляется с пространством M, в котором  сходимость последовательности функций в слабой* топологии 11-06-2019 17-08-31 равносильна ее ограниченности и поточечной сходимости на множестве T.

Поскольку в силу теоремы Банаха-Штейнгауза [11, С. 283]  пространство N* секвенциально слабо* полно, то пространство M секвенциально полно в слабой* топологии 11-06-2019 17-08-31. Если последовательность 11-06-2019 17-17-15  сходится в слабой* топологии 11-06-2019 17-08-31, то ее поточечный предел 11-06-2019 17-17-31 удовлетворяет неравенству 11-06-2019 17-17-43 и принадлежит 11-06-2019 17-18-03. Поскольку образ единичного шара при каноническом отображении 11-06-2019 17-18-20 является всюду плотным в в слабой* топологии в единичном шаре F*[12, С. 320], то B плотно в слабой* топологии в единичном шаре N*. Если характеристика  11-06-2019 17-22-30, то множество  не может быть слабо* компактным и слабо* полным в топологии 11-06-2019 17-08-31.

Теорема 1

Для замкнутого подпространства 11-06-2019 17-33-14, у которого размерность 11-06-2019 17-33-23  и коразмерность 11-06-2019 17-33-40, следующие  условия эквивалентны:

  1. подпространство L является проксиминальным в пространстве E;
  2. множество 11-06-2019 17-34-14 является замкнутым в слабой топологии 11-06-2019 17-34-28 для всякого замкнутого и тотального  подпространства  11-06-2019 17-34-38;
  3. множество 11-06-2019 17-34-14 является полным в слабой топологии 11-06-2019 17-34-28 для всякого  минимального, замкнутого и тотального подпространства 11-06-2019 17-34-38;
  4. множество 11-06-2019 17-34-14 является компактным в слабой топологии 11-06-2019 17-34-28 для всякого минимального, замкнутого и тотального подпространства 11-06-2019 17-34-38;                            
  5. если функционал 11-06-2019 17-47-03 и последовательность функций 12-06-2019 13-45-50 ,12-06-2019 13-46-16 и для любого минимального, замкнутого и тотального подпространства 11-06-2019 17-34-38.

Здесь 12-06-2019 10-38-57 обозначает экстремальное множество, т.е. множество элементов, в которых функционал  достигает своей нормы.

Доказательство. Покажем, что из условия a) следует b). Так как множество B является выпуклым, то его замкнутость в слабой топологии пространства 11-06-2019 17-34-28 вытекает из замкнутости в топологии пространства M, а поскольку по лемме 2 индуцированная норма из 11-06-2019 17-34-28 эквивалентна норме M, то достаточно доказать замкнутость множества B в пространстве M.  Допустим, что 12-06-2019 10-46-23 замыкание 12-06-2019 10-46-44 берется в пространстве M. Тогда по лемме 2 получим 12-06-2019 10-47-32 и не существует элемента 12-06-2019 10-47-47. Так как в силу тотальности F равенство 12-06-2019 10-49-25 равносильно включению 12-06-2019 10-49-38, то для всякого 12-06-2019 10-49-53 получим 12-06-2019 10-50-15. Следовательно,  12-06-2019 10-51-01, т.е. множество 12-06-2019 10-51-09пусто, что противоречит условию a).

Покажем, что из условия b) следует a). Из слабой замкнутости множества B в пространстве 11-06-2019 17-34-28 следует его замкнутость в пространстве 11-06-2019 17-34-28, а поскольку по лемме 2 индуцированная норма из 11-06-2019 17-34-28 эквивалентна норме в M, то множество B является замкнутым в пространстве M. Пусть 12-06-2019 11-10-34. Применяя по лемму 2 и замкнутость множества B в пространстве M, мы имеем включение 12-06-2019 11-10-45. Следовательно, существует такой 12-06-2019 11-11-07, что 12-06-2019 11-11-20. Поэтому в силу тотальности подпространства 12-06-2019 11-11-31 имеет место включение 12-06-2019 11-11-41. Отсюда следует, что 12-06-2019 11-11-54. Таким образом, подпространство является проксиминальным.

