Pages Navigation Menu
Submit scientific paper, scientific publications, International Research Journal | Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.90.12.002

Download PDF ( ) Pages: 6-12 Issue: № 12 (90) Part 1 () Search in Google Scholar
Cite

Cite


Copy the reference manually or choose one of the links to import the data to Bibliography manager
Alybaev K.S. et al. "ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS". Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal (International Research Journal) № 12 (90) Part 1, (2020): 6. Thu. 09. Jan. 2020.
Alybaev, K.S. & Narymbetov, T.K. (2020). ANALITICHESKIE FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO S PARAMETRAMI [ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS]. Meždunarodnyj naučno-issledovatel’skij žurnal, № 12 (90) Part 1, 6-12. http://dx.doi.org/10.23670/IRJ.2019.90.12.002
Alybaev K. S. ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS / K. S. Alybaev, T. K. Narymbetov // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. — 2020. — № 12 (90) Part 1. — С. 6—12. doi: 10.23670/IRJ.2019.90.12.002

Import


ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРАМИ

Научная статья

Алыбаев К.С.1, *, Нарымбетов Т.К.2

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1, 2 Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Киргизская Республика

* Корреспондирующий автор (alybaevkurmanbek[at]rambler.ru)

Аннотация

В данной работе рассматриваются аналитические  функции комплексного переменного с малыми параметрами порождаемые некоторыми операторами. Исследуется асимптотическое поведение функции, по малому параметру. Задача решена с использованиям линии уровня гармонических функции. Область аналитичности функции разделяется некоторыми линиями на части и в некоторых частях пределы (по малому параметру) существуют, а в других бесконечны или не существуют.

Ключевые слова: Аналитические функции; отображения пространств; линии уровня; параметры; пути интегрирования.

ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS

Research article

Alybaev K.S.1, *, Narymbetov T.K.2

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1, 2 Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyz Republic

* Corresponding author (alybaevkurmanbek[at]rambler.ru)

Abstract

In this paper, we consider the analytic functions of a complex variable with small parameters generated by some operators. We study the asymptotic behavior of a function with respect to a small parameter. The problem is solved using line-level harmonic functions. The analytic domain of the function is divided by some lines into parts, and in some parts the limits (by a small parameter) exist, but in others they are infinite or do not exist.

Keywords: analytical functions; display spaces; level lines; options; integration paths. 

Введение

Теория функций комплексного переменного имеют многочисленные приложения для решения задач гидро-аэродинамики, теории упругости, электростатистики, магнитных и тепловых полей и т.д.  Следовательно развитие теории функций комплексного переменного для разработки новых методов решения различных математических и практических задач является актуальной. 

Обозначения и вспомогательные понятия

  • 07-01-2020 13-32-21 – соответственно множество натуральных, действительных и комплексных чисел;
  • 07-01-2020 13-32-34 – комплексная переменная, где 07-01-2020 13-32-51 – действительные переменные; 07-01-2020 13-33-02;
  • ε – малый положительный вещественный параметр, если функция зависит от ε“по ε” будет обозначать 07-01-2020 13-34-16;
  • 07-01-2020 13-34-28 – комплекснозначная функция комплексной переменной, где 07-01-2020 13-35-13 вещетвеннозначные функции двух вещественных переменных;
  • 07-01-2020 13-35-25 – односвязная область в том смысле, что две любые ее точки можно соединить спрямляемой кривой;
  • 07-01-2020 13-35-33 – пространство аналитических комплекснозначных функций в D;
  • 07-01-2020 13-35-51– пространство аналитических комплекснозначных функций в D с параметром ε;
  • Множество 07-01-2020 14-04-04 называется линией уровня функции 07-01-2020 14-04-14 в области D;
  • 07-01-2020 14-04-39 – означает:  для любого t из D функция a(t) обладает свойством P:

Постановка задачи

Рассмотрим пространство 07-01-2020 14-08-48

Определение 1. Если  для любого 07-01-2020 14-08-57 найдется 07-01-2020 14-09-06 такое, что при 07-01-2020 14-09-14 (или на кривой p)  имеет место неравенство

07-01-2020 14-10-21

то будем говорить, что 07-01-2020 14-09-33 стремится при  07-01-2020 14-09-43 к функции 07-01-2020 14-09-52 равномерно относительно t в области D  (или на кривой c).

