Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.103.2.001

Download PDF ( ) Pages: 6-12 Issue: № 2 (104) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Kalnitsky V.S., "ALTERNATIVES TO THE EGOROV’S AND KOBAYASHI’S THEOREMS ON COMPLETE AFFINE CONNECTIONS". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 2 (104) Part 1, (2021): 6. Wed. 17. Mar. 2021.
Kalnitsky, V.S. (2021). ANALOGI TEOREM EGOROVA I KOBAYASI O POLNYH AFFINNYH SVYAZNOSTYAH [ALTERNATIVES TO THE EGOROV’S AND KOBAYASHI’S THEOREMS ON COMPLETE AFFINE CONNECTIONS]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 2 (104) Part 1, 6-12. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2021.103.2.001
Kalnitsky V. S. ALTERNATIVES TO THE EGOROV’S AND KOBAYASHI’S THEOREMS ON COMPLETE AFFINE CONNECTIONS / V. S. Kalnitsky // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2021. — № 2 (104) Part 1. — С. 6—12. doi: 10.23670/IRJ.2021.103.2.001

Import


ALTERNATIVES TO THE EGOROV’S AND KOBAYASHI’S THEOREMS ON COMPLETE AFFINE CONNECTIONS

АНАЛОГИ ТЕОРЕМ ЕГОРОВА И КОБАЯСИ О ПОЛНЫХ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЯХ

Научная статья

Кальницкий В.С.*

ORCID: 0000-0002-3937-6078,

Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

* Корреспондирующий автор (st006987[at]spbu.ru)

Аннотация

В статье подводится итог исследований автора по вопросу полноты геодезических потоков аффинных связностей и их симметрий. Целью исследования является поиск и описание линейных пространств полных полей на касательном расслоении. В статье доказаны три новых результата. Полученные теоремы являются аналогами теоремы Кобаяси о полной аффинной связности. Рассмотрены метрическая (теорема 7) и аффинная (теорема 8) ситуации. Доказан аналог теорем Егорова о лакунарности в размерностях полных многообразий. Доказана оценка границы размерности пространств полных полей единичного ранга, влекущей полноту самой связности (теорема 10). Предложена схема получения аналогичных оценок границы размерности пространства полных полей старших рангов. Намечены пути дальнейшего исследования. Полученные результаты могут быть использованы при классификации аффинных связностей, допускающих обширные алгебры симметрий геодезического потока.

Ключевые слова: аффинная связность, геодезический поток, симметрия связности, полное векторное поле.

ALTERNATIVES TO THE EGOROV’S AND KOBAYASHI’S THEOREMS ON COMPLETE
AFFINE CONNECTIONS

Research article

Kalnitsky V.S.*

ORCID: 0000-0002-3937-6078,

Saint Petersburg State University, Saint Petersburg, Russia

* Corresponding author (st006987[at]spbu.ru)

Abstract

The article concludes the research of completeness of the symmetry and geodesic flow of affine connections. The study aims to find and describe linear spaces over complete fields on the tangent bundle. The article verifies 3 new results. The developed theorems are alternatives to the Kobayashi’s theorem on complete affine connections. The study examines a metric situation (theorem 7) and an affine situation (theorem 8). The article verifies an alternative to the Egorov’s lacunarity in complete manifold dimensions. The paper verifies the evaluation of dimension borders of the first-order complete field which allows completeness of the connection itself (theorem 10). The article suggests a scheme of obtaining an alternative evaluation of higher order complete field dimension borders. The study sets up the ways of further research. The results could be used to classify the affine connections that accept extensive symmetry algebras of the geodesic flow.

Keywords: affine connection, geodesic flow, symmetric connection, complete vector field.

Основные определения и обозначения

В этой работе многообразия и тензорные поля на них мы будем считать бесконечно дифференцируемыми. Мы будем придерживаться терминологии принятой в [1], упомянутые в этом разделе факты можно найти там же. Пространство тензорных полей типа (k,s) (k раз контравариантных, s раз ковариантных) на многообразии M мы будем обозначать 15-03-2021 10-20-06  символом  15-03-2021 10-20-17– алгебру 15-03-2021 10-20-31-гладких функций на M.

