TO THE THEORY OF FINDING INTEGRALS OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
TO THE THEORY OF FINDING INTEGRALS OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
Abstract
This article examines the integrals of systems of partial derivative equations. A new method of finding integrals of random systems of partial differential equations is suggested. It is shown that, if they exist, their appearance is finally determined from solutions of parametric ordinary differential equations. And also they can be found analytically from the solution of overdetermined systems of differential equations. Through the Cauchy problem, additional parameters are introduced, and from the definition of the integral, the equations defining the appearance of this integral immediately follow. Integrals can be used to reduce the order of the systems of differential equations, as well as to control the calculations of various practically relevant systems of equations, such as the Hamilton-Jacobi equations. They are used in various methods of finding solutions to differential equations.
1. Введение
В теории дифференциальных уравнений широко используется понятие интеграла системы дифференциальных уравнений , , , . Интегралы играют важную роль в физике. Например, законы сохранения энергии и импульса в механике определяются с помощью интегралов у систем динамических уравнений. В гидродинамике встречается уравнение Бернулли, являющееся интегралом у системы уравнений Эйлера в переменных Лагранжа .
Первый интеграл обыкновенного дифференциального уравнения определяется как отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю . Знание первого интеграла нормальной системы:
где:
содержащая
В данной статье мы рассматриваем интегралы у систем уравнений в частных производных. Мы обобщаем определение (2) на этот случай. А именно, мы определяем интегралы как дифференциальные выражения, состоящие из неизвестных функций и их производных, которые сохраняются на некоторых решениях у исходной системы УрЧП. В статье показывается, что, если они существуют, то их вид определяется, в конечном итоге, из решений переопределенной параметрической системы ОДУ. Решение этой системы ОДУ может быть найдено в аналитическом виде с помощью метода редукции переопределенных систем дифференциальных уравнений , , . Остается только проверкой выделить из этого решения нужный интеграл.
Эти интегралы могут быть использованы как дополнительные уравнения в методе дифференциальных связей для поиска частных решений у исходной системы УрЧП , а также в других методах получения решений дифференциальных уравнений, например, в теории групп. Также они могут быль применены для понижения порядка у систем УрЧП.
Если эти новые интегралы будут иметь физический смысл в прикладных задачах, где исследуются системы УрЧП, то они могут описывать какие-то новые закономерности, важные для понимания физических процессов.
Целью данной работы является исследование вопроса о нахождении интегралов у достаточно произвольных систем дифференциальных уравнений и расширить понимание этой проблемы, применив новые идеи. Предлагается применение этого метода к нахождению новых физических закономерностей. Также целью является такая постановка этой задачи, чтобы идеи автора о методах решений переопределенных систем дифференциальных уравнений , , нашли в ней применение. Чтобы данная задача стала объектом исследования и других ранее хорошо разработанных методов решения систем УрЧП.
2. Основная идея метода
Рассмотрим систему из
Здесь
Зададим к системе уравнений (3) на поверхности
где:
Пусть система уравнений (3) имеет интеграл, хотя бы на решении с условием Коши (4). Запишем его определение для удобства в виде:
где:
Обобщим задачу Коши (4) следующим образом:
где мы вводим новые параметры
Пусть для новой задачи (6) интеграл (5) также существует. Соотношения (5) запишутся в виде:
Продифференцируем выражение (7) по переменным
Исключим из
Разложим определитель (10) по последнему столбцу. Тогда c учетом свойств определителя получим:
где:
Преобразуем (11) к следующему виду:
В случае, если (3) есть система ОДУ, то можно показать, что коэффициенты при
Продифференцируем (12) по
Решим полученную систему линейных уравнений (12), (13) относительно
Тогда получим некоторые соотношения:
где:
Таким образом, из (15) мы видим, что
где:
Если система уравнений (3) с параметрической задачей Коши (6) имеет интеграл (7) и выполняется условие (14), то этот интеграл находится среди решений переопределенной системы уравнений (16). Решение системы (16) сводится к решению цепочки параметрических обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка от одного неизвестного . Также существуют методы нахождения аналитического решения переопределенных систем УрЧП, которые могут быть применены к системе (16) .
Таким образом, мы имеем следующую процедуру нахождения интегралов у системы (3):
1. Находим все решения системы (16).
2. Делаем преобразование
3. Проверяем, являются ли полученные функции
При
3. Пример применения метода
Рассмотрим дифференциальное уравнение относительно неизвестного
Здесь
Рассмотрим уравнение от неизвестного
Пусть
Система уравнений (17), (19) имеет очевидный интеграл
Найдем все интегралы вида
где:
Продифференцируем соотношение (23) по переменным
Исключим из уравнений (24) - (26) неизвестные
Разложим определитель (27) по последнему столбцу. Имеем,
Уравнение (28) должно выполняться при
Пусть
Общее решение уравнения (30) имеет вид
где:
Таким образом, мы показали, что, если система (17), (19) имеет интегралы вида
Непосредственной проверкой убеждаемся, что выражения (32) являются интегралами системы (17), (19) для решений даже произвольной задачи Коши.
При
Соотношение (33) переопределяет систему (17), (19) с задачей Коши (18).
4. Обобщение метода
Заметим, что можно рассмотреть более общий интеграл с условием Коши (4) и определяемый как:
где:
Если мы введем в задачу Коши (6) большее количество параметров, то мы также аналогично получим уравнения вида (16) для определения внешнего вида интеграла (34). Например, можно взять
где:
мы вводим новые параметры
Заметим также, что если мы продифференцируем выражение (7) по переменным
5. Заключение
В данной статье рассматриваются в общем виде системы УрЧП. В данной работе мы получили способ нахождения интегралов у систем УрЧП.
Сначала мы рассмотрели определение интеграла у систем дифференциальных уравнений в виде (5). Потом ввели через задачу Коши дополнительные параметры (6) и рассмотрели определение интеграла (7). Из определения (7) сразу необходимо следуют уравнения (16) для определения внешнего вида интеграла (7). Система уравнений (16) есть переопределенная система УрЧП, решение которой сводится к решению параметрических обыкновенных дифференциальных уравнений . Также к решению системы (16) может быть применен метод решения переопределённых систем дифференциальных уравнений из работ , . Потом мы заметили, что можно рассмотреть более общий интеграл (34). Если ввести параметры (35), то также можно получить необходимую систему уравнений вида (16) для определения внешнего вида интеграла (34). Потом мы заметили, что можно дифференцировать по параметрам
Интегралы систем дифференциальных уравнений могут быть использованы для контроля расчетов у различных практически значимых систем уравнений, например, уравнений Гамильтона-Якоби. Также они могут быть применены для снижения размерности у систем уравнений (3) , .