Далее согласно принятого определения исследуем задачу 07-01-2020 14-17-34  В частности к таким задачам сводятся исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных  уравнений или систем в комплексных областях.

Решение поставленной задачи для произвольной функции комплексной переменной практически является неразришимой. Ограничимся рассмотрением некоторых аналитических функций комплексного переменного.

Пусть заданы пространства 07-01-2020 14-17-46  и оператор 07-01-2020 14-17-56  переводящий элемент пространства 07-01-2020 14-18-08 в элемент пространства 07-01-2020 14-18-19.

Если  07-01-2020 14-18-29

Представление аналитических функций на линиях

Справедливо утверждение: Гармонические функции принимают  каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и совпадают с постоянными на линиях будучи торжественно не равными постоянной.

07-01-2020 14-18-44

Функция z(t) в целом на линии (p) представляется в виде

07-01-2020 14-23-00, причем в каждой точке 07-01-2020 14-23-59 функция 07-01-2020 14-23-17 принимает значение p согласно утверждения. Выражение 07-01-2020 14-23-45 означает значение функции  07-01-2020 14-23-51  в некоторой точке 07-01-2020 14-23-09.

В нащих дальнейщих исследованиях при рассматрение аналитических функций на линиях будем учитывать такие представления.

Решения задачи для некоторых операторов

Пусть  08-01-2020 10-41-48 скалярная функция.

I. Определим оператор 08-01-2020 10-43-15. Пусть 08-01-2020 10-43-33 и её внутренняя точка, и выполняется следующее условие: 08-01-2020 10-43-43

Из условия 08-01-2020 10-44-05 вытекает, функция 08-01-2020 10-44-15 в области D не имеет кратных точек и t0 является простым нулем функции 08-01-2020 10-44-15 [1,2,3].

Область D полностью покрывается взаимно ортогональными линиями уровней функций 08-01-2020 10-45-58

Для внесения ясности в топологию области D в терминах линии уровня введем в рассмотрение линию 08-01-2020 10-46-47. В силу условия 08-01-2020 10-44-05  такая линия существует. Линия 08-01-2020 10-47-01 проходит через точку t0 и область D делит на части 08-01-2020 10-47-31 где выполняются соотношения 08-01-2020 11-04-19 причем выполнения 08-01-2020 11-04-56 одновременно в двух областях исключается. Для определенности возьмём 08-01-2020 11-05-12, причем равенства имеет место только на линии

Рассмотрим следующие случаи:

  1. Пусть t произвольная точка принадлежащая 08-01-2020 11-05-23. Рассмотрим функцию

08-01-2020 11-10-45

Функция 08-01-2020 11-11-44 принимает значение 0.

Отсюда вытекает для функции 08-01-2020 11-12-05 в рассматриваемой точке 08-01-2020 11-12-16 не существует, но она ограничена по модулю. Точка t произвольная из 08-01-2020 11-12-51 не существует, но она ограничена по модулю.

  1. 08-01-2020 11-13-01 Введем на рассмотрение линию

08-01-2020 11-13-15

и область, ограниченную линиями 08-01-2020 11-13-26 обозначим 08-01-2020 11-13-38, а оставшуюся часть D1 обозначим D11. Линию 08-01-2020 11-13-48 отнесем к области D11.

08-01-2020 11-22-03

  1. 08-01-2020 11-22-27. Рассмотрим линии

08-01-2020 11-22-35

Область ограниченную линиями 08-01-2020 11-23-18 обозначим 08-01-2020 11-23-34 оставшуюся часть D2 обозначим D21. Линию 08-01-2020 11-25-10 отнесем к области D21. Далее, если 08-01-2020 11-25-33 не существует, но по мере приближения t к линии  08-01-2020 11-26-28

Примечание. Если условие U заменить на следующее.