Рассмотрим многообразие М и векторное поле  15-03-2021 10-23-45 Для каждой точки 15-03-2021 10-23-55 существует окрестность 15-03-2021 10-24-12 такие, что для каждой точки 15-03-2021 10-24-20 интегральная кривая 15-03-2021 10-24-45 определена на интервале15-03-2021 10-24-55. Таким образом, для любого 15-03-2021 10-25-33 определено отображение 15-03-2021 10-25-41 Совокупность всех таких локальных диффеоморфизмов, определяемых полем X, называется локальным потоком 15-03-2021 10-25-50 векторного поля X.

Векторное поле X называется полным, если каждая интегральная кривая этого поля определена на всей вещественной оси. Полное векторное поле X определяет однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия 15-03-2021 10-32-49 называемую потоком поля.

Каждое векторное поле X задает отображение 15-03-2021 10-33-28 по формуле  Отображение X является дифференцированием алгебры 15-03-2021 10-33-38 т.е. оно линейно и для любых функций 15-03-2021 10-33-51 выполнено правило Лейбница 15-03-2021 10-34-00 Верно и обратное, каждое дифференцирование алгебры 15-03-2021 10-33-38 имеет вид  причем поле единственно.

Скобкой Ли двух векторных полей X, Y  называется поле 15-03-2021 10-43-06 Относительно введенной операции пространство 15-03-2021 10-43-17 всех векторных полей на M является алгеброй Ли.

Каждый диффеоморфизм многообразия 15-03-2021 10-43-31 задает отображение 15-03-2021 10-43-44 по формуле, записанной в карте   15-03-2021 10-43-56 Операция 15-03-2021 10-44-02 называется переносом.

Для векторного поля 15-03-2021 10-44-11 и тензорного поля 15-03-2021 10-44-31 определяется производная Ли поля A по полю X

15-03-2021 10-52-24

Для векторных полей верно соотношение 15-03-2021 10-52-33

Перенос векторного поля имеет вид 15-03-2021 10-52-54 – дифференциал отображения φ.  Поля 15-03-2021 10-53-25 называются j-связанными ([3], т. I). Если поля X и Y являются φ-связанными, то они полны либо неполны одновременно.

15-03-2021 10-56-24

Кручением аффинной связности называется тензор 15-03-2021 16-48-09  задаваемый соотношением: 15-03-2021 16-48-21 Аффинная связность с нулевым кручением называется симметричной. Тензор К определяемый соотношением 15-03-2021 16-48-31 называется тензором кривизны связности.

Для векторного поля 15-03-2021 16-48-43 отображение 15-03-2021 16-48-48 называется ковариантной производной по полю Х. Для координатного векторного поля 15-03-2021 16-48-59 отображение  15-03-2021 16-49-06 называется частной ковариантной производной  Объект 15-03-2021 16-49-18 имеющий в карте 15-03-2021 16-49-25 координаты 15-03-2021 16-49-32 называется формой связности, его координаты – символами Кристоффеля.

Симметричная аффинная связность на римановом многообразии  называется связностью Леви-Чивиты если для всех наборов индексов выполнено 15-03-2021 16-49-42

На касательном расслоении TM риманова многообразия 15-03-2021 16-59-15  определена метрика Сасаки 15-03-2021 16-59-21 удовлетворяющая следующим свойствам:

  1. Отображение 15-03-2021 16-59-32 является римановой субмерсией.
  2. Сужение на каждый 15-03-2021 16-59-21 касательный слой 15-03-2021 16-59-43 равно g

Геометрическая однородность

Рассмотрим многообразие M и его касательное расслоение TM. Стандартной картой на TM будем называть карту вида 17-03-2021 15-45-33 – карта многообразия M, n – размерность многообразия. Координаты точки 17-03-2021 15-46-10 в стандартной карте имеют вид 17-03-2021 15-46-26. Векторное поле на TM имеющее в стандартных картах вид 17-03-2021 15-48-12 (здесь и далее мы будем придерживаться соглашения Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам), называется каноническим векторным полем.

