ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И ВЛАГООБМЕНА В ЗЕРНОВОМ СЛОЕ ПРИ СВЧ-КОНВЕКТИВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Васильев А.Н.¹, Будников Д.А.², Васильев А.А.³

¹ ORCID:0000-0002-7988-2338, Доктор технических наук, ² Кандидат технических наук, ³ Научный сотрудник, Всероссийский научно-исследовательский институт электрификации сельского хозяйства

ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И ВЛАГООБМЕНА В ЗЕРНОВОМ СЛОЕ ПРИ СВЧ-КОНВЕКТИВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Аннотация

В предлагаемой статье рассматривается один из вариантов расчета процессов тепло и – влагообмена в слое зерна, когда он продувается агентом сушки и на него действует поле СВЧ. Показано, что при описании процесса дифференциальными уравнениями в частных производных первой степени иногда достаточно выполнить преобразование Лапласа и перейти к численному моделированию с использованием имитационных моделей передаточных функций.

Ключевые слова: зерно, зерновой слой, СВЧ – конвективное воздействие, тепло и – влагообмен, моделирование

Vasilyev A. N.¹, Budnikov D.A.², Vasilyev A.A.³

¹ ORCID: 0000-0002-7988-2338, PhD in Engineering, ² PhD in Engineering, ³ Researcher, All-Russian Federal Research Institute of Electrification of Agriculture

SOLVING EQUATIONS OF HEAT EXCHANGE AND MOISTURE EXCHANGE IN A GRAIN LAYER UNDER MICROWAVE-CONVECTIVE IMPACT

Abstract

Subject of the proposed article is a variant of calculation of heat exchange and moisture exchange in a layer of grain when a flow of drying agent blows through it, and microwave field creates an impact on it. It is shown that if to describe the process as a set of partial differential equations of the first order, it is sometimes enough to perform Laplace transform and proceed with numerical modelling using imitational models of transfer functions.

Keywords: grain, grain layer, microwave-convective impact, heat exchange, moisture exchange, modelling.

Использование полей СВЧ позволяет интенсифицировать конвективную сушку зерна, снизить её энергоёмкость. Моделирование СВЧ – конвективной сушки должно помочь в выявлении её основных параметров и конструкции установок, позволяющих повысить эффективность процесса. Основными элементами математической модели являются дифференциальные уравнения тепло – и влагообмена. Которые требуют своего решения. Дифференциальные уравнения тепло - и влагопереноса при СВЧ обработке записываются как [1, 2]:

;                                                              (1)

;                                                (2)

,                                                                       (3)

где  – коэффициент температуропроводности, м²/с;  – коэффициент фазового превращения жидкость – пар;  – удельная теплота парообразования, кДж/кг;  – удельная мощность, рассеиваемая в диэлектрике при воздействии СВЧ поля, Вт/м³;    – плотность сухого вещества зерна, кг/м³;  – коэффициент диффузии жидкости, м²/с;    – относительный коэффициент термодиффузии;  – избыточное давление в образце, Па;  –  емкость тела по отношению к влажному воздуху, ,  ;  – давление пара материала при данном влагосодержании, Па;  - температура зерна, °С;  – коэффициент конвективной диффузии пара, м²/с.

При  СВЧ – конвективной сушке зерно поочерёдно подвергается воздействию электромагнитного поля, совместно с воздухом, или только агентом сушки. Поле СВЧ воздействует на зерновой слой до того момента, пока его температура не достигнет требуемого предельного  значения, например 55оС. После этого магнетроны отключают, и на зерновой слой действует только агент сушки. В это время происходит вынос влаги с поверхности зерна. Конвективную сушку принято описывать известной системой уравнений [3,4]:

;                                       (4)

;                                                 (5)

;                                                   (6)

,                                                                       (7)

где    T- температура агента сушки, °C; D - влагосодержание сушильного агента, г/кг;  – текущая влажность зерна, %; V - скорость агента сушки, м/с; ,  - теплоемкость воздуха и зерна, кДж/кг·°С;  - порозность зернового слоя;  - удельная поверхность семян, 1/м;  - коэффициент теплоотдачи, ккал/кг· ч·°C;  - объемная масса зерна, кг/м³;  - удельный вес воздуха, кг/м³; K - коэффициент сушки, 1/ч;  - равновесная влажность зерна, %; х - пространственная координата, м;  - время, ч.