08-01-2020 11-26-54

то линия 09-01-2020 10-19-54 в точке 09-01-2020 10-20-28 разветвляется и области D разделяет на 09-01-2020 10-21-02 частей, причем ровно в 09-01-2020 10-21-02 областях (содержащие ветви 09-01-2020 10-19-54) предел 09-01-2020 10-21-17  по ε не существует, а в n областях 09-01-2020 10-21-37. Такие области чередуются. К примеру 09-01-2020 10-22-14

II. Пусть

09-01-2020 10-36-41   (1)

Пусть выполняются условия:

09-01-2020 11-03-46

Как и в предыдущем случае определим линию 09-01-2020 11-04-03 и области 09-01-2020 11-04-10.

Для исследования функции 09-01-2020 11-04-32 по ε определим пути интегрирования. Согласно U2 функция 09-01-2020 11-04-46. Следовательно пути интегрирования можно выбрать произвольными, но полностью принадлежащими D.  Если 09-01-2020 11-08-56, то путь состоит из части 09-01-2020 11-04-03 соединяющую точки 09-01-2020 11-10-12.

Если 09-01-2020 11-10-30, то путь состоит из части 09-01-2020 11-04-03 соединяющую точки 09-01-2020 11-10-41 и части линии 09-01-2020 11-11-25соединяющую точки 09-01-2020 11-11-56. Линии 09-01-2020 11-13-09 порождаемые гармоническими функциями, 09-01-2020 11-12-42 являются аналитическими кривыми и их уравнения можно представит параметрически . В качестве параметра возьмём длины кривых 09-01-2020 11-12-10. Пусть 09-01-2020 11-13-22 длина кривой 09-01-2020 11-04-03 отчитываемого  точки tдо точки09-01-2020 11-13-47. Уравнение кривой 09-01-2020 11-04-03 представим в виде

09-01-2020 11-45-35

где 09-01-2020 11-49-22  текущие координаты точек принадлежащие кривым 09-01-2020 11-50-01.

С учетом выбранных путей интегрирования и их параметрическое представление,  (1) представим в виде

 09-01-2020 11-54-36

В (4) интеграл в правой части имеет порядок ε. Следовательно 09-01-2020 11-56-43  не имеет предела по ε, но ограничена по модулю.

Пусть 09-01-2020 11-57-05.  Из (2), интегралы в правой части проинтегрировав по частям, получим

09-01-2020 11-59-44   (5)

В 09-01-2020 12-01-26, а интеграл имеет порядок ε. Для значений 09-01-2020 12-01-35 имеем  Тогда 09-01-2020 12-01-47

09-01-2020 12-04-38

Пусть 09-01-2020 12-08-27 .  Рассмотрим линию 09-01-2020 12-08-48. Линией 09-01-2020 12-09-49 область D2 разделяется на части 09-01-2020 12-10-29. Если линия 09-01-2020 12-10-47

09-01-2020 12-11-36

III. Рассмотрим векторные аналитические функции комплексного переменного.

Определение. Пусть  09-01-2020 12-21-21 то будем говорить, что 09-01-2020 12-21-28 векторная аналитическая функция комплексного переменного с компонентами  09-01-2020 12-21-44.

Пространство таких функций обозначим 09-01-2020 12-21-55. Пространство функций 09-01-2020 12-22-02 обозначим 09-01-2020 12-22-15.

Норму определим так

09-01-2020 12-22-38

Из U2 вытекает, что функции 09-01-2020 12-32-46 не имеют кратных точек и через каждую точку области D проходит единственная линия уровня функций 09-01-2020 12-33-20. В отличие от примера I в данном случае область D покрывается линиями уровней двух пар 09-01-2020 12-33-51 и это затрудняет описание топологии области D в терминах линии уровня. Но согласно U2 линии

09-01-2020 12-34-46

пересекаются в точке 09-01-2020 12-34-55

В общем случае линии 09-01-2020 12-35-06 могут иметь несколько точек пересечения отличных от t0 и определить такие точки практически невозможно.