Определение 1 ([7]). Векторное поле X на TM называется mоднородным, 17-03-2021 15-49-23. Пространство m-однородных полей будем обозначать 17-03-2021 15-49-36.

Рассмотрим на TM произвольное поле 17-03-2021 15-51-56 Вычислим коммутатор поля X с каноническим полем

17-03-2021 16-04-00

Условие однородности при 17-03-2021 15-59-40 приводит к тождествам

17-03-2021 15-59-47

которые означают однородность координатных функций по второй переменной. Итак, все m-однородные поля в стандартных  координатах 17-03-2021 15-59-59 на TM имеют вид

17-03-2021 16-00-15    (1)

где 17-03-2021 16-01-29. Так как тензоры 17-03-2021 16-01-36 суммируются с вектором v по всем нижним индексам (в инвариантной записи 17-03-2021 16-01-45 то поле Y определяется однозначно симметризацией этих полей по ковариантным индексам

17-03-2021 16-06-13

где суммирование производится по всем перестановкам σ ковариантных индексов. Мы будем рассматривать лишь симметричные по нижним (ковариантным) индексам тензорные поля 17-03-2021 16-07-28.

Введем обозначение для симметризованного по ковариантным индексам тензорного произведения двух полей 17-03-2021 16-07-50:  и для симметризованной свертки по индексам 17-03-2021 16-08-09

Определение 2. Рассмотрим тензор 17-03-2021 16-08-17. Тензорное поле 17-03-2021 16-08-23 называется симметризованной ковариантной производной.

Вторая группа слагаемых в формуле (1), соответствующая тензорному полю Q определяет векторное поле  на TM и называется вертикальным лифтом QV тензора Q. Далее однородные поля мы будем записывать как пару 17-03-2021 16-09-30.

При наличии аффинной связности существуют различные способы задать векторное поле TM на по тензору A.

Определение 3 ([8]). Полным лифтом 17-03-2021 16-13-51 тензорного поля А называется векторное поле на ТМ вида 17-03-2021 16-14-06 называется горизонтальным лифтом. Ковариантную валентность тензорного поля А будем называть рангом лифта.

Исходя из формулы (1), если на многообразии определена симметричная аффинная связность ∇, то пространство 17-03-2021 16-15-40раскладывается в прямую сумму пространств 17-03-2021 16-15-51 полных и вертикальных лифтов тензорных полей. При этом 17-03-2021 16-16-06

В этих обозначениях каноническое поле L может быть записано как 17-03-2021 16-21-01 – тождественный оператор.

Определение 4. Полный лифт 17-03-2021 16-23-03 поля E называется геодезическим полем 17-03-2021 16-23-10 аффинной связности ∇. Связность ∇ называется полной, если полным является поле 17-03-2021 16-23-10.

Определение 5. Поле  17-03-2021 16-24-06 называется (инфинитезимальная) симметрией геодезического поля, если  17-03-2021 16-24-13

Определение 6. Поле  17-03-2021 16-24-19 называется (инфинитезимальной) симметрией аффинной связности, если 17-03-2021 16-24-27

Обзор результатов

Совокупность всех полных векторных полей на многообразии, вообще говоря, не образует линейного пространства. В работе Пале ([2], стр. 99) построен пример двух полных полей, сумма которых не является полным полем. В силу этого обстоятельства стал актуальным вопрос об описании линейных пространств, состоящих из полных векторных полей.

Замечание. Все векторные поля на компактном (замкнутом) многообразии являются полными.

Теорема 1 (Пале [2], стр. 104). Если линейная оболочка некоторого набора полных полей на многообразии и их всевозможных скобок Ли конечномерна, то все поля в ней полны.