При СВЧ – конвективной сушке изменение температуры зерна происходит за счёт действия поля СВЧ, а тепло – и влагообмен между агентом сушки и зерном – за счёт конвективного обмена. В моменты, когда действие поля СВЧ прекращается тепло и - влагообмен осуществляется за счёт конвективного обмена. Поэтому целесообразно добавить к системе уравнений (4…7) уравнение (1) и использовать полученную систему для расчёта процесса тепло и влагообмена в зерновом слое.

Процессы тепло и – влагообмена в реальных установках отличаются существенной неравномерностью, за счёт конструктивных особенностей устройств, влияющих на глубину проникновения микроволнового поля и распределение агента сушки. Существенное значение имеет зависимость глубины проникновения поля в зерновой слой от его влажности. Поэтому необходимо при разработке модели иметь возможность варьировать значениями  скорости воздуха  и величинами удельной мощности поля СВЧ в требуемых точках зернового слоя. Для этого целесообразно представить в виде набора элементарных слоёв зерна плотный зерновой слой.

Элементарным будем считать  слой в одно зерно. Это позволит для описания процесса использовать максимально возможное количество элементарных слоёв и при необходимости учитывать процессы тепло – и влагообмена непосредственно внутри единичного зерна. С учётом такого допущения в уравнениях  (1) и (4…7), пространственная координата х может быть заменена радиусом R зерновки, или её приведённым диаметром d_пр.

При разработке математической модели использован ступенчатый метод расчёта [5], при котором температура и влажность агента сушки, прошедшего через элементарный слой  становятся температурой и влажностью воздуха, поступающего к следующему элементарному слою. Дополним систему (1) и (4…7) необходимыми уравнениями:

                                                              (8)

                                                                        (9)

 ,                                                                           (10)

По параметрам агента сушки на входе зернового слоя рассчитывают его равновесную влажность W_p. (8). С учётом данного параметра определяют коэффициент сушки К (9). Далее рассчитывают влажность зерна W (7). Потом, температуру агента сушки Т, которую он приобретает  при следовании через единичный слоя зерна (5). Затем рассчитывают температуру зерна . При СВЧ нагреве используют уравнение (1), а при отключении поля – уравнение (5). После этого определяют влагосодержание D (6) и относительную влажность на выходе  из зернового слоя агента сушки (10).

Последовательное выполнение расчетов для каждого элементарного слоя позволит иметь полную картину динамики сушки зерна. Задачи моделирования предусматривают изменение  в процессе сушки скорости V воздуха   и удельная мощности  поля СВЧ. Это позволит достаточно точно выполнять расчет сушки зерна в установках, при различных алгоритмах управления процессом.

Прикладное программное обеспечение позволяет построить необходимую имитационную модель. Для построения такой модели элементарного слоя преобразуем дифференциальные уравнения (1), (4…7) в передаточные функции. Для уравнения (7) воспользуемся правилом замены [6]    и получим .

Уравнения (1), (4), (5), (6) содержат частные производные. Для промежуточного их решения воспользуемся методом интегрального преобразования Лапласа. В этом случае преобразование частных производных осуществляется по следующему правилу [7]:

Если  и преобразование Лапласа производится по переменной , то обозначив , можно интегрированием по частям установить соотношение:

,

где  – начальное значение температуры.

Выполним преобразование Лапласа по  для (4). Для производных температуры зерна  и влажности зерна  начальные условия учитывать не будем:

 ,

где  ,  .

Записав уравнение относительно частной производной и заменив координату x на приведённый диаметр зерновки  получим следующее выражение:

.    (11)

Используя принцип суперпозиции запишем дифференциальное уравнение только с переменной T: .

При этом р играет роль переменной. Решим дифференциальное уравнение относительно , записав в качестве граничного условия .

Решение уравнения с использованием пакета MATLAB [8] дало следующий результат:

 ,                               (12)

где  - время задержки при скорости воздуха V в одном зерновом слое.

Подставив в (12) слагаемые температуры и влажности зерна, получим в операторной форме зависимость изображения температуры теплоносителя T(р) на выходе элементарного слоя от изображений температуры агента сушки Т₀(р) на входе в зерновой слой, от изображения текущей температуры зерна (р),  от изображения текущей влажности зерна :

_.                   (13)

По классической схеме, чтобы получить уравнение описывающее зависимость  необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа уравнения (13). Попробуем упростить процедуру, представив данную зависимость в виде передаточных функций.