Для наглядности предположим:

U3. Линии 09-01-2020 12-35-06 в области D не имеют других точек пересечения, кроме точки t0.

Тогда в силу 09-01-2020 12-36-13 область D линиями 09-01-2020 12-35-06 разделяется на четыре части и только в одной части, эту часть обозначим D1, выполняются соотношения.

 09-01-2020 12-36-53 причем равенства имеет место только на границе D1, состоящее из частей линии 09-01-2020 12-35-06 (рис. 1).

09-01-2020 12-52-08

Рис. 1 – Деление области D линиями 09-01-2020 12-35-06

Заметим, если в условии 09-01-2020 12-54-04    то линии  совпадают и область D разделяется на две части, при этом не существует область, где одновременно выполняются неравенства 09-01-2020 12-54-21

Линиями уровня 09-01-2020 12-55-04 разделим на части 09-01-2020 12-55-39 (рис. 2).

09-01-2020 13-00-33

Рис. 2 – Деление областей  09-01-2020 13-01-13

 

Далее исследуем предел

09-01-2020 13-01-25

Если учесть результаты I, то

09-01-2020 13-01-41

Для областей 09-01-2020 13-02-23 не существуют.

IV. Пусть 09-01-2020 13-02-33

09-01-2020 13-02-45

и выполняются условия U2, U3.

Для этого случая, учитывая вычисления проведенные в случаях II, III получим  09-01-2020 13-08-00

а для областей 09-01-2020 13-08-14 не существуют.

V. Пусть 09-01-2020 13-08-28 скалярные функции;

09-01-2020 13-08-37   (7)

09-01-2020 13-08-52 – константа не зависящая от ε.

Далее будем рассматривать 09-01-2020 13-09-11 пространство  с множеством

09-01-2020 13-09-20 некоторая положительная не зависящая от ε}

Пусть выполняется условия U1.

Решим задачу при каких условиях

 09-01-2020 13-09-37 с множеством H.

Для решения этой задачи как и в I определим линию09-01-2020 13-09-52 и области09-01-2020 13-09-59

В (7) пути интегрирования определим как и в случае  II и используем их параметрическое представление.

Пусть 09-01-2020 13-10-06 Тогда из (7) имеем

09-01-2020 13-20-41   (8)

где  09-01-2020 14-40-55

Поведение интеграла в (8) при 09-01-2020 14-41-05, имеющимися сведениями о функции 09-01-2020 14-41-13 невозможно определить, но этот интеграл ограничен. Наличие первого слагаемого показывает, в рассматриваемом случае, предел 09-01-2020 14-41-25  не существует.

Из (8) переходя к модулю получим

09-01-2020 14-41-36

где 09-01-2020 14-41-47

Отсюда  при

09-01-2020 14-42-00   (9)

09-01-2020 14-42-07

Теперь рассмотрим случай 09-01-2020 14-50-23 .

Для этого случая из (7) имеем

09-01-2020 14-51-05    (10)

где 09-01-2020 14-51-15

В (10) проведем следующее преобразование

09-01-2020 14-55-22 09-01-2020 14-56-41     (11)

В (11) выражение содержащееся в […] даёт функцию 09-01-2020 14-55-31. Учитывая это (11) перепишем в виде

09-01-2020 14-55-44  (12)

Если 09-01-2020 14-55-52 (определена в I), то из (12) вытекает

 

09-01-2020 14-56-08  (13)

где 09-01-2020 14-56-19

К интегралу (13), применяя метод интегрирование по частям (функция 09-01-2020 14-56-32) строго монотонна вдоль линии , что и обеспечивает такую возможность) получим

09-01-2020 15-01-42

где 09-01-2020 15-07-45  некоторая постоянная не зависящая от ε.