Автором в [9] было показано, что полный лифт 17-03-2021 16-30-05 тензорного поля 17-03-2021 16-30-18 удовлетворяющего уравнению

17-03-2021 16-30-26     (2)

где R – тензор кривизны связности, является симметрией геодезического поля 17-03-2021 16-23-10 такие поля будем называть поля Якоби ранга k. Более того, любая однородная симметрия поля 17-03-2021 16-23-10 является полем Якоби.

Скобка Ли двух симметрий 17-03-2021 16-23-10 является симметрией. Следовательно, на пространстве 17-03-2021 16-39-52 тензорных полей, удовлетворяющих уравнению (2), возникает структура бесконечномерной алгебры Ли, названной автором алгеброй Якоби связности [10].

В случае нулевого ранга полный лифт поля X имеет вид 17-03-2021 16-40-20 и уравнение (2) является уравнением Якоби. Поле X удовлетворяющее уравнению Якоби, является (инфинитезимальной) симметрией связности ∇ ([6]).

Теорема 2 (Кобаяси Ш., [6], стр. 46). Если аффинная (риманова) связность полна, то любая ее инфинитезимальная симметрия (изометрия) является полной.

В введённых нотациях теорема Кобаяси относится к рангу 0. Целью нашего исследования является доказательство теорем о полноте для симметрий более высокого ранга. Для ранга 1 автором была доказана следующая теорема.

Теорема 3 ([10], стр. 243). Если связность ∇ полна, то полные лифты всех ковариантно постоянных полей 17-03-2021 16-44-03 образуют алгебру Ли полных полей.

Из теоремы 3 непосредственно следует, что все симметрии геодезического поля, содержащиеся в описанной алгебре Ли, образуют её подалгебру Ли и полны.

В работе автора [11] удалось продвинуться в вопросе полноты для старших рангов.

Теорема 4 ([11], стр. 52). Рассмотрим тензорные поля 17-03-2021 16-45-07 Если связность полна, то полным является поле 17-03-2021 16-45-16 являющееся симметрией геодезического поля.

Основной результат. Метрический случай

Определение 7 ([12]). Симметричное тензорное поле 17-03-2021 17-01-34 ранга удовлетворяющее соотношению 17-03-2021 17-01-49 называется p-киллинговой формой.

Теорема 7. Рассмотрим замкнутое риманово многообразие 17-03-2021 17-02-00 и тензорное поле 17-03-2021 17-02-08 Если 17-03-2021 17-02-22 то поле 17-03-2021 17-02-29  является полным.

Отметим, что на замкнутом многообразии геодезическое поле связности Леви-Чивита является полным, так как его поток сохраняет длины векторов, т.е. сохраняет расслоение метрических шаров, являющееся компактом. Доказательство теоремы 7 основано на следующей лемме.

Лемма 1. На римановом многообразии 17-03-2021 17-02-00 поток полного лифта 17-03-2021 17-02-29 тензорного поля 17-03-2021 17-02-59 – p-киллингова форма, сохраняет расслоение метрических шаров риманового многообразия М.

Доказательство. Достаточно показать, что в каждой точке 17-03-2021 17-03-38 вектор поля 17-03-2021 17-02-29 ортогонален вектору 17-03-2021 17-03-58 в смысле метрики Сасаки на TM ([13]), сужение которой на каждый слой 17-03-2021 17-05-53 совпадает с g. Выберем в точке 17-03-2021 17-06-05  нормальную (экспоненциальную) карту многообразия M. В этой карте в точке x форма связности тривиальна 17-03-2021 17-06-37 и, следовательно, скалярное произведение на касательном слое относительно метрики Сасаки имеет единичную матрицу Грама, т.к. метрика Сасаки на слоях TM совпадает с метрикой. Вектор поля 17-03-2021 16-30-05 в точке 17-03-2021 17-07-16 имеет вид

17-03-2021 17-16-34

Скалярное произведение с вектором 17-03-2021 17-16-44 вычисляемое как обычное скалярное произведение в ортонормированном базисе 17-03-2021 17-16-56 (символ Кронекера), равно

17-03-2021 17-19-05

Таким образом, поле 17-03-2021 17-02-29 ортогонально в каждой точке каноническому векторному полю L на TM. С другой стороны, каноническое поле L ортогонально (2n-1)-мерному расслоению метрических шаров фиксированного радиуса в метрике Сасаки, рассматриваемому как подмногообразие TM. Действительно, поле L ортогонально (n-1)-мерной касательной плоскости метрического шара в касательном слое и n-мерному горизонтальному слою многообразия в данной точке. Последнее следует из того, что по определению метрики Сасаки проекция 17-03-2021 17-30-18 является римановой субмерсией. Следовательно, поле 17-03-2021 17-02-29 касается расслоения метрических шаров над  M.