Покажем, что условие b) равносильно каждому из условий c) и d). Так как пространство 12-06-2019 11-26-30 сепарабельно и норма M эквивалентна индуцированной норме из 11-06-2019 17-34-28, то сопряженное пространство M* будет замкнутой линейной оболочкой последовательности непрерывных функционалов 12-06-2019 11-31-04 из пространства 12-06-2019 11-31-22. Следовательно, для доказательства слабой компактности множества  12-06-2019 11-31-33  достаточно показать, что любая последовательность 12-06-2019 11-31-45 содержит такую подпоследовательность 12-06-2019 11-32-00, для которой последовательность чисел 12-06-2019 11-32-12 сходится при всех 12-06-2019 11-32-26.

Для доказательства этого утверждения применяем диагональный метод Кантера. Сначала из последовательности чисел 12-06-2019 11-41-26 выбираем сходящуюся подпоследовательность 12-06-2019 11-41-38. Затем из последовательности чисел 12-06-2019 11-41-54  выбираем сходящуюся подпоследовательность  12-06-2019 11-42-10, и так далее продолжаем по индукции. В результате этого образуется бесконечная таблица функций 12-06-2019 11-42-23, из которой мы выбираем диагональные элементы 12-06-2019 11-42-35. Тогда последовательность 12-06-2019 11-42-47 сходится при всех 12-06-2019 11-32-26.

Применяя критерий слабой сходимости в пространстве M, мы получим, что существует предел 12-06-2019 11-57-28. В частности, существует предел 12-06-2019 11-57-46. Так как по теореме Банаха-Штейнгауза [11, С. 283]  пространство N* секвенциально слабо* полно, то пространство M секвенциально полно в слабой* топологии 12-06-2019 11-58-29, а – поэтому функция 12-06-2019 11-58-39.  В силу условия слабой замкнутости множества B в пространстве 11-06-2019 17-34-28  получим 12-06-2019 11-59-59. Таким образом, из условия b) вытекает каждое из условий c) и d).

Обратно, если выполняется c) или d), то из слабой полноты множества B в пространстве 11-06-2019 17-34-28 или из слабой компактности B в пространстве 11-06-2019 17-34-28 вытекает слабая замкнутость множества в пространстве 11-06-2019 17-34-28, т.е. имеет место b).

Покажем, что из условия b) следует e). Предположим, что существует такая  последовательность 12-06-2019 12-07-29, что 12-06-2019 12-07-45, но функционал 12-06-2019 12-07-56, удовлетворяет неравенству 12-06-2019 12-08-21. Применяя свойство d), мы можем выбрать такую подпоследовательность 12-06-2019 12-10-00 при всех 12-06-2019 12-10-13 и 12-06-2019 12-10-40. Докажем, что 12-06-2019 12-10-48.

Пусть 12-06-2019 12-18-02. Тогда, если 12-06-2019 12-18-13, то выполняется строгое неравенство 12-06-2019 12-18-25, поскольку

12-06-2019 12-18-43.

Пусть 12-06-2019 12-24-09. Тогда, если 12-06-2019 12-24-20, то также выполняется строгое неравенство 12-06-2019 12-24-35, поскольку 12-06-2019 12-24-49.

Следовательно, мы имеем 12-06-2019 12-10-48. Таким образом, получили противоречие.

Покажем, что из e) следует b). Пусть 12-06-2019 12-29-59 12-06-2019 12-29-49, тогда  и существует  последовательность12-06-2019 12-30-15, т.ч. 12-06-2019 12-30-34. По теореме Хана-Банаха [11, С. 232] существует 12-06-2019 12-30-54. Тогда по лемме 1 можно считать, что  12-06-2019 12-31-09, и значит 12-06-2019 12-31-31.

Так как 12-06-2019 12-40-05  и  являются выпуклыми, непересекающимися и слабо* компактными подмножествами множества B, то выпуклая оболочка 12-06-2019 12-40-33 является слабо* компактным подмножеством B [9, С. 104]. Поэтому для доказательства условия b) достаточно показать, что 12-06-2019 12-40-59. Предположим, что это включение не выполняется, т.е. 12-06-2019 12-41-10.