Таким образом 09-01-2020 15-08-03

По определению 09-01-2020 15-08-19

Отсюда при условии  09-01-2020 15-08-48

09-01-2020 15-09-05

Пусть 09-01-2020 15-16-48  (11) представим в виде

09-01-2020 15-09-33

Если  09-01-2020 15-17-20 органичена.

Если  09-01-2020 15-17-37 а выражение содержащееся в […] ограничена по модулю. Следовательно 09-01-2020 15-17-46 не ограничена.

Выводы

Таким образом доказано, что аналитические функции (скалярные или векторные) с малыми параметрами обладают рядом специфических свойств. В частности существуют линии делящие области на части и на таких линиях и областях примыкающих к данным линиям пределы функции 09-01-2020 15-22-16  по малому параметру не существуют, а в других областях бесконечны или существуют и в последнем случае предельная функция принадлежит к пространству  или 09-01-2020 15-22-27

При рассмотрении операторов 09-01-2020 15-22-43 отображающих элементы из пространства 09-01-2020 15-23-00  только при определенных условиях принадлежит пространству  09-01-2020 15-23-11.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А. Евграфов. – Москва: Наука, 1991. – 448 с.
  2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – Москва: Наука, 1973. – 739 с.
  3. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В.Федорюк. – Москва: Наука, 1977. – 368 с.
  4. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / Алыбаев К.С. // Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190-200.
  5. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями /К.С. Алыбаев, К.Б. Тампагаров //Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. № 10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. – С.59-66.
  6. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных /М.А.Шишкова//Доклады АН СССР. – 1973. – Т. 209, № 3. – С. 576-579.
  7. Алыбаев К.С. Построение областей притяжения при вырождении сингулярно возмущенных уравнений /К.С. Алыбаев, А.Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. № 9 (75). Екатеринбург, 2018. – С. 7-11.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Evgrafov M. A. Analiticheskie funkcii [Analytical functions]/ M. A. Evgrafov. – Moscow: Nauka, 1991. – 448 PP. [in Russian]
  2. Lavrentiev M. A. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] / M. A. Lavrentiev, B. V. Shabat. – Moscow: Nauka, 1973. – 739 p [in Russian]
  3. Fedoryuk M. V. Metod perevala [The method of the pass] / M. V. Fedoryuk. Moscow: Nauka, 1977. – 368 p. [in Russian]
  4. Alybaev K. S. Metod linij urovnya issledovaniya singulyarno vozmushchennyh uravnenij pri narushenii usloviya ustojchivosti [Method of level lines of the study of singularly perturbed equations in violation of the conditions of stability] / Alybaev K. S. // Vestnik KNU. – Series 3, Issue 6. – Bishkek, 2001. – Pp. 190-200. [in Russian]
  5. Alybaev K. S. Metod pogranslojnyh linij postroeniya regulyarno i singulyarnyh oblastej dlya linejnyh singulyarno vozmushchennyh uravnenij s analiticheskimi funkciyami [Method of boundary-layer lines of regular and singular domains construction for linear singularly perturbed equations with analytical functions] /K. S. Alybaev, K. B. Tampagarov //Natural and mathematical Sciences in the modern world: collection of articles based on XLVII international scientific-practical conference. 10 (45). Russia, Novosibirsk: Sibak, 2016. – Pp. 59-66. [in Russian]
  6. Shishkova M. A. Rassmotrenie odnoj sistemy differencial’nyh uravnenij s malym parametrom pri vysshih proizvodnyh [Consideration of one system of differential equations with a small parameter at higher derivatives] /M. A. Shishkova/ / Reports of the USSR Academy of Sciences. – 1973. – Vol. 209, No. 3. – Pp. 576-579. [in Russian]
  7. Alybaev K. S. Postroenie oblastej prityazheniya pri vyrozhdenii singulyarno vozmushchennyh uravnenij [Construction of regions of attraction at degeneration of singularly perturbed equations] / K. S. Alybaev, A. B. Murzabaeva / / international scientific research journal. 9 (75). Ekaterinburg, 2018. – Pp. 7-11. [in Russian]

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.