Доказательство теоремы. С помощью метрики опустим верхний индекс поля  и убедимся, что получившееся тензорное поле θ является 17-03-2021 17-30-30 – киллинговой формой. Действительно, симметризация тождества

17-03-2021 17-43-59

запишется как 17-03-2021 17-42-46 по условию. Первое слагаемое в полученной сумме равно нулю по определению связности Леви-Чивита.

Далее, согласно лемме поток поля 17-03-2021 17-02-29 сохраняет расслоение шаров. Так как по условию теоремы риманово многообразие компактно, то расслоение шаров является замкнутым многообразием, и любое поле касательное к нему, в частности 17-03-2021 17-02-29 является полным.

Следствие. На замкнутом римановом многообразии полный лифт 17-03-2021 17-02-29 любого ковариантно постоянного тензорного поля17-03-2021 17-43-03  является полным векторным полем на TM. 

Основной результат. Аффинный случай

В работе автора [13] было доказано, что поднятие индекса p-киллингова поля определяет поле Якоби для любого 17-03-2021 17-47-39[15]), т.е. пространство pкиллинговых форм вкладывается в пространство полей Якоби ранга 17-03-2021 17-48-20 В следующей теореме будет показано, как возможно при отсутствии метрики вложить ковариантно постоянные формы ранга p в поля Якоби ранга 17-03-2021 17-47-47

Теорема 8. На многообразии с полной аффинной связностью каждая симметрия геодезического потока ранга 17-03-2021 17-48-32 имеющая вид  17-03-2021 17-48-42 является полной.

Разобьём доказательство на несколько шагов.

Лемма 2. Рассмотрим аффинное многообразие 17-03-2021 17-48-52 является p-киллинговой формой 17-03-2021 17-49-02 – поле Якоби ранга  тогда тензор 17-03-2021 17-49-12 является полем Якоби ранга17-03-2021 17-49-21

Доказательство. Полным лифтом p-формы на касательное расслоение называется функция 17-03-2021 17-49-36 Как было доказано в [14], форма θ является киллинговой, если ее полный лифт эквивариантен относительно геодезического потока на касательном расслоении 17-03-2021 17-49-45. По определению, поле A является полем Якоби если его полный лифт эквивариантен относительно геодезического потока 17-03-2021 17-50-18 Рассмотрим произведение полных лифтов 17-03-2021 17-50-26 и убедимся, что оно эквивариантно

17-03-2021 18-53-41

Вычислим полный лифт поля 17-03-2021 17-49-12

17-03-2021 18-53-54

Что и требовалось доказать.

Лемма 3. Рассмотрим аффинное многообразие 17-03-2021 18-54-24 – невырожденный как линейный оператор на касательном слое в некоторой точке М тогда поля 17-03-2021 18-54-39 являются полными или неполными одновременно.

Доказательство. Если ковариантно постоянный тензор как линейный оператор на касательном слое невырожден в какой-либо точке многообразия, то он невырожден всюду.  Полный лифт киллинговой формы 17-03-2021 18-56-07 является интегралом геодезического потока, так как 17-03-2021 18-55-59.  Следовательно, поле 17-03-2021 18-55-51 полное, т.к. вдоль каждой траектории векторное поле умножается на константу. Перенос полного поля с помощью произвольного диффеоморфизма многообразия даст полное поле. Перенесем поле 17-03-2021 18-55-51 с помощью диффеоморфизма, задаваемого послойным изоморфизмом17-03-2021 18-56-14