По теореме отделимости существует такой  12-06-2019 12-45-19 . Применяя конструкцию доказательстве леммы 1, можно считать, что  12-06-2019 12-45-28. Тогда имеем 12-06-2019 12-45-55, что невозможно по условию, и мы получили противоречие.

Теорема 2

Пусть аннулятор 12-06-2019 12-51-10  чебышевского подпространства 12-06-2019 12-51-18 бесконечной размерности в пространстве непрерывных функций на связном хаусдорфовом компактном множестве T  содержит минимальное, замкнутое и тотальное подпространство 12-06-2019 12-51-51. Тогда 12-06-2019 12-52-03, размерность 12-06-2019 12-52-17 и подпространство L образует гиперплоскость 12-06-2019 12-52-43, для которой 12-06-2019 12-52-54 является строго положительным функционалом.

Доказательство. Так как 12-06-2019 12-51-18 является чебышевским подпространством, то существует такая функция 12-06-2019 13-04-36, что  при всех . В силу теоремы Хана-Банаха [11, С. 232] найдется функционал 12-06-2019 13-04-49. При помощи леммы 1 мы можем считать, что 12-06-2019 13-04-57.

Поскольку факторпространство 12-06-2019 13-07-57  изоморфно сопряженному пространству 12-06-2019 13-08-10 и аннулятор  изометрически изоморфен 12-06-2019 13-08-33 сопряженному пространству, то экстремальное множество 12-06-2019 13-09-09 функционала α будет выпуклым и слабо* компактным множеством в пространстве 12-06-2019 13-09-56. По теореме Крейна-Мильмана [8, С. 477] существует крайняя точка 12-06-2019 13-10-06 в множестве 12-06-2019 13-09-09. Тогда 12-06-2019 13-10-18 является крайним подмножеством границы единичного шара 12-06-2019 13-10-30 [2, С. 903], а поскольку подпространство 12-06-2019 13-10-46 является чебышевским, то это множество состоит из одной точки, которая будет крайней точкой границы шара S. В силу связности компакта  существуют только две крайние точки 12-06-2019 13-11-47 на границе шара S и по построению 12-06-2019 13-11-58. Поэтому можно считать функцию 12-06-2019 13-12-10 крайней точкой границы шара S.

По теореме Рисса-Маркова существует -аддитивная борелевская мера μ на компакте T, т.ч. 12-06-2019 13-19-45 при всех 12-06-2019 13-19-56 [8, С. 288]. Так как 12-06-2019 13-20-08, то мера μ неотрицательна. Докажем, что 12-06-2019 13-23-53. Предположим, что некоторый  элемент 12-06-2019 13-23-35 не принадлежит L. Поскольку подпространство L является проксиминальным, то, вычитая из φ элемент наилучшего приближения подпространством L, можно считать, что 12-06-2019 13-23-01. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, как и выше, мы получим, что 12-06-2019 13-23-20. Это противоречит условию 12-06-2019 13-21-40. Таким образом, 12-06-2019 13-21-31.

Если 12-06-2019 13-35-13, где функция 12-06-2019 13-35-26 и не равна нулю, то 12-06-2019 13-35-40, что противоречит единственности наилучшего приближения [12, С. 649]. Таким образом, функционал 12-06-2019 13-35-51 является строго положительным.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Cписок литературы / References

