ОЦЕНКА НОРМЫ ПРОИЗВОДНЫХ Λ-ЯДЕР ДИРИХЛЕ

Шаянбаева Ш.О.

Магистрант, Казахский Национальный Университет им. Аль-Фараби

ОЦЕНКА НОРМЫ ПРОИЗВОДНЫХ Λ-ЯДЕР ДИРИХЛЕ

Аннотация

В статье установлены оценки норм производных Λ-ядер Дирихле D_Q(Λ,N)в L^p, когда спектр приближающих полиномов лежит в множествах типа  гиперболических крестов.

Ключевые слова: многомерное ядро Дирихле с произвольным спектром, (r,α)-производная функции, гиперболические кресты.

Shayanbayeva S.О.

 Postgraduate student, Al-Farabi Kazakh National University

ESTIMATION OF NORMS OF DERIVATIVES OF DIRICHLET Λ -KERNELS

 Abstract

The article describes the process of getting estimations of norms of derivatives of Dirichlet Λ-kernels for D_Q(Λ,N) in L^p by when the spectrum lies in approximating polynomials sets the type of hyperbolic crosses.

Keywords: multi-dimensional Dirichlet kernel with an arbitrary spectrum, (r,α)-derivative of function, hyperbolic crosses.

Пусть  Λ(t)=Λ(t₁,... , t_d) непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]^s функция такая, что Λ(t) > 0 и Λ(t) = 0, смотря по тому  или .

Пусть даны числа r>0 и b_j (j=1,...,d).

Для t=(t₁,...,t_d), t_j>0, j=1,...,d, определим функцию Λ*(t) следующим образом: если t_j>0, j=1,...,d, то

если ; здесь

Далее, не уменьшая, общности можем считать, что b₁≤...≤b_d.

Функция одной переменной φ(τ)≥0 удовлетворяет условию (S^α), если φ(τ)/τ^α почти возрастает при некотором 0<α<1, т.е. найдется число C>0, не зависящее от τ₁ и τ₂, такое, что

Также вводится условие (S) на φ(t) как выполнение условия (S^α) для некоторого α, 0<α<1, и в этом смысле (S)=U_0<α<1(S^α).

Будем говорить, что функция Λ(t)= Λ(t₁,…,t_d) удовлетворяет условиям (S^α) при α=(α₁,…,α_d) если при каждом j=1,...,d функция Λ(t) удовлетрворяет условию (S^αj) по переменной t_j при фиксированных остальных.

Легко заметить, что заданная функция Λ*(t) удовлетворяет условию (S^α) при r>α и ∀b_j∈R  для некоторого α>0

Введем следующие множества (N – множество целых положительных чисел, Z–множество целых чисел)

где

для некоторого l∈N легко заметить что θ(N)=Γ(2¹N)\Γ(N)

Также ниже мы будем пользоваться обозначениями . При положительных A и В запись B<<A будет означать B≤C(α,β,…)·A, где C(α,β,…)  некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись  означает что A<<B<<A. Вообще говоря, всюду ниже параметры α,β,… однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому в целях сокращения записей, их указывать не будем.

Для доказательства основного результата данной работы, нам понадобятся следующие вспомогательные результаты.

Лемма 1. (см. [1]) Сумма

по порядку равна:

1. 
2. 
3. 
4. 

Лемма 2. (см. [2]) Пусть функция типа смешанного модуля непрервности порядка l Λ(t)= Λ(t₁,…,t_d) удовлетворяет условию (S^α). Тогда для 0<p<∞ справедлива оценка

 

Доказательство: применим индукцию по размерности d. При d=1 по свойству (S) имеем

Где n₀ - наименьшее натуральное число, при котором Λ(2^-n₀)<1/N. Предположим, что оценка (3) верная для размерности d-1. Докажем ее для размерности d. Положим

Тогда (к первой сумме применим предположение индукции, а ко второй сумме – свойство (S^α)).

откуда, в силу одномерного случая, получаем утверждение леммы 2.

Лемма 3. (см. [2]) Пусть Λ(t) удовлетворяет условию (S^α) при 0<α<1 таком, что 0<μ <α. Тогда при 0<p<∞  справедлива оценка

Доказательство: как и в лемме 2, применим индукцию по размерности. При d=1  имеем

Применяя к первой сумме предположение индукции, а ко второй сумме условие (S^α), получаем леммы 3.

Положим

Функция D_Q(Λ,N)(x) называется многомерным Λ-ядром Дирихле (см., например,[3]).

Теорема 1 (см.[3]). Пусть 1<p<∞ , β∈R_s  . Тогда

где   – β-производная функции D_Q(Λ,N)(x)

В работе нами доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть . Тогда справедлива следующая оценка

Доказательство. Используя утверждения теоремы 1 и леммы 3, получим

Далее применяя лемму 1, в случае когда , получаем

Где E(N,p) – величина по порядку равна:

 

Таким образом, теорема доказана.

  

Литература

1. Пустовойтов Н. Н. О приближение периодических функций из классов линейными методами // Математический сборник, 2012. Том 203. №1. С.99-114.
2. Пустовойтов Н. Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Математические заметки. 1999. Т 65. №1. С.107-117.
3. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского и оценки норм производных ядер Дирихле // Матем.заметки, 2006, Т.80, вып.1, с.95-104.
4. Сихов М. Б. О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик // Докторская диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Казань, 2010. 186 с.
5. Сихов М.Б. Об оценках норм производных ядра Дирихле с гармониками // Известия НАН РК. Сер. физико-математическая , 2003, №1, с.57-62

References

1. Pustovojtov N. N. O priblizhenii periodicheskih funkcij iz klassov  lineynimi metodami// Matematicheskij sbornik. 2012. T 203. №1. S.99-114.
2. Pustovojtov N. N. Priblizhenie mnogomernyh funkcij s zadannoj mazhorantoj smeshannyh modulej nepreryvnosti // Matematicheskie zametki. 1999. T 65. №1. S.107-117.
3. Sikhov M.B. Neravenstva tipa Bernshtejna, Djeksona-Nikolskogo I ocenki norm proizvodnyh yader Dirikhle // Matem.zametki, 2006, T.80, vip.1, s.95 – 104.
4. Sikhov M. B. O nekotoryh zadachah mnogomernoj teorii priblizhenij raznyh metrik // Doktorskaja dissertacija na soiskanie stepeni doktora fiziko-matematicheskih nauk. Kazan’, 2010. 186 s.
5. Sikhov M.B. Ob ocenkah norm proizvodnyh yadra Dirikhle s garmonikami // Izvestiya NAN RK . ser. Fiziko-matematicheskaya, 2003, №1, s.57-62.