17-03-2021 18-56-21

Равенство 17-03-2021 18-56-32 доказано в [10] (теорема 5.1), в частности, для ковариантно постоянного поля A Осталось показать, что правая часть равенства является полным лифтом поля 17-03-2021 18-56-41 Действительно,

17-03-2021 19-03-47

Последнее верно, в силу ковариантной постоянности поля A и равенства

17-03-2021 19-03-53

Лемма 4. Рассмотрим аффинное многообразие 17-03-2021 19-05-14  – невырожденный оператор на касательных слоях, тогда поля  17-03-2021 19-05-24  являются полными или неполными одновременно.

Доказательство. Рассмотрим форму 17-03-2021 19-05-34. Это киллингова форма в силу того, что 17-03-2021 19-05-53 является полным одновременно с геодезическим полем.

Лемма 5. Рассмотрим аффинное многообразие 17-03-2021 19-06-02 Если геодезический поток полон, то поле 17-03-2021 19-06-10 является полным.

Доказательство. Согласно теореме 5.2. [10], в пространстве ковариантно постоянных полей ранга 1 можно выбрать базис из невырожденных полей 17-03-2021 19-06-37. По лемме 4 поля 17-03-2021 19-06-47 являются полными. Мы докажем, что лифты этих полей коммутируют, тогда, в силу теоремы 1, линейное пространство, ими порожденное, состоит из полных полей. Напомним ([10]), что если  17-03-2021 19-07-11  то скобка Ли лифтов лежит в 17-03-2021 19-07-24 и имеет вид

17-03-2021 19-07-39

где 17-03-2021 19-07-46 Рассматриваемые нами поля ковариантно постоянны как тензорные произведения ковариантно постоянных полей, и, значит, коммутируют.

Доказательство теоремы является прямым следствием предыдущих лемм.

Основной результат. Аналог теорем Егорова

В работах И.П. Егорова ([16], [17]) были классифицированы аффинные пространства с обширными группами симметрий и инфинитезимальных симметрий связности (ранга 0 в нашей терминологии). В частности, n-мерное аффинное пространство, для которого размерность r пространства симметрий связности равно 17-03-2021 19-18-44 – это евклидово пространство с полной канонической связностью. Пространств 17-03-2021 19-19-16  не бывает. Пространства 17-03-2021 19-19-26 описаны Егоровым явно – это пространства с полной связностью. И, наконец, не бывает пространств с 17-03-2021 19-19-39.

Как следствие прямого описания, результаты Егорова могут быть сформулированы в виде общей теоремы о полноте.

Теорема 9 (Егоров И.П.). Если n-мерное пространство аффинной связности допускает пространство полных симметрий ранга 0 размерности 17-03-2021 19-20-01 то связность полна.

Мы докажем аналогичный результат для ранга 1.

Теорема 10. Если аффинная связность на n-мерном многообразии 17-03-2021 19-27-22  допускает пространство V полных ковариантно постоянных полей ранга 1 размерности 17-03-2021 19-27-34 то связность полна.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку многообразия. Так как ковариантные поля ранга 1 полностью определяются своими значениями в произвольной точке многообразия, то в каждой точке среди полей, составляющих пространство V можно выбрать линейно независимый набор. Если 17-03-2021 19-27-34 то в этом наборе существует поле, для которого матрица порождаемого им линейного оператора на слое невырождена в данной точке, а следовательно, не вырождена всюду. В силу леммы 3 17-03-2021 19-27-47 связность полна.

Заключение

В случае старших рангов грубую оценку границы размерности пространства полных полей, достаточной для полноты связности, можно получить из следующим образом. Обозначим через s,t размерности пространств ковариантно постоянных аффиноров и полей Киллинга ранга p-1. Выбрав базис из невырожденных аффиноров и тензорно перемножив их с киллинговыми полями, мы получим набор из  s t-мерных линейных подпространств в пространстве ковариантно постоянных тензорных полей, что дает верхнюю оценку на размерность подпространства, не пересекающегося с этой конфигурацией. Если пересечение имеет место, то в силу леммы 4, связность полна. Ясно, что чем шире пространство киллинговых полей, тем эффективнее оценка.