  1. Singer I. On best approximation in normed linear spaces by elements of subspaces of finite codimension / I. Singer // Rev. Roum. Math. Pures Appl.    17.  №8.  P. 1245-1256.
  2. Godini G. Characterizations of proximinal subspaces in normed linear spaces / G. Godini // Rev. Roum. Math. Pures Appl.  18.  №6.  P. 901-906.
  3. Indumathi V. Proximinal subspaces of finite codimension in general normed linear spaces / V. Indumathi // London Math. Soc. 1982.  45.  №3.  P. 435-455.
  4. Гаркави А. Л. О наилучшем приближении элементами бесконечномерных подпространств одного класса / А. Л. Гаркави // Мат. сборник.     62.  №1 (104).  С. 104-120.
  5. Гаркави А. Л. Аппроксимативные свойства подпространств конечного дефекта в пространстве непрерывных функций / А. Л. Гаркави // Доклады АН СССР.    155.  С. 513-516.
  6. Гаркави А. Л. Задача Хелли и наилучшее приближение в пространстве непрерывных функций. / А. Л. Гаркави // Известия АН СССР, сер. мат. 31. №3.  С. 641-656.
  7. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин // Москва: МИР, 1975. 445с.
  8. Данфорд Н. Линейные операторы. Часть 1: Общая теория. / Н. Данфорд, Дж. Шварц // Москва: ИЛ, 1962.
  9. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки // Москва: ИЛ,   411 с.
  10. Goldberg S. On Dixmiers Theorems Concerning Conjugate Spaces / S. Goldberg // Math. Annelan    147.  P. 244-247.
  11. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов // Москва: Наука, 1984.  752 с.
  12. Singer I. On a theorem of J. D. Weston / I. Singer // Jour. London Math. Soc.  34.  P. 320-324.
  13. Phelps R. Cebysev subspace of finite codimension in / R. Phelps // Jour. Math.  1963.  13.  №2.  P. 647-655.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Singer I. On best approximation in normed linear spaces by elements of subspaces of finite codimension / I. Singer // Rev. Roum. Math. Pures Appl.    17.  №8.  P. 1245-1256 [in English].
  2. Godini G. Characterizations of proximinal subspaces in normed linear spaces / G. Godini // Rev. Roum. Math. Pures Appl.   18.  №6.  P. 901-906 [in English].
  3. Indumathi V. Proximinal subspaces of finite codimension in general normed linear spaces / V. Indumathi // London Math. Soc. 1982.  45.  №3.  P. 435-455 [in English].
  4. Garkavi A. L. O nailuchshem priblizhenii elementami beskonechnomernykh podprostranstv odnogo klassa [On the best approximation by elements of infinite dimensional subspaces of one class] / A. L. Garkavi // sbornik. [Mat. Compilation]. 1963.   62.  №1 (104).  P. 104-120 [in Russian].
  5. Garkavi A. L. Approksimativnyye svoystva podprostranstv konechnogo defekta v prostranstve nepreryvnykh funktsiy [Approximation properties of subspaces of a finite defect in the space of continuous functions] / A. L. Garkavi // Doklady AN SSSR [Reports of the USSR Acad. of Scienc.]. – 1964. P. 513-516 [in Russian].
  6. Garkavi A. L. Zadacha Khelli i nailuchsheye priblizheniye v prostranstve nepreryvnykh funktsiy [Helly’s problem and the best approximation in space continuous functions] / A. L. Garkavi // Izvestiya AN SSSR, ser. mat. [Proceedings of the Acad. of Scienc.  USSR, ser. math.] – 1967.    №3.  P. 641-656 [in Russian].
  7. Rudin U. Funktsional’nyy analiz [Rudin W. Functional analysis] / U. Rudin // Moskva: MIR [Moscow: MIR], 1975. – 445 p. [in Russian].
  8. Danford N. Lineynyye operatory. Chast’ 1: Obshchaya teoriya [Dunford N., Schwartz J. Linear Operators. Part 1: General theory] / N. Danford, Dzh. Shvarts // Moskva: IL [Moscow: IL]. – 896 p. [in Russian].
  9. Burbaki N. Topologicheskiye vektornyye prostranstva [Bourbaki N. Topological vector spaces] / N. Burbaki // Moskva: IL [Moscow: IL], 1959. – 411 p. [in Russian].
  10. Goldberg S. On Dixmiers Theorems Concerning Conjugate Spaces / S. Goldberg // Math. Annelan    147.  P. 244-247. [in English].
  11. Kantorovich L. V. Funktsional’nyy analiz [Functional Analysis] / L. V. Kantorovich, G. P. Akilov // Moskva: Nauka [Moscow: Science], 1984. – 752 p. [in Russian].
  12. Singer I. On a theorem of J. D. Weston / I. Singer // Jour. London Math. Soc. 34.  P. 320-324 [in English].
  13. Phelps R. Cebysev subspace of finite codimension in / R. Phelps // Jour. Math.  1963.  13.  №2.  P. 647-655 [in English].

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.