Аналогичную процедуру выполним для уравнения (3) и (4). Из уравнения (3) найдём зависимость для изменения температуры зерна элементарного слоя  при конвективной сушке, а из уравнения (4) зависимость для влагосодержания агента сушки на выходе его из зернового слоя . Представив  и выполнив преобразование Лапласа для (4) получим следующую зависимость:

,     (14)

где .

Для получения зависимости изменения температуры зерна при воздействии электромагнитным полем преобразуем уравнение (1).

Полное уравнение зависимости температуры зерна от его влажности и удельной мощности СВЧ излучения будет иметь следующий вид:

                       (15)

где  ,   .

Если достаточно контролировать температуру поверхности зерна, то в этом случае  и уравнение (15) значительно упрощается:

.                                                   (16)

В результате проведенных преобразований получен набор уравнений и передаточных функций, с использованием которых осуществляется расчет тепло - и влагообмена в элементарном слое зерна. Запишем его ещё раз:

,                                                                               (7)

;                                                             (8)

;                                                                         (9)

                                                                    (10)

;                 (13)

;         (14)

;                                                    (16)

С использованием полученной системы может быть разработана система компьютерного имитационного моделирования и  найдено численное решение уравнений с получением значений параметров зерна и агента сушки.

 Литература

1. Лыков А.В. Теория сушки – Москва: Энергия, 1968. – 472 с.
2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло и массопереноса – Ленинград; Москва: Госэнергноиздат, 1963. – 535 с.
3. Анискин В.И., В.А.  Рыбарук Теория к технология сушки и временной консервации зерна активным вентилированием -  М.: Колос, 1972. - 200 с.
4. Васильев А.Н., Руденко Н.Б. Построение математической модели процесса сушки зерна в плотном слое // Современные проблемы использования электрооборудования в сельском хозяйстве (Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 2) - Зерноград, ФГОУ ВПО АЧГАА, 2003. – С. 63-73
5. Демин А.В. Методические рекомендации по математическому моделированию процесса сушки и охлаждения зерна в установках плотного слоя - М.: ВИЭCX,  - 42 с.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнеия. Кратные интегралы. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. – 4-е изд. – Ростов н/Д: «Феникс», 1988. -512 с.
7. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: учебник для вузов под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – Изд. 4-е, стер. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 367 с.
8. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

References

1. Lykov A.V. Teorija sushki – Moskva: Jenergija, 1968. – 472 s.
2. Lykov A.V., Mihajlov Ju.A. Teorija teplo i massoperenosa – Lenin-grad; Moskva: Gosjenergnoizdat, 1963. – 535 s.
3. Aniskin V.I., V.A.  Rybaruk Teorija k tehnologija sushki i vremennoj konservacii zerna aktivnym ventilirovaniem -  M.: Kolos, 1972. - 200 s.
4. Vasil'ev A.N., Rudenko N.B. Postroenie matematicheskoj modeli processa sushki zerna v plotnom sloe // Sovremennye problemy ispol'zovanija jelektrooborudovanija v sel'skom hozjajstve (Mezhvuzovskij sbornik nauchnyh tru-dov. Vypusk 2) - Zernograd, FGOU VPO AChGAA, 2003. – S. 63-73
5. Demin A.V. Metodicheskie rekomendacii po matematicheskomu mode-lirovaniju processa sushki i ohlazhdenija zerna v ustanovkah plotnogo sloja - M.: VIJeCX,  1977. - 42 s.
6. Bugrov Ja.S., Nikol'skij S.M. Vysshaja matematika. Differencial'-nye uravneija. Kratnye integraly. Funkcii kompleksnogo peremennogo: Uchebnik dlja vuzov. – 4-e izd. – Rostov n/D: «Feniks», 1988. -512 s.
7. Martinson L.K., Malov Ju.I. Differencial'nye uravnenija matema-ticheskoj fiziki: uchebnik dlja vuzov pod red. V.S. Zarubina, A.P. Krishhenko. – Izd. 4-e, ster. - M.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2011. – 367 s.
8. Anufriev I.E., Smirnov A.B., Smirnova E.N. MATLAB 7. – SPb.: BHV-Peterburg, 2005. – 1104 s.