Аналоги теоремы Егорова для больших рангов также могут быть получены с помощью явного описания пространств с обширными пространствами симметрий. Автором в [18] был предложен метод классификации алгебр симметрий на плоских и однородных аффинных пространствах. Полученные результаты выходят за рамки данной статьи.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Постников М.М. Лекции по геометрии. Гладкие многообразия / М.М. Постников. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. – 1987. – 480 с.
  2. Palais R. A global formulation of the Lie theory of transformation groups / R. Palais // Mem. Amer. Math. Soc. – 1957. – V. 22. – 123 p.
  3. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Т. I. – М.: Наука. – 1981. – 347 c.
  4. Шевалле К. Теория групп Ли / К. Шевалле, Т. I. – М.: ИЛ, 1948.
  5. Постников М.М. Лекции по геометрии. Группы и алгебры Ли / М.М. Постников. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. – 1982. – 447 с.
  6. Kobayashi S., Transformation Groups in Differential Geometry / S. Kobayashi. – Springer-Verlag, New York. – 1972. – 190 P.
  7. Kawski M. Geometric homogeneity and applications to stabilization / M. Kawski // Proc. IFAC Symp. NCSD. – 1995. – P. 147-152.
  8. Crampin M. Applicable differential geometry / M. Crampin, F. A. E. Pirani // London Mathematical Society Lecture Notes Series 59. – Cambridge University Press. – 1986. –394 P.
  9. Кальницкий В.С. Автоморфизмы геодезического векторного поля / В.С. Кальницкий // Вестник СПбГУ, сер.1. – 1995. – Вып. 2, №8. – С. 23-24.
  10. Кальницкий В.С. Алгебра обобщенных полей Якоби / В.С. Кальницкий // Зап. науч. сем. ПОМИ, “Исследования по топологии”, 8. – 1995. – т. 231. – C. 222-243.
  11. Кальницкий В.С. Полнота нильпотентных полей / В.С. Кальницкий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. – 2005. – т. 36.– С. 50-53.
  12. Степанов С.Е. Об одном применении теоремы Стокса в глобальной римановой геометрии / С.Е. Степанов // Фунд. и прикл. мат. Т.8. – 2002. – №1. – C. 245-262.
  13. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundle of Riemannian manifolds / S. Sasaki // Tôhoku Math. J. — 1958. — Vol. 10. — P. 338–354.
  14. Kalnitsky V.S. Spray algebra / V.S. Kalnitsky // Proc. Math. Inst. NAS Ukr. – 2004. – V. 50, Part III. – P. 1356-1360.
  15. Ashtekar A. A technique for analyzing the structure of isometries / A. Ashtekar, F. Magnon-Ashtekar // J. Math. Phys. – 1977. –V. 19. – P. 1567-1572.
  16. Егоров И.П. О порядке групп движений пространств аффинной связности / И.П. Егоров // ДАН СССР. – 1947. – том 57. – № 9. – C. 867-870.
  17. Егоров И.П. Эквиаффинные пространства третьей лакунарности / И.П. Егоров // ДАН СССР. – 1956. – Т. 103. – №1. – C. 151-152.
  18. Кальницкий В.С. Полиномиальные симметрии плоских и однородных связностей / В.С. Кальницкий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. – 2004. – Т. 35.– С. 55-62.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Postnikov M.M. Lekcii po geometrii. Gladkie mnogoobrazija. [Lectures on Geometry. Smooth Manifolds.] / M.M. Postnikov. – M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit. – 1987. – p. 480 [in Russian]
  2. Palais R. A global formulation of the Lie theory of transformation groups / R. Palais // Mem. Amer. Math. Soc. – 1957. – V. 22. – 123 p.
  3. Kobayashi Sh. Osnovy differencial’nojj geometrii [Fundamentals of Differential Geometry, Vol. I] / Sh. Kobayashi , K.Nomizu . – M.: Nauka. – 1981. – p. 347 [in Russian]
  4. Shevalle K. Teorija grupp Li [Theory of Lie Groups, T. I] / K. Shevalle. – M.: IL, 1948. [in Russian]
  5. Postnikov M.M. Lekcii po geometrii. Gruppy i algebry Li. [Lectures on Geometry. Lie Groups and Algebras.] / M.M. Postnikov – M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit. – 1982. – p. 447 [in Russian]
  6. Kobayashi S., Transformation Groups in Differential Geometry / S. Kobayashi. – Springer-Verlag, New York. – 1972. – 190 P.
  7. Kawski M. Geometric homogeneity and applications to stabilization / M. Kawski // Proc. IFAC Symp. NCSD. – 1995. – P. 147-152.
  8. Crampin M. Applicable differential geometry / M. Crampin, F. A. E. Pirani // London Mathematical Society Lecture Notes Series 59. – Cambridge University Press. – 1986. –394 P.
  9. Kal’nickijj V.S. Avtomorfizmy geodezicheskogo vektornogo polja [Automorphisms of a Geodesic Vector Field] / V.S. Kal’nickijj // Vestnik SPbGU [Bulletin of St. Petersburg State University], ser.1. – 1995. – Vol. 2, No.8. – p. 23-24. [in Russian]
  10. Kal’nickijj V.S. Algebra obobshhennykh polejj Jakobi [Algebra of Generalized Jacobi Fields] / V.S. Kal’nickijj // Zap. nauch. sem. POMI, “Issledovanija po topologii” [Notes of Scientific Seminars of PDMI, “Research on Topology”], 8. – 1995. – Vol. 231. – pp. 222-243. [in Russian]
  11. Kal’nickijj V.S. Polnota nil’potentnykh polejj [Completeness of Nilpotent Fields] / V.S. Kal’nickijj // Differencial’naja geometrija mnogoobrazijj figur [Differential Geometry of Manifolds of Figures]. – 2005. – Vol. 36.– pp. 50-53. [in Russian]
  12. Stepanov S.E. Ob odnom primenenii teoremy Stoksa v global’nojj rimanovojj geometrii [On One Application of the Stokes Theorem in Global Riemannian Geometry] / S.E. Stepanov // Fund. i prikl. mat. [Fundamental and Applied Mathematics] Vol.8. – 2002. – No.1. – pp. 245-262. [in Russian]
  13. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundle of Riemannian manifolds / S. Sasaki // Tôhoku Math. J. — 1958. — Vol. 10. — P. 338–354.
  14. Kalnitsky V.S. Spray algebra / V.S. Kalnitsky // Proc. Math. Inst. NAS Ukr. – 2004. – V. 50, Part III. – P. 1356-1360.
  15. Ashtekar A. A technique for analyzing the structure of isometries / A. Ashtekar, F. Magnon-Ashtekar // J. Math. Phys. – 1977. –V. 19. – P. 1567-1572.
  16. Egorov I.P. O porjadke grupp dvizhenijj prostranstv affinnojj svjaznosti [On the Order of Groups of Movements of Spaces of Affine Connectivity] / I.P. Egorov // DAN SSSR [Proc. USSR Acad. Sci.]. – 1947. – Vol. 57. – No. 9. – pp. 867-870. [in Russian]
  17. Egorov I.P. Ehkviaffinnye prostranstva tret’ejj lakunarnosti [Equiaffine Spaces of the Third Lacunarity] / I.P. Egorov // DAN SSSR [Proc. USSR Acad. Sci.]. – 1956. – Vol. 103. – No.1. – pp. 151-152. [in Russian]
  18. Kal’nickijj V.S. Polinomial’nye simmetrii ploskikh i odnorodnykh svjaznostejj [Polynomial Symmetries of Plane and Homogeneous Connections] / V.S. Kal’nickijj // Differencial’naja geometrija mnogoobrazijj figur [Differential Geometry of Manifolds of Figures]. – 2004. – Vol. 35.– pp. 55-62. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.